Файл: Васильев, В. В. Гибридные модели задач оптимизации.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.10.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

С точки зрения аналитической механики электрические цепи принадлежат к неконсервативным нелинейным системам [188], для которых принцип наименьшего действия удобно записывать в виде

б И 7’ ~ Ѵ + l Rdt — lA d t)d t = 0,

(2.4)

где R — функция рассеяния (Релея); А — мощность внешних сил.

'Ъ

Ь

Ч>і

 

Рис. 13

В электродинамике и теории подобия применяются две системы электромеханических аналогий; впервой в качестве обобщенных координат используются заряды, во второй — потокосцепления [165].

Свяжем с членами подынтегрального выражения (2.4) их зави­ симости от параметров элементов в различных системах электро­ механических аналогий (табл. 3).

Выбираем электрическую цепь, содержащую т нелинейных ин­ дуктивностей, п нелинейных емкостей, / нелинейных сопротивлений (проводимостей), S нелинейных источников напряжения и р нели­ нейных источников тока. Пусть матрица соединений этой цепи бу*

40

СО

Т а б л и ц а

Т5§

£5

41

дет N. Тогда принцип наименьшего действия запишем в следующем виде:

для первой системы электромеханических аналогий

 

 

 

(і \ т

%

 

 

п

ч,і

'

 

 

 

 

 

6 ]

2

) 4t - р -

d<Ji — 2

\

Ф/ (ЯІ) dcti +

 

 

 

 

І

Ь = і І

d4t

 

/= і o'

 

 

 

 

 

f

t qk

 

 

 

s

t4i

 

 

 

 

---

+ 2 IJ Ѣ(qk) d 'qk dt — 2 П E ‘ tit) dchdt

dt = 0 ,

(2-5)

-

*=1-0 о

-

- .........

/ = 1

о о

 

 

 

 

для второй системы

 

Nq =

0;

 

 

 

(2.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г п ' ^

а

 

m

 

 

 

 

 

 

6

j

5

J Уі

 

d^i — 21 .] Яі ОМ d^i

+

 

 

 

 

и L/ = 1

о

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t %

■

 

 

 

 

 

 

 

 

:

-Ь 2

J J Як (%) d% dt — 2

J j

J r (ф)г H ,d t

dt = 0 ,;

(2-7)

 

 

fc=> 0 0

 

 

 

r=1 о 0

 

 

 

 

 

•

-......................-

 

Л/-*ф =

0.

 

- -

- — ~-(2.8)

В (2.6) и (2.8) используются следующие величины: q — вектор

токов ветвей, в том числе и ветвей с источниками тока, яр — вектор напряжений на элементах, в том числе на источниках напряжения.

Проанализируем слагаемые подынтегральных выражений (2.5)

и (2-7):

Яі

Яі

ч><

4

-

j*Яі Y 1 ddi = Яі^і —j 1M<7i = \ я і О М db

n n n

представляет собой энергию, заключенную в магнитном поле нели­ нейной индуктивности; графическая интерпретация этого интегра­ ла — площадь над кривой вебер-амперной характеристики, огра­ ниченная прямой яр = яр£ (заштрихованная область на рис. 13, б);

■Ф/

 

Ф/

Я/

j

 

= Ф/<7/— j

4id4>i = j Ф/ ІЯі) d-Яі

о

1

о

о

представляёт собой энергию электрического поля нелинейной ем­ кости; графическая интерпретация этого интеграла — площадь над кривой кулон-вольтной характеристики, ограниченная прямой q = = qj (заштрихованная область на рис. 13, а);

...............

.............чк ~

графическая интерпретация

интеграла J ярй (qk) dqk — площадь

 

о

над кривой ампер-вольтной характеристики нелинейного сопротив­ ления, ограниченная прямой q = qk (область I, рис. 13, b);

42

графическая , интерпретация' интеграла J qk (ф.) dwk — площадь

 

 

J ■•

•

■

-

о

 

 

под кривой ампер-вольтной

характеристики

нелинейной проводи­

мости,

ограниченная

прямой ф 4^ф й;

'

"

 

 

Як

 

^

 

 

' '

' '

 

 

 

I

Ei (<7,) dqt — площадь, ограниченная

ампер-вольтной характе-

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ристикой источника.напряжения, осью q,

осью ф и прямой q =

qt

(область II, рис. 13, а);

 

 

 

 

 

 

%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J'

(фл) d\pr — площадь,

ограниченная

ампер-вольтной

харак-

о

 

 

 

 

осью ф, осью q и прямой

 

 

теристикой источника

 

тока,

ф =

фл

(область

I на рис. 13, г).

 

 

,

 

 

Последние четыре интеграла имеют размерность мощности и в линейном случае соответствуют мощностям, рассеиваемым на со­ противлениях и отдаваемым в цель источниками-энергии.

Для

линейных

электрических

цедей выражения принципа наи­

меньшего действия упрощаются и принимают следующий вид:

 

m

’

п-

 

 

{

1

б

2

L â \ — 2

'

$ +

2

j

rkqUt

 

<=i

/ = 1

 

к=1 X

 

 

 

 

 

 

Nq = О

 

 

 

 

 

 

"

f-

'

6 f f r

2

c $ —

2

~ r

Ф? +

2

f Qk^ldt

t. {

/ = 1

 

<•=!

'

 

* = 1 0

j

 

 

 

 

 

N*ф =

0.

Следует иметь в виду, что при использовании первой системы электромеханических аналогий энергетические слагаемые записы­ ваются для всех элементов электрической цепи, кроме источников тока (последние учитываются в уравнениях связи типа (2 .6 ), (2 .1 0 )), а'при использовании второй системы электромеханических анало­ гий — для всех элементов, за исключением источников напряжения (последние учитываются в уравнениях связи типа (2 .8 ), (2 .1 2 )).

Если записать условия равенства нулю вариаций (2.5), (2.7), (2.9) и (2.11) в форме, Лагранжа — Эйлера [73, 182], то полу­ чим уравнения второго закона Кирхгофа (метода контурных токов) для первой системы аналогии и первого закона Кирхгофа (метода узловых напряжений) для второй системы аналогии. При этом урав­ нения связей должны быть использованы для подстановки в варьи­ руемые интегралы с целью исключения линейно зависимых коорди­ нат и скоростей.

43

Для синтеза электронных моделей задач оптимального планиро­ вания можно использовать тот факт, что интегралы, подлежащие вариации, достигают минимума при действительном протекании про­ цессов в цепях.

Проиллюстрируем минимальный принцип на примерах простей­ ших цепей (рис. 14, с, б). На рис. 14 стрелками показаны принятые положительные направления величин.

Рис. 14

Минимальный принцип для цепи рис. 14, а можно записать в виде

 

 

2

ifі<7> + ra<72 +

гз?з) dt

dt = min, (2.13)

 

 

Lzql) + * ~J

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

J — Яі +

Яг + <7з-

 

(2.14)

 

Подставляя (2.14) в (2.13), получим

 

 

U

г

t

 

 

 

f \ Hf —

 

2

q2\ + Lzq\ + J \rxq\ +

 

 

 

§ ~ ~

 

+ r3 {J — qx — q ^] dtj dt = min.

 

 

 

 

 

 

(2.15)

Покажем, что условиями минимума вариационного интеграла (2.15) являются уравнения, описывающие поведение цепи в соответ­ ствии со вторым законом Кирхгофа. Поскольку (2.15) не зависит от обобщенных координат, которыми в данном случае являются заря­ ды, уравнения Лагранжа второго рода будут иметь вид

 

й_

=

0 ,

(2.16)

 

dt

L\q\ +

Г\Ч\

—

— <7а) =

0 ,

L%q% +

r za,z — гз (d — qx — q2) =

(2.17)

0.

Нетрудно видеть, что (2.17) являются уравнениями второго закона Кирхгофа для контуров, образованных rx, Lu г3 и ra, L2, г8 соответ­ ственно.

44

Д л я схемы рис. 14, б вариационный интеграл запишем в виде

(

 

^і<7і +

E6ql

1

2

1

 

 

r6ql) dt

—

 

c2 ? 2

c. <73 + ^ (ricji +

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1e6<7ä<^

dt =

min,

 

 

 

(2.18)

 

 

 

0

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<7i +

q%—<7з =

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

<?2 — qi

<7s =

0 , •

 

 

 

(2.19)

 

 

 

<7з

q& 4t =

0 .J

 

 

 

 

Использовав (2.19), исключим из

(2.18) линейно зависимые токи qs,

ft и

дь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 , т і2

1

/_

_ ч2

1 - 2

 

 

 

 

№ L tf I +

Leql — -rr- Ob — <7і)г

■<7з

+

 

 

 

 

 

+

{ Ir4 (<7e — Яг? + r6 (qa— <7в)г] dt — j

e5 (q3— g6) ttt| dt =

min.

Запишем для (2.20) уравнения Лагранжа в форме (2.3):

 

(2.20)

 

 

 

 

(<7з — <?і) — U (дв — qd = 0,

 

 

 

 

 

(<7з — <7і) + - 4 - 7s +

гъ(<7з — <7в) — еь =

0,

 

(2.21)

 

 

 

 

^в<7е +

г4 (?в— <7і) — г ъ (<7з — <7о) + е5 =

0-

 

)

 

Как следует из (2.21), мы получим уравнения второго закона Кирх­ гофа для контуров, образованных внутренними ячейками схемы.

2.3. МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА, НЕ СОДЕРЖАЩИХ РЕАКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Для цепей постоянного тока обобщенные скорости (токи и напряжения) не зависят от времени. В связи с этим за знаки ин­ тегралов можно вынести сомножители, не зависящие от времени:

h г

;

‘ 4k

s

t4‘

 

 

J

s

J j

Ф* (<7*) dqkdt — 2

J j El (qi) d q fl dt = min;

(2.22)

 

1о

 

 

 

 

 

I

J

 

 

 

(2.23)

 

2

J Ф* (%) dqk — X l

E, {qi) dqt

J tdt = min*

 

fe=l U

1=10

J

t,

 

45

Поскольку для любого фиксированного промежутка времени t0 —

— tl интеграл в (2.23) не зависит от qk, qh минимум (2.23) достига­ ется только за счет выражения, стоящего в квадратных скобках:

I

qk

s

 

 

V

J Ф* Ы

dqk — 2

J Я, (qd dqt = min.

(2-24)

S

к:= 1

jj

/ = 1

Й

 

Аналогично, по второй системе электромеханических аналогий бу­ дем иметь

'Иг

2 J Чк(Фи)

— 2

i Jr (Фг) db = min.

(2'25)

k=l о

r= 1

о

 

Рассмотрим пример электрической цепи, содержащей нелиней­

ное сопротивление с

вольт-амперной характеристикой

вида і3 =

/. о

=

а і/із, и,3 = ß v ^ (рис.15). Применим (2.24)

≤0

к

этой цепи:

 

 

и

 

 

 

 

 

 

~2~ (гі1’і + г2*і) ~Ь ^ и2з (У d i3— Е іі — min.

Рис. 15

 

°

(2.26)

Подставляя в подынтегральное выражение зависимость напряжения от тока и беря интеграл, получим

4 г гі1 + ~ г ГЛ +

- 4 Ргз/ 3 —£t'i = min>

(2-27)

г'і =

і2 + і3.

(2.28)

Уравнения, описывающие поведение этой цепи, будут получены, если приравнять нулю частные производные (2.27) по і2 и і3, под­

ставив предварительно (2.28) в (2.27):

 

АП

= Г1 (l2+ is) + r4%

E = 0,

д і2

 

(2.29)

ö[ ]

 

r 1(гг + h) “b ß^ 3

— E = 0.

di.

Если выражение минимального принципа для этой же цепи за­ писать по второй системе электромеханических аналогий, то полу­ чим

~о~ Ч і^ 42“ <72^23 +I

~2~4 іА з — min;

(2.30)

E = U! +

U23.

(2.31)

Подставляя (2.31) в (2.30) и приравнивая нулю частную производ­ ную по U23, получим уравнение первого закона Кирхгофа для этой цепи:

— Ч-iß + ІЧі + Чі) У2э + а ^23 = 0.

(2.32)

Для линейных цепей, содержащих сопротивления и источники,

46

Смотрите также файлы