Файл: Термодинамические основы теории тепловых машин учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
нов и другие тела содержат практически неисчерпаемые запасы тепла. Однако эту энергию чрезвычайно трудно использовать в це лях получения работы вследствие отсутствия в природе естествен ных холодильников, имеющих другую, значительно более низкую температуру. Наблюдаемые в природе разности температур (напри мер, разность между температурой воды на поверхности и в глуби не моря, у экватора и у полюсов) малы по величине и неустойчивы по времени. Поэтому попытки использования разностей темпера турных потенциалов природных тел приводили обычно к созданию дорогостоящих, громоздких и имеющих низкие к. п. д. машин, при менение которых экономически не оправдывалось.
Второй закон термодинамики в отношении утверждения невоз можности построения «вечного двигателя» второго рода справедлив не только для тепловой, но и для других видов энергии. Так, напри мер, нельзя получить работу на колесе гидротурбины, использую щей потенциальную энергию, если нет разности уровней воды; не возможно получить работу на валу электромотора при отсутствии разности электрических потенциалов и т. д. Следовательно, для соз дания любого двигателя, превращающего тот или иной вид энергии в энергию механическую, необходимо наличие разности со ответствующих потенциалов. В этом отношении второй закон термо динамики является общим законом, справедливым для всех видов , энергии.
Со вторым законом термодинамики непосредственно связано понятие энтропии.
§ 5. ЭНТРОПИЯ
Интеграл Клаузиуса
При рассмотрении термических к. п.д. круговых процессов на ми было получено выражение (126)
i_.i2 s .o _ Л
дд, г, ’
в котором знак равенства относится к обратимому циклу Карно, а знак неравенства — к необратимым циклам.
В этом выражении:
AQi — абсолютное количество тепла, подведенного к рабочему телу от горячего источника;
AQ2 — абсолютное количество тепла, отданного рабочим телом холодильнику;
Т1 и Га— абсолютные температуры соответственно горячего источ ника и холодильника.
Преобразуем приведенное выражение:
Д<?2 ^ Т,
AQ, |
^ |
Г, |
A Q i |
|
T\ ' |
A Q a |
> |
A Q , . |
(128)
Переходя от арифметической разности абсолютных значений величин к алгебраической сумме и относя знаки тепла к рабочему телу, получим
^ |
+ |
< 0, |
лп
Здесь AQ1 есть положительная, а А Q2— отрицательная вели чины, поскольку первая определяет количество тепла, подведенно
го к рабочему |
телу, а вторая — количество отведенного от него |
тепла, |
|
Последнее выражение можно записать в виде: |
|
|
(129) |
Отношение |
—— называется приведенной теплотой. Согласно |
формуле (129) алгебраическая сумма приведенных теплот для об ратимого цикла Карно равна нулю, а для необратимых циклов — меньше нуля.
Этот вывод, полученный для циклов, осуществляемых при нали чии в системе лишь двух тепловых аккумуляторов, оказывается справедливым и для любого другого цикла. Покажем это на при мере произвольного обратимого цикла 1—а—2—б— 1 (рис. 31).
Р |
Щ т ,) |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
Щ (Т 2 ) |
0 |
V |
|
Рис. 31 |
8* |
1 1 5 |
Для обеспечения обратимости теплообмен рабочего тела с источ никами тепла должен происходить при бесконечно малой разности температур, что в условиях произвольного цикла требует наличия бесконечно большого количества тепловых аккумуляторов с разны ми температурами.
Разобьем цикл / —а-—2—б—1 адиабатами на большое число элементарных циклов. Отрезки контура цикла, заключенные между соседними адиабатами, можно заменить изотермами, так как при достаточно малой длине этих отрезков изменение температуры ра бочего тела в пределах каждого из них будет мало и им можно пре небречь.
Каждый из полученных циклов в этих условиях будет являться элементарным циклом Карно.
Заметим, что адиабатические процессы смежных циклов Карно совершаются дважды и в противоположных направлениях. Поэтому от наличия этих процессов конечное состояние термодинамической системы не зависит. Отсюда следует, что совокупное действие эле ментарных циклов Карно сводится к действию элементарных изо термических процессов и поэтому одинаково с исходным циклом
1—а—2—6— 1.
На основании формулы (129) для каждого элементарного об ратимого цикла Карно можно написать
y _ d Q _ ==0
^Т
Суммируя аналогичные выражения для всего числа п элемен тарных циклов, найдем
|
dQ |
0. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Т |
|
|
Это равенство относится2к циклу, очерченному зубчатым конту |
||||
ром. В пределе при п -* о с |
для рассматриваемого произвольного |
|||
цикла 1—а—2—б—1 получим |
|
|
|
|
dQ |
= 0, |
|
(130) |
|
где П) — интеграл, взятый |
по всему замкнутому контуру цикла. |
|||
Таким образом, интегральная сумма приведенных теплот |
для |
|||
любого обратимого цикла равна нулю. |
|
|
||
Аналогично можно показать, что для любого необратимого цик |
||||
ла эта сумма меньше нуля |
|
|
|
|
dQ |
< 0. |
|
(131) |
|
|
Т |
|
|
|
116
. Обобщая выражения (130) и (131), получаем
dQ < 0. |
(132) |
Выражение (132) было получено немецким физиком Клаузиусом
•з 1854 г. и называется интегралом Клаузиуса.
Энтропия
Возьмем произвольный обратимый цикл / —а—2—6— 1 (рис. 32). Применительно к этому циклу разобьем интеграл Клаузиуса на две части, соответствующие двум процессам цикла: 1—а—2 и 2—б— 1
2 |
1 |
= 0.
1
р
о |
V |
Рис. |
32 |
Знаки (а) и (б) показывают, |
что первый интеграл берется по |
пути / —а—2, второй — по пути 2—б—1.
В обратимом цикле все составляющие его процессы также явля ются обратимыми. Последние могут осуществляться по одному и тому же пути в каждом из двух противоположных направлений. В соответствии с этим, переставив пределы интегрирования и изме нив знак второго слагаемого, получим
2 2
1 |
I |
« Л И |
|
О |
|
(а) |
(133) |
1 |
|
1 1 7
Уравнение (133) показывает, что для обратимых процессов инте-
Г |
dQ |
не зависит от пути процесса и польностью определяется |
грал \ |
|
конечным и начальным состояниями рабочего тела. Но такими же свойствами обладают, как известно, все функции состояния рабо чего тела. Отсюда следует, что подынтегральное выражение пред ставляет собой полный дифференциал некоторой однозначной функ ции состояния. По предложению Клаузиуса эта функция состояния названа энтропией и обозначается через S.
Таким образом, для обратимых процессов
|
т |
(134) |
|
|
|
Интеграл |
представляет собой |
изменение энтропии US |
за конечный |
обратимый процесс 1 — 2 |
|
|
dQ |
(135) |
|
b S ~ S 2 - S t = I Т ’ |
где $2 и Si — значения энтропии рабочего тела соответственно в: конечном и начальном состояниях;
Т — температура теплового аккумулятора, К.
Таким образом, энтропия есть некоторая однозначная функция состояния рабочего тела. Изменение энтропии не зависит от пути процесса и полностью определяется начальным и конечным состоя ниями тела. Изменение энтропии рабочего тела за цикл равно нулю.
Применим теперь интеграл Клаузиуса к исследованию необра тимых процессов и циклов. Рассмотрим необратимый цикл 1—а—2— б—1 (рис. 33), состоящий из необратимого процесса 1—а—2 и об-
US
ратимого процесса 2—б—1. Тогда в соответствии с неравенством (131) для этого цикла можно написать
1 2
Переставляя пределы интегрирования для обратимого процесса 2—6—1, получаем
< о,
или
2
!
2
Так как интеграл (б) ^ относится к обратимому процес-
I
су, он представляет собой изменение эптропии рабочего тела в этом процессе
dQ |
ÄS. |
S 3- Sx = |
|
Т |
|
Тогда предыдущее неравенство можно записать в виде |
|
2 |
|
ÄS= . 5a - S 1> ^ - ^ - . |
(136) |
н е оІб р |
|
или в дифференциальной форме |
|
d S > dQ |
(137) |
Т |
|
Неравенства (136) и (137) определяют характер взаимосвязимежду изменением энтропии рабочего тела и приведенного тепла в необратимых процессах.
Обобщая выражения (135) и (136), получаем
2 |
|
|
bS - s , - S, > Г |
, |
(138) |
119
или в дифференциальной форме
d S ^ |
dQ |
(139) |
Т
Здесь знак равенства относится к обратимым процессам, знак неравенства — к необратимым процессам, а Т представляет собой температуру теплового аккумулятора.
Выражение (138) показывает, что изменение энтропии рабочего
тела AS в обратимом процессе равно интегралу |
а в необ- |
1
ратимом — больше этого интеграла. Последнее не означает, однако, что изменение энтропии рабочего тела в необратимых процес сах больше, чем в обратимых. Как уже отмечалось, энтропия есть функция состояния тела. Поэтому если начальное и конечное со стояния тела заданы, то изменение энтропии тела между этими со стояниями будет одинаковым независимо от того, каким путем (об ратимым или необратимым) осуществляется переход из одного со стояния в другое. Отсюда следует, что знак неравенства в выраже нии (138) означает лишь то, что в необратимом процессе интеграл
dQ уже не выражает изменения энтропии рабочего тела, а ока- 1 Т
зывается меньше его.
Пусть от одного тела к другому передается AQ единиц тепла. Обозначим температуру тела, воспринимающего тепло, через 7',, а температуру источника тепла через Т,,. Если эти температуры оди наковы (точнее, отличаются на бесконечно малую величину), то процесс перехода тепла будет обратимым. Тогда изменение энтро пии тела, воспринимающего тепло, определится отношением
AQ |
AQ |
A S , = |
|
Тя |
|
Если же температура источника тепла |
(обозначим ее 7’’,) больше |
температуры Гт тела, воспринимающего тепло, то процесс будет необратимым. Если начальное и конечное состояния тела одинако вы, то изменение энтропии тела в необратимом процессе будет та-
ким же, что и в обратимом |
Д Q |
|
AST—-------. Однако эта величина |
||
|
Тг |
|
будет больше отношения |
, т. е. |
|
|
Т1 И |
|
AS., |
AQ |
|
К |
||
|
по