ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
получим следующие выражения минимального принципа, совпадаю щие с приведенными у Дж. Денниса [8 6 ]:
. |
/ |
. |
S |
' |
Nq = 0; |
(2.33) |
-о- S |
|
— S -^ ..= = m in , |
||||
z |
fc=i |
/=і |
|
|
|
|
. |
f |
|
p |
|
|
|
- ö - |
2 |
<7*ф! — 2 |
= m i n , |
А /*ф = 0 . |
( 2 .3 4 ) |
|
L |
*=I |
|
r= |
1 |
|
|
Заметим, что здесь и далее уравнения идеальных диодов, транс форматоров и зависимых источников энергии, в том числе электрон ных усилителей и электронных следящих систем, должны рас сматриваться при формулировках минимального принципа в ка честве дополнительных ограничений, наряду с ограничениями вида (2 .6 ), (2 .8 ).
2.4. МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА В СИНУСОИДАЛЬНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
Рассмотрим произвольную линейную RLC-цепь, содержащую синусоидальные источники напряжения и тока. С целью упрощения выражений воспользуемся известным свойством таких цепей, заключающимся в том, что в установившемся режиме все токи, напряжения цепи, а следовательно, их производные и инте гралы являются синусоидальными функциями времени:
Е, = |
Elmsin (со* + |
ߣ), |
i, = |
11 sin (со* + |
a,), |
|
Jr = |
Jrmsin (со* + |
Yr). |
h = |
h sin И + |
“*)> |
(2.35). |
*£— / ( sin (со* -]- dj), |
it = |
/ г sin (со* + |
a £). |
|
||
Поскольку режим установившийся, а вариационный интеграл берет ся по произвольному промежутку времени, выбираем пределы ин тегрирования равными периоду основной частоты со т. е.
В соответствии со сделанными замечаниями определим вклад в. вариационный интеграл отдельных групп элементов, а именно: ин дуктивностей, емкостей, сопротивлений и источников напряжения. Как и ранее, источники тока учитываются дополнительными усло виями, налагаемыми первым законом Кирхгофа.
Для индуктивностей будем иметь
2л |
|
|
|
L j f sin2 (со* 4 |
- а г) dt ~ |
|
|
sin2 (со* + а £) dt |
Я |
2 W |
(2.36). |
2со |
|||
47-
для |
емкостей |
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Г |
" |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
г п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
— |
/, |
/=1 |
' |
|
= |
— |
J |
|
4 " 2 |
“é " |
J //Sin(arf + a/)dz |
||||||
|
|
|
|
О |
|
/=■' |
' |
Lо |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** |
|
|
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
j'i |
|
|
||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
і |
( c o s a , — |
c o s ( ü 0 2 Ä |
= |
— |
- 2^ |
- 2 " ^ |
- (2 + |
c o s 2 a / ) ' - |
|||||
для сопротивлении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.37) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
-j- |
2 |
j |
rkqkdtdt = |
J |
|
2 |
j* rkIb in 2 (at -f a*) dtdt = |
|
|||||||
|
t, |
|
* = 1 о |
2л |
|
|
о |
|
fe— 0 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2a*> d/ = |
|||
|
- - T |
2 |
V |
2 f |
4 -[* + т г - |
— |
t |
sin^ |
|||||||||
|
|
fc=t |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
-4^r 2 |
|
Г*7* (2л + |
sin 2a*)- |
|
|
(2.38) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И, наконец, для источников напряжения получим |
|
|
|||||||||||||||
t, |
S |
1 |
|
|
|
|
2л |
s |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— j |
2 |
£ Е д [dtdt = — |
Ц 2 |
|
f Еітsin (со/ + |
ß,) / dsin (со/ + |
a,) сШ = |
||||||||||
<,/=І о |
|
|
|
|
о |
І = 1 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
~ |
-ö â " 2 |
|
£ /m71[2я cos (Pi — a c) + Sin (ß, + a,)]. |
(2.39) |
||||||||||
|
|
|
|
|
/=] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Просуммировав |
результаты, полученные в |
(2.36) — (2.39), |
придем |
||||||||||||||
к следующему виду минимизируемого функционала: |
|
|
|||||||||||||||
I M s
E fi —
п j2 |
|
> |
2 |
(2 + cos 2 a /) + 4 г 2 |
(2 я + sin 2ak) — |
S
---- S- 2/=i ElmI‘ f2lt cos ~ |
+ sin (Pi + a /)I = rain- (2-40) |
|
В (2.40) произведено сокращение на общий множитель |
о> |
|
|
2 |
|
48
Совершенно естественно, что (2.40) должно быть дополнено ограничениями первого закона Кирхгофа: Ni = 0, где матрица со единений должна включать в себя и ветви с источниками тока.
2.5. О ВОЗМОЖНОСТЯХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МИНИМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
При построении электронных моделей условно-экстре мальных задач возникает один из двух вопросов.
1 . Задана конфигурация электрической (электронной) цепи и состав примененных элементов. Определить вид минимизируемого функционала и экстремальную задачу, которая может моделиро ваться данным классом цепей.
2. Задана условно-экстремальная задача и соответственно вид минимизируемого функционала. Определить класс цепей, которые могут моделировать данную экстремальную задачу.
Первый вопрос может быть разрешен систематическим примене нием минимального принципа для конкретного класса цепей с ана лизом полученных вариационных интегралов, достигающих воз можного минимума при действительном протекании процессов. Если по каким-либо причинам неудобно исходить из наиболее общих формулировок принципа, то можно попытаться использовать урав нения, описывающие поведение цепи в терминах теории цепей, в качестве уравнений Лагранжа — Эйлера, интегрируя полный диф ференциал и переходя таким путем к минимизируемому вариацион ному интегралу.
Анализ полученных выражений принципа позволяет оценить' класс экстремальных задач, для которых могут быть построены электронные модели аналогового типа:
а) линейные электрические цепи постоянного тока без накопите лей энергии — стационарные задачи линейного и квадратичного программирования, особенно транспортного типа;
б) нелинейные электрические цепи постоянного тока без накопи
телей энергии — стационарные задачи нелинейного программиро вания, главным образом выпуклого программирования';
в) линейные электрические цепи переменного тока в установив шемся режиме — стационарные задачи линейного и квадратичного программирования;
г) линейные электрические цепи переменного тока в переходном режиме — нестационарные задачи математического программиро вания; 14*
д) нелинейные цепи в переходном режиме — нестационарные
1 Стационарность и нестационарность экстремальных задач понимается здесь в смысле независимости или зависимости целевых функций от времени, производ
ных или! интегралов переменных задачи. |
|
4 3 - 2 5 9 5 |
49 |
задачи математического программирования и дифференциальные игры.
Второй вопрос, по существу, является постановкой задачи син теза электронных моделей экстремальных задач и, к сожалению, не может быть решен в общем виде и однозначно.
Одним из препятствий этому является ограниченность (специфи ка) уравнений, описывающих поведение электрических цепей, при котброй не всякой экстремальной задаче удается сопоставить ее аналоговую модель. Избежать этого можно путем последовательно го применения и развития теории квазианалогового моделирования.
В некоторых случаях возможным способом решения задачи син теза будет вычисление частных производных целевой функции ре шаемой экстремальной задачи по ее переменным с последующим при равниванием их нулю. Затем возможна попытка конструирования це пи с подходящими уравнениями Лагранжа.
Г л а в а 3
ЭЛЕКТРОННЫЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ИНФОРМАЦИИ
3.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ В МАТРИЧНОЙ ПОСТАНОВКЕ
Классическая транспортная задача в матричной поста новке формулируется следующим образом. Имеем т пунктов про изводства однородного продукта с объемами производства at (і =
=1 , т), п пунктов потребления того же продукта с объемами
потребления bj (j = 1 , ..., л) и транспортную сеть, связывающую маршрутами каждый пункт производства с каждым пунктом по требления. Каждый маршрут характеризуется стоимостью перевоз ки единицы продукта. Перевозки между пунктами производства, пунктами потребления и из пунктов потребления в пункты производ ства не допускаются. Необходимо определить объемы перевозок про
дукта Хц (і = 1 .......т; |
j = 1 , ..., п), |
удовлетворяющие |
ограниче |
||||
ниям: |
|
|
|
|
|
|
|
2П |
= |
Дц |
|
|
i = U ..........т; |
(3.1) |
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2т |
— Ь/, |
|
|
j — 1, . . . , ti', |
(3.2) |
||
|
|
|
|
хц > 0; |
|
(3.3) |
|
|
|
т |
|
|
п |
|
|
|
|
2 |
|
аі = 2 |
Pj |
(3-4) |
|
|
|
«=і |
|
/ = 1 |
|
|
|
и обращающие в минимум |
стоимость перевозки всего |
продукта: |
|||||
|
|
т |
|
|
п |
|
|
H = |
2 |
S |
С(іХц-*~тin. |
(3.5) |
|||
/=і /=і
На рис. 16, а, б показано схематическое изображение транспорт ной задачи и схема ее электронной модели, построенной, на основе диодной аналогии Денниса.
Для схемы рис. 16, б справедливы следующие уравнения:
п
І ц = |
I if |
t — l j • * • |
/=1 |
|
|
m |
|
|
2 in = |
J fj |
. /■ = i , • . |
1=1 |
|
|
f fflf |
(3 .6) |
ttf |
(3 .7) |
|
(3,8) |
|
51 |