Файл: Пластическое деформирование металлов [сборник статей]..pdf

отношение

определяющее значения параметров с = d при заданной средней величине натяжения рс на краю полосы.

Значения суммы [ср (у) + d\ находятся путем решения уравне­ ния (23). Параметр d, определенный из уравнения (26) позволя­ ет найти и значения функции ф (у) в интересующих нас точках по­ перечного сечения полосы. Действительно, механические свойства тонкой полосы при наличии в ней центрального идеально пласти­ ческого слоя определяются параметрами as, eu и п, а сам процесс сжатия тонкой полосы определяется параметрами Н, АН (или vR),

муле (18) определить относительную протяженность центрального идеально пластического слоя hJH.

Формулу (23) можно представить в виде

а Ф(У) = Ф (Щ) = ф! (|) = фх

Из формулы (27) следует, что четная функция N ординаты § определяется заданием параметров тК/С, п и АН/Н. Согласно фор­ муле (4) параметр С, характеризующий механические свойства деформируемого материала, определяется значениями as и еи. С учетом указанной формулы (4) в уравнение (27), служащее для определения значений функции N, входят следующие безразмер­ ные параметры: xK/as, eu, п и АН/Н, характеризующие рассмат­ риваемый процесс сжатия тонкой полосы.

Отметим очевидные соотношения: | £| ^ 0,5 и

В работе [8] приведены результаты численного решения уравне­ ния (27) на ЭЦВМ. Вычисления проведены для следующего диа-

24

пазова значений параметров п, АН/Н, хJC и аргумента £ (в скоб­ ках указана величина шага): п = 0,1-^-0,5 (0,05); АН/Н = 0,02 —н- 4-0,12 (0,02) и 0,15=- 0,30 (0,05);

xJC = 0,05 -4- 0,50 (0,05); I = 0 -4 - 0,5 (0,05).

В работе Г8| приведены таблицы значений q~>JCи d/C, позволяющие простым суммированием их значений при фиксированных пара­ метрах п, х JC и АН/Н определить значения функции N.. являю­ щейся решением уравнения (27). При заданной длине площадки текучести е„ формула (28) позволяет определить и значения функ­ ции [фл (£) + d\/as для разных значений ординат

Значения параметров d = с определяются, как указывалось выше, из формулы (26). Для удобства вычислений эту формулу представим в виде

ределить значения параметров d/os = c/os, а следовательно, и зна­ чения функции фх (£)/os. Значения указанных величин определя­

работы [8J совпадают только значения функции N. Формула (29), служащая для определения значений параметра d в рассматривае­

чаться на некоторую постоянную величину, зависящую от е„ и p j a s, от значений этой функции, указанных в работе [8J для сжа­ тия пластической упрочняющейся полосы. Величину сдвига можно найти по значениям параметров d/C с использованием формулы (29) и формулы, служащей для этой же цели в работе [8]. Величи­ ну постоянной сдвига можно найти и по значению функции ф (у) при у = dh hu/2 с использованием формулы (22).

В центральном слое у | ^ - r r j интенсивность напряжений сог­

ласно формуле (1) постоянна: о* = as = const. Распределение де­ формаций в этом слое определяется формулами (15), а интенсив­ ности деформаций формулой (16).

25

В тонком слое вертикальное перемещение v является линейной функцией ординаты;/, вследствие чего из формул (6) и (10) следует в,, = — &х = const. Подставив значение напряжений из формул (21) в формулы (9), получим после несложных вычислений с ис­ пользованием (6) следующее распределение деформаций в пласти-

а,

Условия сплошности для компонент деформаций (30) выполня­ ются тождественно и при помощи формул (6) можно построить не­ прерывное поле перемещений и и v, отвечающее полю деформаций (30) и граничным условиям (И). Распределение деформаций в рас­ сматриваемой тонкой полосе непрерывно при переходе через гра­ ницы раздела у = ± h J 2 идеально пластического и упрочняющегося слоев. Непрерывность у хУ на границах у = ± h j 2 следует из формул (15) и (30) вследствие соотношений (22).

Интенсивность напряжений в пластически упрочняющихся

шений (22) at — as, как это следовало ожидать.

Значение интенсивности деформаций в пластически упрочняю-

26

H/Z

h/Z

0 1 ,0 * 1 /% “ t,0 Ei/Eu

Рис. 3. Характер распределения интенсивностей напряжений (а) и дефор­ маций (б) в тонкой деформируемой упрочняющейся полосе с центральным идеально пластическим слоем (| у | ^ hu!2)

Непрерывность распределения интенсивностей напряжений О; и деформаций ег в рассматриваемой тонкой полосе следует не­ посредственно из непрерывности распределения компонент на­ пряжений и деформаций. Характер распределения ог и р, в тонкой упрочняющейся полосе с центральным идеально пластическим слоем показан на рис. 3.

Остаточные напряжения определяются по теореме о разгрузке

[ 2, 3].

На контуре деформируемой тонкой полосы с идеально пласти­

граничным условиям при v = 0,5 отвечают следующие значения напряжений в тонкой упругой полосе [6,7]:

с идеально пластическим слоем получаем, вычитая формулы (35) из формул (14) и (21). Для обозначения остаточных напряжений используем индекс 0. С учетом формулы (22) получаем, что в тон­ кой полосе

2Т

при hJ2 < I у I < HI2

Фсо = Ф(У) — Pc-

Значение d в (37) определяется по формуле (29). Остаточные на­ пряжения <тж0 непрерывны на границах раздела пластически упрочняющихся и идеально пластической областей, т. е. при у = = ± hJ2 . Это следует из формул (22) и (38). Главный вектор эпюры остаточных напряжений равен нулю, т. е.

деформация равна нулю, т. е. ось, перпендикулярная плоскости, показанной на рис. 2. Способом, аналогичным примененному вы­ ше при выводе формул (36) — (38), получаем, что остаточное на­ пряжение равно

Характер распределения остаточных напряжений ах0 показан на рис. 4. Как видим, эпюра остаточных напряжений в тонкой упрочняющейся полосе с центральным идеально пластическим сло­ ем обнаруживает два характерных перегиба, отвечающих орди­

28