Файл: Телков, А. П. Подземная гидрогазодинамика.pdf

XI. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ, УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

пластов, упругие свойства жидкостей и породы оказывают суще­ ственное влияние на показатели разработки залежей. Эти свой­ ства необходимо учитывать при подсчете запасов нефти и газа, при проектировании разработки месторождений, а также в процес­ се их эксплуатации.

Известно, что в пластовых условиях в жидкости (нефти) содер­ жится газ как в свободном, так и в растворенном состоянии. При­ чем, если пластовое давление в процессе эксплуатации превышает давление насыщения жидкости газом,то весь пластовый газ нахо­ дится в растворенном состоянии и к забоям скважин поступает однородная (однофазная) жидкость (нефть). В этом случае источни­ ком пластовой энергии является упругая деформация пласта и на­ сыщающая его жидкость и режим пласта называется упругим. При этом в начальной стадии эксплуатации упругие свойства про­ являются лишь в окрестности скважины и с течением времени про­

В большинстве случаев источником энергии вытеснения нефти из пласта к забоям скважин является естественный или создавае­ мый напор контурных и подошвенных вод. В этом случае режим пласта характеризуется как упруго-водонапорный. Существует понятие и жесткого водонапорного режима, когда упругие силы проявляют себя весьма слабо.

Теория упругого режима была начата работами И. Н. Стри­ жова, М. Маскета, Р. Шилсюида и У. Херста. Однако наиболее строго основы теории упругого режима были разработаны в нашей стране В. Н. Щелкачевым. Им были впервые учтены влияние объем­

175

ной упругости пористой среды и ряда важных факторов на фильт­ рацию жидкостей и впервые решены фундаментальные задачи те­ ории упругого режима для практических целей разработки нефтя­ ных месторождений. Затем последовал ряд работ как советских, так и зарубежных ученых.

Одними из важных параметров теории упругого режима являют­ ся коэффициенты объемной упругости жидкости ((фк) и пласта (Рс)- Количество жидкости, получаемое из пласта за счет упругих свойств (расширение жидкости и уменьшение порового простран­ ства) при снижении пластового давления, принято называть упру­ гим запасом пласта (ДУ), который, согласно В. Н. Щелкачеву, определяется формулой

где Р*— коэффициент упругоемкости пласта, Пат, показывающий, на какую часть первоначального объема изменяется объем жидко­ сти в элементе при уменьшении давления на единицу;

ДР — изменение пластового давления, am.

Коэффициенты объемной упругости имеют следующий порядок

=(2,7 -г- 5) X Ю' 5 — ; для сцементированных горных поргдР^ =

=(0,3 -f- 2) X 10- 5 1 lam.

Величина, обратная коэффициенту объемной упругости (К =

= -^-), называется модулем объемной упругости или модулем объ­

емного сжатия.

При пуске «возмущающей скважины» возмущение передается дю всей области пласта. Скорость перераспределения давления в пласте характеризуется величиной -/., называемой коэффициен­ том пьезопроводности, который выражается формулой

пьезопроводности Ы = L2T~l. Величины его заключены в интер­

ния давления в пласте удобно пользоваться безразмерными парамет­

176

Как видим, параметры Фурье представляют собой «безразмерное время».

2. Дифференциальное уравнение пьезопроводности

Рассмотрим нестационарное движение упругой жидкости в упругой пористой среде по линейному закону. Уравнения движе­ ния. упрурой жидкости легко получаются из системы II 1(4), если в нцх объемные скорости фильтрации заменить весовыми, а давле­ ние— функцией Лейбензона. Тогда получим

Здесь т = у (Р) и т = т (Р) изменяются по закону Гука. Учиты­ вая III (6 '), VII (11) и XI (2), после некоторых преобразований находим

Из этого следует выражение для полного дифференциала функции Лейбензона

Подставляя Х1(9) и Х1( 11) в XI (8 ), находим

177

или с учетом XI (3) имеем

XI (12)

Уравнение XI (12) представляет собой основное дифферен­ циальное уравнение упругого режима. Уравнение вида XI (12) в математической физике известно под названием уравнения теп­ лопроводности. По аналогии с коэффициентом температуропровод­ ности, который характеризует скорость перераспределения темпе­ ратуры в проводниках, коэффициент х в теории упругого режима назван В. Н. Щелкачевым коэффициентом пьезопроводности.

Уравнение XI (12) позволяет решать ряд задач неустановившегося движения жидкости при упругом режиме. Например, при соответствующих начальных и граничных условиях находится функция давления Р — Р (х, у, z, /).

3. Точные решения для притока упругой жидкости к прямоли­ нейной галерее и к точечному стоку (источнику) на плоскости

За прямолинейную галерею можно принять любую прямоли­ нейную изобару. Пусть в начальный момент t = 0 первоначаль­ ное пластовое давление было всюду одинаковым Рк (рис. 85). Пусть на галерее (х == 0) давление мгновенно упало до величины Рс. При этом в пласте тут же происходит перераспределение давления. Требуется найти функцию распределения давления Р = Р (х, /). Для этого необходимо решить уравнение XI (12), которое для рассматриваемого одномерного прямолинейного дви­ жения записывается в виде

178

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

7 7 / п п Г ) П / ) п ) ) г t > / 7 / , , , п эс

Р и с. 85. Распределение давления в пласте при нестационарном притоке к пря­ молинейной галерее

Здесь ег/Е— интеграл вероятности или интеграл Гаусса. Он та­ булирован и имеется в справочниках. Зная •/. и t, подсчитывают Е, затем по таблицам или графикам определяют интеграл е/fE и на­ ходят, таким образом, давление Р в любой точке пласта в заданное время.

Далее рассмотрим задачу о притоке упругой жидкости к точеч­ ному стоку (источнику) на плоскости, т. е. в неограниченном плас­ те. При этом требуется решить уравнение Х1( 12), которое в поляр­ ных координатах запишется в виде

пример, метод Фурье, когда решение ищется в виде произведения независимых функций, метод сведения дифференциального уравне­ ния в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению 16] и др.

В конечном виде решение уравнения XI (17) для притока упругой жидкости к стоку на плоскости представляется выраже­ нием

179

Ри с . 86. Пьезометрические кривые с участками квазиустановившегося состоя­

ния (по В. Н. Щелкачеву)

гого режима пластов, которая нашла широкое применение в прак­ тике разработки нефтяных месторождений.

Для малых значений аргумента Е интегральная показательная функция приближенно может быть вычислена элементарно по фор­ муле

Скорость фильтрации на расстоянии г определяется по формуле

В случае кругового пласта конечных размеров точные решения выражаются громоздкими в бесконечных рядах функциями Бес­ селя. Графики и таблицы для численных расчетов приведены Чатасом и Маскетом.

Заметим, что формула XI (18) справедлива лишь для точечного стока, т. е. для г = 0 . Однако, как показали анализы, этой форму-

180