Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 0
10 |
ОЁЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ Й ФОРМ |
[ГЛ. I |
есть, |
по определению, минор, дополнительный к минору |
|
II12 ... I,
А\,
Вчастности, дополнительными к минорам первого порядка
atj = А ( £.) являются определители
/1 2.. .г —1 |
1 + 1 . . . л \ _ _ |
|
(i, 7 — 1 , 2 , . . . , п), |
|||
\1 2 . . . / - 1 |
f + |
l . . . n ) ==a'ii |
|
|||
|
|
|
||||
а числа Ац = (— |
l)i+J' ац представляют собой алгебраи |
|||||
ческие дополнения элементов ац матрицы А соответст |
||||||
венно (i, ] |
= 1,2, |
..., |
п). |
|
|
|
1.2. |
Несколько отклоняясь от более распространенной |
|||||
терминологии, мы, следуя [5], назовем взаимной |
по от |
|||||
ношению к матрице А матрицу |
|
|
|
|||
составленную из миноров порядка п — 1 матрицы А . Уста |
||||||
новим правило вычисления миноров |
в з а и м н о й |
мат |
||||
рицы. |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 1.1. Для любого натурального р (1 |
|
|||||
|
tl 12 .. .lr |
= |A f - 1 A |
h |
k ,...k n_p |
|
|
* U |
|
h |
h ... ln_p |
( 1- 1) |
||
|
|
|
|
|
||
При этом в случае р = п формулу (1.1) следует понимать |
||||||
как |
|
|
|
|
|
|
|
| ^ | = л (! г | ^ I " ' 1- |
(1-2) |
||||
а при р = |
1 и \А|= |
0 считать |
\A |p_1 = 1. |
можно |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Не уменьшая общности, |
||||||
ограничиться рассмотрением миноров вида |
|
|||||
|
/1 2 . . . р\ |
|
|
|
||
|
Ж \ 1 |
2 |
. . . р ) |
|
|
|
так как общий случай легко получается из этого соот ветствующей перестановкой строк и столбцов. Теперь
§ 1] ВЗАИМНАЯ МАТРИЦА И ЕЕ МИНОРЫ И
формула (1.1) примет вид
2 •••Р |
/р+1...п\ |
|
А С 2 . . . р , |
= |А |V^A \ р + 1 . . . п ) ' |
(1.3) |
Чтобы ее установить, умножим в определителе
а п а п . . . а 1р
строку с номером i на (— 1)* (г = 1, 2, ..., р), а столбец с номером / на (— 1)J (/ = 1, 2, ..., р). Легко понять, что от такого преобразования величина определителя не из менится, а сам он приобретет вид
A n |
A n . |
. ^1-n |
|
|
1V |
A n |
A n . |
2V. |
d e b |( — l ) l+J a n ||FiJ = i = |
|
|
|
|
|
A Pi |
A p i ■ |
pp |
Нам удобнее представить этот минор в виде определителя порядка п (в случае р = п последний шаг, разумеется, не нужен):
А и . . . |
A ip |
A l, P+1 |
■ • |
A a |
A%p |
A |
•■ A 2n |
2, p+l |
2
А |
G |
2 |
A „ , . . |
|
p p a p , p+i |
~ |
p n |
|
p i |
|
|
||||||
|
|
0 |
. . |
0 |
l |
. . . |
0 |
|
|
|
|
0 |
. . |
0 |
0 |
. . |
1 |
Обе части этого равенства умножим на определитель
al l |
. . . |
al p |
al, p+l |
. . . |
al n |
|
|
|
|
||
a21 |
• ■■ |
a2p |
fl2, p+l |
■■• |
ain |
V |
. . . |
aPP |
®P, P+l |
■■■ |
apn |
“ p+l, 1 |
••• |
ap+i, p |
“ p+l, P+l |
■■■ |
ap+1, n |
aM |
• • • anp |
“ « , p+ l |
“ « « |
12 |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ |
[ГЛ. I |
причем в правой части умножение определителей будем производить по способу «строка на строку». Тогда, учи тывая известные свойства алгебраических дополнений А ц, получим
1 2 . . .
1 2 . . .
А\
0
|
~5;0аГ |
II |
|
! |
И |
| |
0 |
0 |
. . . |
0 |
0 |
0 |
. . . |
0 |
0 |
0 |
|
И 1 |
0 |
. . . |
0 |
а1, р+1 |
а2, р+1 |
' •' |
ар, р+1 |
ар+1, р+1 |
••• |
V р+1 |
ai?i |
а2п |
. . . |
арп |
°р+1, п |
••• |
апп |
Заметим сразу, что при р — п получится просто
|
II |
2 |
... п\ |
|
(1.5) |
|
*(, |
2 |
... „)|Ц = МГ- |
||
Если |
матрица А неособенная |
( |^4 |=^= 0), то |
из (1.4) |
||
(соответственно (1.5)) |
немедленно |
следует (1.3) |
(соответ |
||
ственно |
(1.2)). В случае же \А \= |
0 тождество (1.3) (соот |
|||
ветственно (1.2)) получается стандартным предельным переходом. Именно, рассматривается матрица А Е= А + + еЕ, где Е — единичная матрица порядка п. Опреде литель |ИЕ|есть многочлен от е. Поэтому в сколь угодно малой окрестности нуля найдутся значения е, при кото рых |ИЕ|Ф 0. Записав справедливое при таких е для A t (точнее говоря, для миноров ее взаимной матрицы ИЕ) тождество вида (1.3) (соответственно (1.2)), перейдем в нем к пределу при е ->-0 по значениям е, для которых \АЕ\Ф Ф 0. При этом миноры матрицПЕи J[e перейдут в соответ
ствующие миноры матриц И и И, |
и мы получим тождество |
||
(1.3) (соответственно (1.2)). |
|
|
|
Примеры и упражнения |
|
|
|
1. Пусть |
3 |
0 |
— 11 |
I |
|||
|
2 |
7 |
— 2 |
—3 4 о||
§ 2] ТОЖДЕСТВО СИЛЬВЕСТРА ДЛЯ ОКАЙМЛЕННЫХ МИНОРОВ 13
Не |
составляя |
Я, |
вычислим |
|
Сз> |
Здесь |
р = 2, |
|А |= |
||||||||||
Я | |
|
|
|
|||||||||||||||
= |
3-8 + ( - |
1)*29 = |
|
- |
5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|А 1Р- 1= — 5, |
|
А |
(!)~ |
3. |
|
|
||||||||
По формуле |
(1.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
^ |
Q |
з ) |
= |
И \P~lA Q |
= ( - |
5) (~ |
3) = 15. |
(1.6) |
||||||||
|
2. Для матрицы |
А |
примера |
1 |
вычислим |
I |
Я |. По |
формуле |
||||||||||
( 1. 2) |
|
|
I Я |= |Я |’1-1 = ( - 5 ^ = 2 5 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Заметим, что сама матрица Я имеет в данном случае вид |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
— 6 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я = |
4 |
— 3 |
|
12 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
— 4 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к примеру 1, проверим результат (1.6): |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
G |
з)=— |
|
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
— 6 |
29 |
= |
|
— 72 + 87 = |
15. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. Если матрица А — «нижняя |
треугольная»: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
flu |
0 |
0 |
|
|
. . |
. |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
А = |
|
fl21 |
Я22 |
0 |
|
|
. . |
. |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
anl |
%2 |
апЗ |
|
|
|
апп |
|
|
|
|||
т. е. <Zjj = |
0 |
при / > |
|
i, |
то |
|
взаимная |
|
матрица |
|
|
|
||||||
угольная»: |
|
|
|
|
|
ац |
ai2 . |
• • а1п |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a22 ■ |
|
■ Ни |
|
|
|
|
|||
т. е. aij — |
0 при i > |
/. |
|
j0 |
|
0 |
. |
* |
|
' ^7Ш |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
обратное по отношению к |
сформу |
|||||||||||||
|
4. Верно ли утверждение, |
|||||||||||||||||
лированному в упражнении 3? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
§ 2. Тождество Сильвестра для окаймленных миноров |
|||||||||||||||||
|
2.1. |
|
Рассмотрим |
|
у |
матрицы |
А = |
|аг;-||ц 3-=1 (п ;> 2) |
||||||||||
минор |
|
л(12 |
|
|
I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(к |
.р о |
) |
|
|
||||||||
14 |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ |
[ГЛ. I |
и будем его окаймлять, добавляя какую-нибудь одну стро ку и один какой-нибудь столбец из оставшихся п — р строк и п — р столбцов, т. е. строя миноры
/1 2 ... Р г
-Ч 2 ... Р s
Из этих миноров составим матрицу
в= № „ |r, s=p+l
порядка п — р и поставим себе целью вычислить ее опре делитель
|
В ( Р + 1 |
п\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
\р + 1 |
|
|
|
Т е о р е м а |
2.1 ( С и л ь в е с т р а ) . |
Имеет место |
||
тождество |
|
|
|
|
'Р + 1 |
••• " ) = м | |
2 |
РУ П-р-1 |
|
В ,Р + 1" |
[ д ; 2 |
р ; |
(S) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поскольку |
при р = |
п —1 |
|
формула (S) тривиальна, будем считать |
1 sgC р <; п — 1. |
|||
Рассмотрим взаимную к А матрицу А и некоторые |
из ее |
|||
миноров, а именно |
|
|
|
|
_ j ( P + 1 • • • |
r ~ i Г + 1 |
п\ |
|
|
||||
crs — |
\р + |
1 . . . |
5 — 1 |
s + 1 |
. . . п ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(г, s = |
р + |
1 , . . п). |
(2.1) |
Согласно теореме 1.1 (формула |
(1.1)) |
имеем |
|
|||||
с„ = \ а г ” |
а (J I |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( r , s = p + |
l l ...,n). |
(2.2) |
|
Составим |
теперь матрицу |
С = |
||с„ ||£ s=p+1 порядка |
|||||
п — р и вычислим, |
исходя из (2.2), |
ее определитель |С|: |
||||||
|
|С | , М |<»-м х- |
й я ( £ ;И |
••• |
|
(2.3) |
|||
Определитель (2.3) можно вычислить и по-другому) воспользовавшись тем, что по определению (2.1) чисел