Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория ганкелевых и теплицевых матриц, как и тео­ рия соответствующих квадратичных и эрмитовых форм, относится к тем разделам математики, о которых никак не скажешь, что им не повезло в математической литера­ туре. Напротив, этим теориям посвящены многие жур­ нальные статьи и целые монографии, и интерес к ним не ослабевает с самого начала нынешнего века, а в отноше­ нии ганкелевых матриц и форм — даже с конца прошлого века. Такой устойчивый интерес объясняется в первую очередь широким кругом приложений названных тео­ рий — в алгебре, теории функций, гармоническом ана­ лизе, проблеме моментов, функциональном анализе, тео­ рии вероятностей и многих прикладных вопросах.

Помимо упомянутых областей непосредственного при­ ложения, есть еще один раздел математики, в котором теплицевы и ганкелевы матрицы играют роль своеобраЗ’ ных моделей. Дело в том, что континуальными аналогами систем линейных алгебраических уравнений, у которых матрицы коэффициентов теплицевы (т. е. элементы этих матриц зависят только от разности номеров строки и столбца), являются интегральные уравнения с ядрами, зависящими от разности аргументов, охватывающие, в частности, такой важный для теоретической физики класс, как уравнения Винера — Хопфа. Нередко факты, обна­ руженные на алгебраическом уровне для упомянутых ли­ нейных систем, тотчас же влекут за собой по аналогии но­ вые результаты для интегральных уравнений (совсем не­ давний пример — работа [17], с содержанием которой чи­ татель частично познакомится в § 18 этой книги). Анало­ гичная ситуация имеет место в отношении ганкелевых матриц (т. е. таких, у которых элементы зависят только от суммы индексов) и ядер, зависящих от суммы аргументов.

Тем более парадоксальным представляется тот факт, что в чисто алгебраическом плане теплицевым и ганкеле-

вым матрицам и формам не было посвящено, по крайней мере на русском языке, ни одной монографии. Причем, если о ганкелевых матрицах и формах некоторые сведения можно почерпнуть из «Теории матриц» Ф. Р. Гантмахера ([4], гл. X, § 10 и гл. XYI, § 10), то о теплицевых матри­ цах и формах умалчивают практически все известные рус­ ские и переводные курсы линейной алгебры и теории мат­ риц, если не считать буквально нескольких строк, посвя­ щенных им в книге Р. Веллмана [2]. Что же касается из­ вестной монографии У. Гренандера и Г. Сеге «Теплицевы формы и их приложения» [6], то она целиком посвящена аналитическим проблемам. Сам же термин «теплицева форма», несмотря на его общее определение, данное авто­ рами в предисловии, употребляется в этой книге почти ис­ ключительно в том смысле, в каком он вошел в литера­ туру после работ К. Каратеодори, О. Теплица, Э. Фишера, Г. Герглотца, Ф. Рисса (1907—1915 гг.). А именно, речь идет в основном о формах, коэффициенты которых связаны с некоторым степенным рядом, рядом Лорана или рядом Фурье, а отнюдь не о формах общего вида и их чисто ал­ гебраических свойствах.

Между тем в журнальной литературе накопилось в на­ стоящее время большое количество результатов, относя­ щихся к алгебре ганкелевых и теплицевых матриц и соот­ ветствующих форм, и результаты эти складываются уже

следние результаты, вошедшие в данную книгу, получены уже в наши дни.

Весьма примечательными, на наш взгляд, являются об­ наружившиеся лишь в последние годы глубокие аналогии,

логии и связи явились тем ориентиром, с помощью которо­ го удалось разобраться во многих вопросах, остававших­ ся до сих пор в тени, несмотря на столь почтенный возраст рассматриваемой теории.

В силу изложенных выше причин, вероятно, достаточ­ но оправданной представляется целевая установка, при­ нятая при написании книги: ограничиться сугубо алгебра­ ическим аспектом теории, но отразить его, по возможно­ сти, полней. Заметим, что первая часть этой формулы,

вому с тем, чтобы сделать чтение книги по возможности независимым от наличия под рукой других руководств. В особенности это относится к §§ 6 и 8, посвященным усе­ ченным формам и сигнатурному правилу Якоби (с его обобщениями) соответственно. Несколько в стороне стоит § 3, содержащий чисто технический, но весьма важный для построения всей теории материал — лемму о вычислении одного специального определителя и ее следствия.

От читателя требуется знание элементов математиче­ ского анализа и алгебры, а также знание основного курса линейной алгебры и теории матриц в объеме, например, первых десяти глав трактата Ф. Р. Гантмахера [4], допол­ нением к которому, по существу, является предлагаемая книга. Такой минимальный объем требований к подготов­ ке читателя заставил отказаться от включения в книгу теории бесконечных продолжений ганкелевых и теплицевых форм с фиксированным конечным числом квадратов определенного знака. Эта теория, развитая в работах [18, 30, 21, 31, 19] идр., представлена в книге лишь двумя упражнениями в §§ 12 и 16 соответственно, ибо она требу­ ет применения средств функционального анализа (опера­ торы в гильбертовых пространствах с индефинитной мет­ рикой), а изучение асимптотики коэффициентов упомяну­ тых бесконечных продолжений нуждается в привлечении соответствующего аналитического аппарата.

Первоначальный текст книги сложился как запись специальных курсов, которые автор читал в 1968—1970 гг. на математическом факультете Воронежского государст­ венного университета и физико-математическом факуль­ тете Воронежского педагогического института. Впослед­ ствии этот текст был значительно расширен за счет вклю­ чения новейших результатов, появившихся (и еще не появившихся) в печати, а также за счет примеров и уп­ ражнений, которыми завершаются каждый параграф основного текста и оба дополнения. Диапазон этих уп­ ражнений довольно широк — от элементарных численных примеров, снабженных либо подробными вычислениями, либо ответами, до небольших предложений, а иногда и важных теорем, не попавших в основной текст. Наиболее трудные из упражнений сопровождаются указаниями.

В книге принята сквозная нумерация параграфов; предложения, а также примеры и упражнении нумеруют-

8 ПРЕДИСЛОВИЕ

ся в каждом параграфе заново; пункты, леммы и теоремы, а также отдельные формулы имеют двойную нумерацию (в которой первое число означает номер параграфа). Ли­ тературные ссылки в квадратных скобках [ ] приведут читателя к списку цитируемой литературы в конце книги.

Первым интересом к теплицевым формам, как и к дру­ гим вопросам алгебры и функционального анализа, автор обязан своему дорогому учителю Марку Григорьевичу Крейну. В этой книге (особенно в Дополнениях I и II) читатель не раз встретится с некоторыми его идеями и ре­ зультатами, относящимися к нашему предмету.

В тексте книги нашли свое отражение ценные советы В. П. Потапова, высказанные им на самом раннем этапе подготовки книги, когда ее идея еще только вынашива­ лась. На заключительном этапе работы большим стиму­ лом для автора явился интерес, проявленный к его замыс­ лу сотрудниками кафедры алгебры МГУ О. Н. Головиным, Э. Б. Винбергом, Е. С. Голодом и В. Н. Латышевым.

Слушатели специальных курсов, с которых «стартова­ ла» книга, Т. Я. Азизов и Е. И. Иохвидов оказали автору неоценимую помощь в оформлении рукописи. В частности, Т. Я. Азизов взял на себя нелегкий труд чтения всего тек­ ста и проверки всех упражнений и вычислений, в резуль­ тате чего были внесены многочисленные поправки и улуч­ шения. Полезные замечания в ходе чтения и обработки лекционных курсов были сделаны Ф. И. Ландером.

Всем названным лицам автор приносит сердечную бла­ годарность.