Файл: Телков, А. П. Подземная гидрогазодинамика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Выделим в пласте элементарное кольцо шириной dr на расстоя­ нии г от оси скважины (рис. 90). Очевидно, вес жидкости в началь­ ный и данный моменты определится соответственно выражениям

G0 = 2K rhdr(m у)к

Gt = 2тг г h d r(m \)

Отобранное количество жидкости за время t из элемента составит

dG = G0— Gt = 2 u rh \(т у)к— (m 7 )] dr

Вес отобранной жидкости из пласта определится интегралом

R(t>

XI (37)

G = 2ir ft ( [Оичг)к — (rn т)] rdr

Г

С

Чтобы вычислить интеграл XI (37), надо знать закон измене­ ния (ту). Известно, что при стационарном плоскорадиальном при­ токе несжимаемой жидкости давление в окрестности скважины распределяется по логарифмическому закону IV (11'):

Р = Рк-

Рк-Рс 1пШЛ

 

 

XI (38)

In

R(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rc <

г < R(t)

 

 

 

Но так как (ту)

линейно зависит от Р,

то закон изменения (ту)

можно выразить в

соответствии с XI (38)

формулой

 

( т у ) = ( т т ) к _ > т ) 1 Ц ^ - г ) с { п т _

 

 

 

 

 

In

т

 

 

 

откуда следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

(ту)к— (ту) =

 

l n ^ -

 

 

 

XI (39)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя XI (39)

в XI (37),

получим

 

 

 

2*h [(?П7)к—•(m7)c]

R(t)

r In

-у-

dr

XI (40)

G =

 

 

 

 

 

In т

 

 

rc

 

 

 

 

 

'c

 

 

 

 

 

 

Интеграл в XI (40)

можно взять по частям:

 

 

 

 

 

 

 

Г 2

m

T 2( ,

к ю

I — \ r In R(i) dr — j r In rdr —

In R(i)

I

1\ /

— /

- y vl n r - - ; /

 

 

 

 

 

 

Гс

 

‘ c

187

р

{Ь)

Р и с . 90. Схема к расчету неустановившегося радиального притока сжимаемой жидкости по методу последовательной смены стационарных состояний

188

После соответствующего преобразования получаем

*

2( 0 - rl

G = кк[(ту)к — (т f)c]

m

2

In

 

Гс

2

Г с

XI (41)

Учтем и жидкость, отобранную из скважины при снижении давления от Рк до Рс (на рис. 90 двойная штриховка). Это коли­ чество жидкости выразится формулой

 

 

G' — -к r\h[(rn y)k— (^T)cl

XI (42)

С учетом X I(30)

и принимая у* ~ ус, суммарный отбор жидко-

сти Q =

(j

G

G’

формулой

 

^

= - — h — выразится

 

 

 

Q — к h. Р*(рк Pc)

№(t) _ г2

XI (43)

 

 

y>R(t)c

2 In -------

г с

Теперь найдем связь между Рк. Предположим, что всюду в мерно. Тогда отобранный объем составит

средним давлением в пласте Р и пласте давление снизилось равно­ жидкости при упругом расширении

 

Q = тг R 2h$* (рк — р)

 

XI (44)

 

 

 

Сравнивая XI (43)

и

XI(44),

устанавливаем

 

Р = Р

р к

— Рс

1

 

С

 

2 In

R(t)

ЖГ)

XI (45)

 

 

 

При R (/) » г с

и

малой

величине

 

депрессии

ДР = Рк— Рс

из формулы XI (45) следует:

Рта Рк, т.

е. в этом случае за сред­

нее пластовое давление можно

принять

контурное.

Погрешность

принятого допущения (Р ^ Р к) можно оценить из формулы XI (45). Чем меньше депрессия ДР, тем меньше погрешность. В газовых скважинах эта погрешность еще меньше, т. к. воронка депрессии вокруг газовых скважин более крутая.

Исследуем уравнение XI (43) и найдем закон расширения воронки депрессии. При пуске скважины в эксплуатацию, как упоминалось ранее, происходит непрерывное расширение во­ ронки депрессии. Период, за который воронка депрессии дости­ гает границы пласта, называется первой фазой неустановившегося движения (первая фаза истощения залежи), после чего начина­ ется II фаза упругого режима (вторая фаза истощения). При этом предполагается стационарное движение жидкости во всем плас­ те. Если граница резервуара является контуром пласта, где под­

189

держивается постоянное давление (например,

линия нагнетания),

то II фазу можно рассматривать как стационарный режим.

Рассмотрим I фазу упругого режима. Из

формулы Дюпюи,

которую мы считаем справедливой в случае неустановившегося

притока для

каждого

момента

времени t, имеем

 

 

 

 

 

 

Рк ~

Рс

 

2 * kh

 

 

 

XI (46)

 

 

 

1п

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гг

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

XI (46) в XI (43), находим

 

 

XI (47)

 

 

 

R2(t) =

гс2 + 4у-

 

Гс

4- 4х t

 

 

Из

XI (47)

 

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RHt) .

j

4х •

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vc

 

 

 

 

 

 

 

т

=

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

In

-

In

1 +

 

 

XI (48)

 

 

 

 

Г г

 

4х фЫ

 

 

Подставляя

значение

XI

(48)

в формулу Дюпюи

XI

(46), на-

одим депрессию при q = const:

 

 

 

 

 

 

 

 

Рк — рс

 

 

 

 

 

 

 

 

XI (49)

Если

R (t) >

гс, то XI (45)

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ( t ) ^ 2 / ^ f

 

 

 

XI (50)

Погрешность формулы XI (50) составляет порядка 6 %.

принцип

Если задана постоянная

депрессия

ДР =

const,

то

исследования

остается

тем же

самым,

что и

при q — const. При

этом можно использовать формулу XI (50) для расчета расшире­ ния воронки депрессии. Погрешность составит 10—15%.

Вторую фазу истощения можно исследовать аналогично.

6.Дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации газа. Аналогия с безнапорным движением несжимаемой

жидкости

Рассмотрим изотермическое течение газа в1 пористой среде, Напишем уравнение неразрывности, уравнение состояния (уравнение связи) и функцию Лейбензона:

д И )

_ k Д 2 р

XI (51)

dt

,u

 

у =

■

Х1(52)

 

Р ап

 

Р — j у dp ф- const

XI (53)

Подставляя XI (52) в XI (53) и интегрируя, находим значение

•функции Лейбензона

 

 

 

 

р _

Чат

„2

 

 

 

 

XI (54)

 

 

 

 

 

 

2рат

1

’

 

 

 

•откуда следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р _

у

2Рат

р

 

 

 

XI (55)

 

 

 

 

 

 

Т

Чат

 

 

 

 

 

 

Принимая

т sz т0 = const,

подставляя

XI (52)

в XI (51),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lam

др

 

k

Д2 р

 

 

 

 

или

 

 

 

 

Pam

dt

 

Iх

 

 

 

 

 

 

 

MolamdPdP

 

k \2D

 

XI (56)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pam

дР dt

~

Р

F

 

 

 

 

 

 

 

 

Из XI

(53)

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dP = 7 dp

или

dP

 

-у

 

 

Учитывая XI (52),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

Pam

 

 

 

XI (57)

 

 

 

 

 

dP —

lamP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив

XI (57)

в

XI (56),

получим

 

 

 

 

 

 

 

~

=

—-kE- A2 Q

 

 

 

XI (58)

 

 

 

 

dt

 

т0па

 

 

 

 

 

 

или, учитывая

XI

(55),

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ■ = —

]/

2 Р£ш£д2р

 

 

Х1(59)

>

 

 

at

 

т0р V

 

-(am

 

 

 

v

Получили

основное дифференциальное

уравнение Лейбензона для

нестационарного изотермического движения газа.

Лейбензона

Перейдем к давлению. Дифференцируем функцию

XI (54) по

времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дР

_ l a m

 

 

др

 

 

 

XI (60)

 

 

 

 

 

~

 

 

р

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение для Лапласиана записывается в виде

 

 

 

 

Д2Р =

lam

 

 

 

 

 

 

XI (61)

 

 

 

 

 

Pam.

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

XI (60) и XI (61) в XI (58), находим

 

 

 

 

 

др_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

XI (62)

 

191

Смотрите также файлы