i f i O O ^ V i O *—7V). q>i(tz)¥=<fi(ii—To). Математические ожидания двух из четы
рех произведений, сумма которых составляет |
A Pi(t)Aqi( t + i ) , |
равны нулю. |
Например. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<cos [0г (*х) + <рi (/х)] cos [0, (t2) + |
ф,- (t 2 — Т0) \> = |
0,5 |
<cos [0, (/,) — |
|
- |
0/ Vo) - * / ] > |
+ 0,5 < cos [0, ( t j + 0/ (/,) + 2ф/0 (0 + |
ф,] > = 0, |
|
так как при равномерном распределении фазы математические |
ожидания |
ее |
синуса и косинуса равны нулю. |
|
|
<fi(tt—To) = Vi(tx—To). Поэтому |
|
С другой стороны, |
ф|('^0=ф(('<г), |
|
|
< A U (tj) Аи (t2) > |
= |
<cos [0,- (t{) + ф,- (<!)] |
|
|
|
COS [0/ (/2) + ф,- (/2)] > + |
<COS [0; (<j) -(- ф,- (/! — То)] COS [0,- (?2) + ф/ (t2 — То)] > |
= |
|
|
= |
COS[0, (^) — в/ (t2)]. |
|
|
|
|
|
Такое же выражение можно получить для |
< A 2i(ti)A oi(to)>. Обозначив |
|
|
|
Xi — ti/T0, ’k2 — t2jTot |
|
|
|
(П2.6) |
имеем для варианта а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<^Ац (ti) Ац (t2) > |
= |
Vi^< |
A2i^ 4 (t2)/ |
> |
=cos [ я |
( |
X |
, j |
|
( * |
аналогично можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< Аи ( * i ) A2l Vo) > |
= |
sin [л ( М |
— Ъ2) (х |
— |
/ г ) ] . |
|
|
Выражения для автокорреляционных функций с учетом полученных соотно |
шений можно представить в виде |
|
|
|
|
L—k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а? |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«71 |
|
|
|
|
|
t 2 — h ) = |
K v Vi> |
^о |
|
|
= |
|
|
sin / nX i sin / л А2 X |
|
|
|
|
|
|
|
l=\-k, 1Ф0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
cos l л (Xi — |
ко) . |
|
|
|
( П 2 . 7 ) |
Если число каналов достаточно велико и k-й канал расположен не очень |
близко к крайним, то L—А » 1 |
и k— 1> 1 . Тогда ввиду достаточно быстрого y6i*- |
вания коэффициентов 1~2 с ростом I можно без большой ошибки распространить |
верхнее |
значение индекса суммирования до |
оо, |
а нижнее — до |
—оо. Учитывая, |
кроме того, что функция под знаком суммирования является четной относитель но I, можно сумму в (П2.7) заменить удвоенной суммой, в которой индекс сум^ мирования изменяется от 1 до оо.
Произведение трех тригонометрических функций с помощью известных соот ношений заменяется суммой четырех косинусов, что позволяет придать <П2.7> следующий вид1):
|
|
4 |
оо |
|
(П2’8> |
|
^^=|rSS(Р=\ 1= \ -1)Pi cos23lZz- |
где Zi==A.i;. Z2= 0; |
2*—|A,i—Xz|. |
|
|
|
Знак абсолютной величины при г* использован в связи с тем, что для внут |
реннего |
ряда известно |
выражение суммы в замкнутом |
виде, справедливое при |
0< 2р< |
1. Сумма равна {53J |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
^ |
- у cos 2л Up = |
л2 ^ г2 — 2р + |
. |
(П 2.9) |
') Если к-й канал является крайним, т. е. А=1 или A—L, то в последующих. формулах автокорреляционные функции следует уменьшить вдвое.
Подставив (П3.9) в (П3.8), после преобразований получим
а*1*0
^ Xm/n ( l — Хтах)< |
(П2. 10) |
ТДБ Ащ*t» — min {Xx, Хг}» Хтax = гпах {Xl, X2}»
Аналогичная (Л2.7) сумма для взаимокорредяционной функции Kv.\(t, т) при расширении пределов суммирования до бесконечности представляет собой ряд,
•мены которого оказываются нечетными функциями индекса суммирования. Сум ма такого ряда в симметричных пределах равна нулю, т. е.
|
|
Kx v (/, т ) = 0 . |
|
|
|
(П2.11) |
Рассмотрим теперь вариант |
б), когда фг('0=ф <(^+т—Г0), |
а все остальные |
фазы не равны друг другу. |
В этом случае можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
< Л / х V i ) A j i ( / 2) > |
— |
|
— cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
где /= 1 , 2; А —(Т—Та)/То. |
|
аналогиченые троделанным |
при |
выводе |
(,П2.8), |
Вьяюлняя преобразования, |
в а х о к п |
|
|
Г4 |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* х «х, t2 — ^1) = |
|
|
( |
1)P_*"1 ■— cos 21 n zp, |
(П2.12) |
где |
|
|
p= 1/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 0 < |
г < |
1, |
|
|
|
|
|
p ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZP — |
Zp — 1. |
при 1 < zp < |
2, |
|
|
|
|
|
zp+ |
1, |
при — 1< zp < 0, |
|
|
|
|
•Z]=Xj — Л, |
Z2 = |
Л -j- X* — Xi,Zg = |
Xa -|-A > z4 = Л. |
|
|
Связь между г'р и z p |
выбирается |
таким |
образом, чтобы 0 < г р<1, |
так |
как |
яря этом условии сумма |
внутреннего |
ряда |
выражается |
в |
замкнутом |
виде |
ф-аой (IT2.9), подставив которую в (П2.12), получим выражения для автокорре- ляшгонных функций. В зависимости от соотношения между Хх и Хг, определяю
щего в соответствии с |
(П2.12) |
вид |
функции г р(г'р) |
(см. рис. |
П2.2), |
эти выра- |
-жеимя |
могут принять одну из следующих шести форм: |
|
|
|
-A) -fAG>c (^1, /2 — / 1) = |
а2Т2 |
|
|
|
Х2 < 1— Л, |
|
|
|
” |
ХхХ2» |
Хх < |
Л, |
|
|
(П2.13а) |
«) |
W x . |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2Т2 |
|
|
|
|
|
|
1 — Л < Х2 < |
|
|
|
■= |
П — Л — Х2 (1 — Xx)J, |
Хх < |
Л, |
1 — Л -f Хх, |
(П2.136) |
|
О |
|
агТ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|в) Kn{ti , |
|
(1 — Xg), |
|
< Л, |
|
1 — Л + Хх, |
|
— |
- |
- f - h |
Xx |
Ха> |
(П2.13в) |
|
|
|
|
|
срт2 |
|
|
|
|
X2 < |
|
|
|
Кy (h, |
— ^i) |
^ |
|
g |
Xs (l |
|
Xx), |
Xx > |
A , |
Xx —Л , |
(П 2.13r) |
*) |
* * (* 1. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a * T 02 |
[A — Xx (1 — Ха)1,Хх > Л, |
Xx — Л < X2 < 1 — Л, |
|
(П2.13Д) |
|
= — - |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
/*-/i) = |
|
|
а2Т2 |
(П2.13е) |
— |
г (I Х\) (1 ^2) > hi > А» 1 Л < Х - 2 < 1 — Л -f- %i. |
|
О |
|
В ситуациях рис. П2.2в, г все корреляционные функции равны нулю
о. (П2.14)
С помощью ф-л (П2.13) можно показать, что если интервалы интегрирова ния не перекрываются, то коэффициент корреляции невелик по абсолютной ве-
Рис. П2.2. Области значений А.1, \г,
отличающиеся видом функций z p(z'p)
личине. Даже для примыкающих интервалов он достигает половины лишь при одном значении ктах =0,5. Поэтому в расчетах, не требующих очень высокой точности, можно пренебречь корреляцией между проекциями, измеренными на
|
неперекрывающихся интервалах. |
(П2.10) |
|
|
|
|
В ситуации рис. П2.1а на основании |
|
|
|
|
* к ( * ■ * » - * ! > |
Л Г |
bmin (1 - |
К ш х ) |
(П2.15) |
|
1 / К к (^1 * 0 ) К у , U t , 0 ) |
У |
^ max (1 |
km in) |
|
|
Запишем в заключение выражения для автокорреляционных функций проек ций переходных помех x(t) и v(t) с учетом аддитивной помехи в канале связи, которую будем считать нормальным белым шумом. Так как автокорреляционная функция проекции шума
О2 (То —1<2 — П|)> (I ^2 — ^1 I < Т’о)-
(П2.16)
0, (\ti - t 1 \ > T 0),
где а2/ — спектральная плотность шума, а т. к. шумы и переходные помехи вза имно независимы, то функция автокорреляции проекций
K ( t u h - h ) = K „ ( h , |
+ |
(П2.17) |
где Q =0,5a27'o — энергия сигнала за посылку; Л2 отношение этой энергии к спект
ральной плотности помехи, | h —Л|<7"о.
П Р И Л О Ж Е Н И Е 3
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА (6.20)
Для вычисления интеграла
СО |
|
|
2 |
, |
|
2 |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
,2 |
I „2 |
|
г2 а 2 |
|
|
|
exp |
z\ |
а \ |
|
|
|
|
|
|
ехр |
|
z 2 |
+а 2 |
|
dzjdzj |
|
|
|
+ |
|
4 Ж |
|
|
|
2а2 |
Iо |
|
- |
f |
t |
|
|
2(7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П3.1) |
сделаем замену переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П3.2) |
|
|
|
|
Zi/ ct = |
x1, |
z2/ a = x 2 , |
a-i/a — a lt |
а 2/ а |
|
= |
а 2, |
|
|
|
после которой интеграл примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«■> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = J |
^ e x p |
— — |
(х? + а^) |
|
/ 0 (aiA-i)j х2 ехр |
|
|
у |
( 4 |
+ |
4 ) |
х |
|
хх ехр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
X /q |
|
|
с1х2^х^. |
|
|
|
|
|
|
|
(ПЗ.З) |
Так как {77, |
137] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
' п 2 |
|
1х2ехр |
— |
( ^2 |
|
^2) Iо (а2х2) dx2 — Q (а2, |
*^1) |
|
|
ехр |
|
x l |
Т а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
In |
( |
а 2 |
, X |
|
l |
) , |
|
|
|
(П3.4) |
|
|
|
|
а‘р |
|
|
|
|
|
л=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
= |
ехр |
|
|
- |VГX! ехр ( - |
*2) |
|
/„ (аЛ ) /„ ( а л ) |
dx,. |
(П3.5) |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
00 |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л=0 О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления (П3.5) |
разложим |
функцию Бесселя I n(a2x1) |
в ряд [41, 149] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fa2Xi \п |
|
|
|
|
1 |
|
/ д2*1 \ 2* |
|
|
(П3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rs |
k\ (п + |
k)\ |
\ |
2 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 } |
Ы |
|
|
|
|
|
|
и подставим (П3.6) |
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в (П3.5). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а\ + а2 |
|
00оо |
|
00оо |
|
|
а:2*+2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
О |
“1-I |
|
|
|
|
|
v |
1 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
g = |
ехр |
|
|
|
-ЕЕл -о |
|
|
|
|
|
x f +-1е |
* 1/0( а |
л )rfxi, |
|
|
|
|
|
|
|
2 2*+" kUn + |
к . |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П3.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где, |
как известно [41], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
/ |
„2 |
\ |
Л |
|
— L _ |
|
= -L® |
,,* + , - A j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л—О |
|
|
|
|
|
(n + Л)! |
|
А! |
|
\ |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о, |
к—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л2т |
2ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — е |
|
|
1 |
|
( |
|
|
|
|
(П3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J j |
|
°2 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mml |
л к |
|
|
|
|
|
|
m=«0
