Сравнивая (7.105) с (7.56), замечаем, что наименьшая дисперсия при син хронизации по одной посылке в
(7.106)
раз превосходит дисперсию, полученную при применении оптимального УС. Отсю да для ВИРУ с очень ‘узкой полосой пропускания, когда l&i2D<^YT2 и, в силу (7.104), P=Y, отношение (7.106) разило T2l32h2D, т. е. выигрыш в точности оцен ки пропорционален Л2 и не зависит от инерционности накопителя (от у). Если же
полоса пропускания ВИРУ сравнительно велика и имеет место неравенство про
тивоположного смысла, то |
и выигрыш |
за счет накопления, равный |
° 2<2/аov = (T/h) (16/yD)0'5, пропорционален Л и |
У |
Соотношения для суболтимальных УС при не очень больших Л(Л=5-н10) имеют примерно такой же вид, так как величина 6, определяющая потери в суб
оптимальном УС, в первом из рассмотренных случаев равна
|
|
|
4 |
h2D _ |
i |
hy |
|
|
|
|
|
3Т2 Уу |
’ У у Т 2 ' |
|
|
Например, |
при |
DT~2 = 10~в |
(нестабильность |
частоты» 10~3), |
у = 10 _* и Л=10 |
величина |
б равна » 2 -1 0 -2. |
Во |
втором |
случае величина б будет |
большей, но |
незначительно. |
|
|
|
в |
субоптималыюм |
УС |
определяется |
Таким образом, эффект накопления |
соотношением |
(7.106). |
|
|
|
|
|
|
З А К Л Ю Ч Е Н И Е
Рассмотренные в книге УС широко распространены в технике связи и в этом смысле могут считаться «классическими». Алгорит мы этих УС, как правило, стационарны. Затронутый в моногра фии к,руг вопросов охватывает, главным образом, методы анализа и синтеза таких УС при постоянных параметрах канала связи. Од нако в работе далеко не исчерпаны даже наиболее важные задачи теории и практики синхронизации. Укажем некоторые из них.
Обширный |
комплекс |
нерешенных задач |
синхронизации связан |
с адаптацией |
УС. Сюда |
относятся задачи |
измерения параметров |
канала связи и разработка алгоритмов изменения параметров и структуры УС на основе результатов измерения.
Много важных задач синхронизации связаны с техникой широ кополосных систем связи с составными сигналами [103, 116], осо бенно при передаче информации в кв радиоканалах. На УС в этом случае мапут быть возложены функции разделения лучей и управ
ления их совместной обработкой [30]. |
перечень |
Решение этих и |
других задач синхронизации (а их |
можно существенно |
расширить) несомненно является |
одним из |
главнейших направлений в развитии техники связи.
П Р И Л О Ж Е Н И Е 1
МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИМПУЛЬСОВ ПОТОКА ПЕРЕСЕЧЕНИИ
Выразим /г-мерный момент распределения совокупности величин а;
ти
ai = ai(Tu , Ttl) = J U t ) h ( t ) d t , (< = 1...............k), |
(П1.1) |
Tu
где f i ( t ) — детерминиро!ванная |
функция; |
\ ( t) — последовательность б-функций, |
возникающих при пересечении |
случайным |
процессом n(t) нулевого уровня через |
многомерную плотность вероятности процесса n(t), считая этот процесс непре рывным и дифференцируемым. Для этого представим ai в виде
*т[
|
ai = |
|
V I U t ) f i ( t ) d t , |
(П1.2) |
|
|
|
тГ х |
im r 1 |
|
|
|
|
где tmx — точки разбиения; |
toi = Tti; |
tMi = Tu- |
|
|
|
Записи (П1.1) и (П2.2) эквивалентны, если точки разбиения выбраны несов |
падающими с абсциссами 6-функций. С учетом |
(П2.2) |
смешанный момент /?-го |
порядка равен |
|
|
< al, |
• • |
ak> = |
|
|
|
|
|
|
Mk |
|
' |
m. |
|
t |
mb |
и |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
* |
|
2 |
■m*=i |
t |
1 |
|
■f |
|
П |
(П1.3) |
- m,=1 |
|
|
|
|
* |
|
m,-1 |
|
t ' - l i - ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
mk |
|
|
|
Для нахождения слагаемого этой суммы, представляющего собой математи ческое ожидание fe-кратного интеграла, заметим, что величина интеграла равна нулю, если хотя бы на одном из интервалов длиной Atm{ = tmi — не было
ни одного пересечения. Поэтому математическое ожидание интеграла опреде ляется вероятностями ситуаций, когда на каждом из интервалов было не менее одного пересечения. С другой стороны, поток пересечений дифференцируемого процесса n(t) ординарен, как показано, например, в работах [83, 126]. Это значит, что вероятность 1лопада«ия хотя бы в один из интервалов более
одного пересечения есть малая более высокого порядка по сравнению с вероят
ностью РШши .... Atmh) того, что в каждом интервале было ровно одно пере-
А
сечение. Если в последнем случае пересечения имели место в моменты tm i (tm._ i<
A |
A |
A |
< t m i < t m ( ), TO ft-кратные интегралы равны |
|
. . . fh(tmk) и с точно |
стью до малых более высокого порядка |
|
|
Mt |
Mk |
|
k |
д |
^ |
|
■ ■ ■• A |
П ft |
(П1.4) |
Из ординарности потока следует также, что с точностью до малых более высокого порядка
Р ?Д |
|
• • |
• ’ ^ ^mk) = С1* (^mi> ’ ' |
1’ ' |
' |
’’ ^ t m^, |
|
|
где Hk(tI, |
.... tk) — ^-кратная плотность |
(интенсивность) |
потока, |
равная1) |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
М-* (^1» |
• • |
• >tk) = |
j* |
• |
• |
• J | У\ |
■ ■ •Ук I х |
|
|
|
|
|
Xw „ (0 ............... |
|
0, |
y lt . . |
|
ук; |
i u . |
. ., tk) dyx................. |
dyk, |
(П1.5) |
»„(Г |, |
Xk, |
</1, |
|
ун; |
ti, |
|
tn ) — плотность вероятности |
процесса n(t) |
и |
его |
производных в моменты ti, |
.... t k. |
что множество |
пересечений счетно |
с |
ве |
Наконец, |
из |
ординарности |
следует, |
роятностью 1, поэтому в (П1.4) возможен предельный переход, если наибольший
из интервалов Д<т ,- устремить к нулю (так как мера множества точек пересе чения равна нулю, то всегда можно найти последовательность точек <tmi, не сов падающих с точками пересечения). Выполнив предельный переход, получим выражение
< a i |
г“ |
т,% |
tk)fi(ti) ■ ■ ■ |
ak> = j . . . |
j ПИП................. |
|
тп |
т\к |
|
|
■ ■ .fk(tk)dtu • • - ,d tk. |
(П1.6) |
Часто 'вместо начальных (моментов второго порядка удобно (рассматривать ковариацию
Гм Т„
ИРг (^1>ti — t\)f\ (ti) fi (tt ) dt\dti. (П1.7)
Гм Г„
t i — t\) — {li(ti, t2) — Pl(^l)Pl(^?) |
(П1.8) |
— центрированная плотность потока.
Найдем одномерную плотность потока пересечений нулевого уровня процес сом n(t), представляющим собой сумму нормального процесса с корреляционной функцией o2ip(T), где о 2— дисперсия нормального процесса, и детерминированной
функции c(t). Совместная плотность вероятности процесса n(t) |
и его производ |
ной равна |
|
|
1 |
|
|
[У-С (<)]» |
|
|
Wn (X, |
у, t) = |
\ x - c ( t W |
|
|
|
-------- exp |
2о2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2nooi |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2о 1 |
|
|
|
где c'(t) — производная |
детерминированного процесса |
c(i); o2i — дисперсия |
про |
изводной нормального процесса, равная, как известно, |
a2i = —о 2р"(0) |
[126]. |
|
Подставив w п(х, у, |
t) при х = 0, к —\ в (П1.5), |
находим |
|
|
|
Ц1 (0 = |
__1_ |
exp |
I У I ехр |
—Л и - * |
( t ) A d y . |
|
2ncxi<y |
|
|
|
|
|
2a? |
I |
|
|
1) Пределы |
интегрирования в |
(П1.5) следует |
заменить |
на |
(0, оо) |
или |
(—оо, 0), если исследуются соответственно положительные или отрицательные
пересечения.
Интеграл в этом выражении сводится к табличным; после интегрирования по лучаем
МО _ а - ,х р [ |
M o l г с'(о |
|
|
(£1(0)11» |
20,2 |
ЦC.VTn |
|
|
2"? J) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П1.9» |
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 |
|
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ПЕРЕХОДНЫХ ПОМЕХ |
Найдем корреляционные функции периодически стационарных процессов |
|
t |
L |
|
|
|
|
к (0 = |
j |
Y |
ai sin t(wi |
4 /й ) г + |
ф,- (г)] sin (о)х + |
k Q) zdz, |
|
t - T 0 i= l, |
1фк |
|
|
|
|
i |
L |
|
|
|
|
\ { t ) = |
J |
Y |
a‘ sin [(“ i |
0' / й ) 2 + |
ч5»' (01 cos (Wj + |
k fi) zdz, (П2 . 1) |
|
t—T0 (=1, |
1фк |
|
|
|
представляющих собой реализации проекций переходной помехи в fc-м канале, рассматриваемые как функции конца интервала интегрирования. Напомним, что QTо= 2я, фi(z) — кусочно постоянные функции, скачком изменяющие свои зна
чения в моменты тТ (Т — длительность посылки, m — целое). |
попал в одну |
Если m T + T o< t< . (m + \)T , т. е. весь интервал интегрирования |
посылку, то внутри интервала ф ,(г) = сопз1: |
|
x(f) = v ( 0 = 0. |
(П2.2) |
Если в интервал интегрирования попала граница посылок, то его можно
разбить на два интервала (t—Т0, тТ) и (mT, t), в каждом из которых = const. Интегрируя по каждому из интервалов и пренебрегая слагаемыми,
обратно пропорциональными сумме частот 2wi + (i+£)Q , по сравнению со сла-
гаемыми, обратно пропорциональными разности частот (i—k)Q, имеем после тригонометрических преобразований:
|
|
L |
|
|
|
х (< )= - ^ - |
^ |
|
—Г у 8|п ( ?^ _^ йД { с о 5 [ е ,( 0 + Ф/(0 ] — |
|
|
i=l, |
1фк |
|
|
|
|
L |
|
— cos [0i (<) + ф£ (<— То)]}; |
(П2.3> |
|
|
|
|
|
|
V(<)=="o’ |
2 ] |
r |
^ Sin(^_2 ^ Q"?) |
sin t0' ( ^ + Ф/(О1+ |
*'п [0/(<) + |
|
(=1, (фк |
|
' |
|
|
|
|
|
|
+ Vi и - Т о ) ] } , |
(П2.4> |
где 0, (0 = |
(( — k) Q (тТ + |
0,5 t)', |
|
|
|
|
—_ |
( t — mT, при 0 ^ . t |
— тТ < Т0, |
|
|
|
|
I 0, |
при Т0< |
t — mT < Т . |
|
Процессы x(t) и у( 0 — случайные, причем их распределение близко к нор мальному (кумулянты нечетных порядков равны нулю, а нормированные к дис
персии в соответствующей степени кумулянты четвертого и шестого порядков пр» /г = 10, 1. = 20, например, равны соответственно —0,1 и 0,1).
а |
Фаза <p<(0 представляет собой |
сумму <р(о+ф>00> где <р>о — начальная фаза, |
t) определяется передаваемой |
информацией. Обычно <р<о подчиняется не |
прерывному, а ф<(0 — дискретному равномерным законам распределения. Любого
из этих условий достаточно, чтобы математическое ожидание синуса или косинуса ■ifi(t) равнялось нулю. Поэтому
< * (/) > = < v ( 0 > = 0 . |
(П2.5) |
"Так как фазы канальных сигналов независимы, то каждая из корреляционных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых, из которых состоят x ( t ) и v ( t ) . В дальнейшем амплитуды канальных сигналов будем считать по стоянными. Тогда, вводя обозначения
Ci (t) = |
|
a2 |
|
li — k |
—\ |
i — k ---------1 |
|
------------------ sin |
-------- Q t ) |
sin -------- fl (t + |
1) , |
|
' |
' |
Й2(< — k)2 |
\ |
2 |
|
J |
|
2 |
J |
|
Au (0 |
= |
cos [0, (t) + tp, (<)] — cos [0/ (t) + |
Фi(t — T0)], |
|
А г1 ( 0 = |
- |
s i n [0 , |
(t ) + |
(р; |
(/)] |
+ |
s in [0, (t) |
+ <pi (/ - |
T o)]. |
|
можно представить корреляционные функции в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
/( „ « , т ) = < х ( 0 х (/ + |
т ) > = |
|
2 |
|
c t ( 0 |
< A u (t) Au (t + |
х ) > . |
|
|
|
|
|
|
(=1, |
1фк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
Kv (/,t) = <v(0v(/ + t ) > = |
|
2 |
|
Ci(t) <Аи«)Аг1(1 + т)>. |
|
|
|
|
|
|
i=l, |
1фк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
T) = <x(/)v(/ + t)>= |
|
2 |
|
ciV)<Au{t)At l (t+x)>. |
|
|
|
|
|
|
l=l, |
i=k |
|
|
|
|
|
Для нахождения |
< A Pi(t)Aqi(t+-c) > |
(р, q = 1, |
2) необходимо учесть, попа |
дают моменты |
t, t—Го, t + т, |
t+ x —Г0 в одни |
и те |
|
же посылки или в разные. |
Возможны четыре |
различных |
варианта |
взаимного |
|
расположения |
интервалов |
т/ |
|
|
(т+!)1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. П2.1. Взаимное 'расположение интервалов интегрирования и границ посылок
интегрирования и границ посылок, показанные на |
рис. |
П2.1, где t\ — t, t i = t + x |
или t i = t + x , h = t в зависимости от того, т>0 или |
т < 0: |
а) внутри обоих интер |
валов интегрирования находится одна и та же граница посылок; б) границы посылок разные, но начало одного и конец другого интервалов принадлежат одной посылке; в) хотя бы один из интервалов интегрирования находится внутри посылки; г) интервалы интегрирования не содержат частей одних и тех же по сылок. В варианте а) граница посылок общая для обоих интервалов, поэтому
