Файл: Термодинамические основы теории тепловых машин учеб. пособие.pdf

Г л а в а VII

ТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ

§ I. ОСНОВНЫ Е УРАВНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ

Основные определения и допущения

В технике широкое применение находят машины, работа кото­ рых связана с движением газа. Процессы течения газа имеют место в двигателях внутреннего сгорания, системах охлаждения, очистки воздуха и в пневматических устройствах боевых машин и испыта­ тельных стендов.

Состояние рабочего тела в каждой точке потока газа характери­ зуется термодинамическими параметрами: давлением р, температу­ рой Т, удельным объемом ѵ (или плотностью р ) и, кроме того, ско­ ростью W.

Уравнения, связывающие между собой параметры газового по­ тока в различных сечениях канала, будем рассматривать примени­ тельно к одномерному и установившемуся (стационарному) тече­ нию газа. Преимущественно в таком виде эти уравнения использу­ ются в современных методах расчета лопаточных машин, эжекто­ ров и реактивных двигателей.

Допущение об одномерности движения означает одинаковость параметров потока во всех точках поперечного сечения канала, что, строго говоря, справедливо только для элементарной струйки газа, у которой поперечные размеры весьма малы.

При исследовании реальных потоков это допущение требует со-

-ответствующего осреднения параметров газа (скорости, температу­ ры, давления, удельного объема) по сеченню канала.

Допущение о стационарности течения означает, что параметры потока в каждом сечении канала не изменяются со временем.

Для решения практических задач, связанных с преобразованием газового потока, используются три основных уравнения: неразрыв­ ности, сохранения энергии и количества движения.

169

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности потока является следствием закона сохранения вещества. Рассмотрим участок струйки газа между ее поперечными сечениями 1— 1 и 2—2, нормальными к поверхностям тока (рис. 69), полагая, что приток газа осуществляется только че­

рез поперечное сечение 1—1, а выход — через сечение 2—2. В усло­ виях установившегося течения масса газа, заключенная между се­ чениями 1—1 и 2—2, остается неизменной, так как параметры газа в любой точке выделенного объема с течением времени не изменя­ ются. Это означает, что количество газа Gh проходящего в единицу времени через сечение 1—1, будет равно расходу его G2l через сече ние 2—2, т. е.

Gi =з G2=( G.

Так как сечения 1—1 и 2—2 были выбраны произвольно, то та­ кие равенства можно отнести к любым сечениям рассматриваемого потока, т. е. расход газа через любое сечение потока остается по­ стоянным G=> const.

Расход газа через любое сечение канала может быть определен

V

Последнее уравнение носит название уравнения неразрывности или сплошности.

Дифференцируя это уравнение, получим uwdf -}- рfdw - f fwdo — 0 ,

170

или

Разделив последние уравнения соответственно на nwf и —

V

получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме

или

df , dw dv _____

/' w V

Уравнение энергии

Баланс энергии для движущегося газа, схема течения которого показана на рис. 69, составим относительно неподвижной системы координат.

местилось в положение, ограниченное сечениями Г — Г и 2’—2’.

Изменение любого вида энергии при перемещении выделенного объема газа из первого положения во второе равно разности коли­ честв соответствующей энергии в этих положениях. Так как объ­ ем между сечениями 1'—1' и 2—2 является общим для исходного и конечного положений, то при установившемся движении энергия газа, заключенного в этом объеме, остается неизменной.

Следовательно, изменение энергии при перемещении газа из первого положения во второе будет определяться только разностью количеств энергии в объемах, ограниченных сечениями 1—1, 1'— V и 2—2, 2'—2' при массовом расходе газа AG за время Дт.

В общем случае при рассматриваемом перемещении газа прои­ зойдет изменение внешней кинетической Д/С и внутренней ДU энергии, а внешние и внутренние силы совершат некоторую ра­ боту.

Изменение внешней кинетической энергии будет равно

\К ... \G(wl — w\)

--2

Изменение внутренней энергии газа равно

т

іи с\,UTs-TJIG.

171

Внешние силы давления, приложенные в сечениях 1—/ и 2—2 и равные соответственно pifi и p2f2, совершают работу, затрачивае­ мую на перемещение рассматриваемого объема газа.

Внешние силы давления, действующие на боковую поверхность канала, работы не производят, так как их направление нормально

где fiWi&t — v x AG — объем газа между сечениями 1— 1 и 1'—1'.

Разность работ сил давления между сечениями 1—1, Г —Г и 2—2, 2'—2' затрачивается на перемещение газа и называется ра­ ботой проталкивания Li_2

Li-2 = AG (Р\Ѵ\ — Ргѵ2).

Кроме того, за рассматриваемый промежуток времени к газу может быть подведено (или отведено) количество тепла AQ, а сам газ может совершать внешнюю работу, вращая, например, колесо турбины, или получать ее извне, например от колеса компрессора. Будем считать работу и теплоту положительными в случае их под­ вода к газу и отрицательными в случае отвода тепла и соверше­ ния работы.

О

172

уравнение энергии можно представить в таком виде

или в дифференциальной форме

Характерной особенностью выведенного уравнения энергии явля­ ется то, что оно одинаково применимо как для течений с трением, так и без трения. Последнее объясняется тем, что работа d/Tp, за­

трачиваемая на преодоление трения, полностью преобразуется в тепло dqTp , которое идет на нагревание газа.

Следует отметить, что уравнение энергии в форме (168) спра­ ведливо только для течений, в которых практически не меняется высота центра тяжести рассматриваемого объема газа, т. е. изме­ нением внешней потенциальной энергии можно пренебречь. Послед­ нее встречается в большинстве случаев течения газа применитель­ но к тепловым машинам.

Уравнение энергии в механической форме

(обобщенное уравнение Бернулли)

Уравнение (168) связывает температуру газа со скоростью дви­ жения с учетом подвода (отвода) тепла, работы и других энергети­ ческих воздействий. Поэтому оно называется уравнением энтальпии или уравнением сохранении энергии в тепловой форме.

Уравнение энергии может быть представлено и в механической форме, в которой скорость движения связывается с давлением и удельным объемом газа.

Представим уравнение (167) применительно к 1 кг газа в диф­ ференциальной форме

dq -j- dl — du-{- d (p v ) + d — .

В этом уравнении d(pv)=~dLi-2 представляет собой работу, затрачиваемую на перемещение газа.

173

Поскольку d(pv) =.pdv + vdp и в соответствии с первым зако­ ном термодинамики

dq =,du + pdv,

то

В этом уравнении скорость движения газа выражена в функ­ ции давления и удельного объема с учетом производимой (или за­ трачиваемой) работы. Оно носит название обобщенного уравнения Бернулли или уравнения энергии в механической форме. При выво­ де этого уравнения предполагалось, что потери на трение отсут­ ствуют.

Уравнение сохранения количества движения

Уравнение количества движения позволяет установить количест­ венные результаты взаимодействия потока газа с ограничивающи­ ми его стенками канала или с обтекаемыми им телами.

Закон сохранения количества движения формулируется следую­ щим образом: изменение количества движения тела за некоторый промежуток времени равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело,

Дт — время действия силы.

К потокам жидкостей и газов применяется гидродинамическая форма этого закона. Для вывода уравнения количества движения в гидродинамической форме рассмотрим установившееся одномер­ ное движение элементарной струйки, выделив в ней двумя сече­ ниями участок 1—1, 2—2 (см. рис. 69).

Всю массу жидкости в объеме 1—1, 2—2 разобьем на большое число малых частей массой G,. В пределах каждой из частей пола­ гаем скорость движения постоянной и равной w-r

На основании закона количества движения сумма проекций им­ пульсов всех сил, приложенных к массе газа в объеме 1— 1, 2— 2, равна изменению суммарного количества движения

І-П

/Л Дт =~ Д V Glwi,

і 1

где Ру — равнодействующая всех внешних сил, действующих на выделенный объем газа 1— 1, 2—2.

174