ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 0
Так как q = const, то 7 ^ = 0.
Учитывая V (4), можно записать
V(5)
Площадь любого сечения вдоль линии тока S может быть оп ределена как
|
|
w(s) = a rh |
V(6 ) |
||||
Подставив V (6 ) в V (5), |
заменяя |
dS на dr, |
получим |
||||
|
J - |
, |
|
d Ф |
= О |
|
|
|
а г/г — |
|
|||||
|
dr |
|
|
dr |
|
|
|
или |
d |
I |
d Ф |
О |
V(7) |
||
dr |
' |
dr |
|||||
|
|
|
|||||
Развернем уравнение V (7). |
Получим |
|
|||||
|
d?Ф |
d-* = 0 |
|
||||
|
dr2 |
|
|||||
|
|
dr |
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
d2ф . |
1 |
d Ф |
V(8 ) |
|||
|
dr2 |
|
r |
dr |
|
||
|
|
|
|
||||
Получили уравнение Лапласа для установившегося плоскора диального потока несжимаемой жидкости.
41
Р и с . 15. Схема трубки тока переменного сечения с центральной симметрией
Проинтегрируем уравнение V (7):
г ——= сг |
или |
d® = Cj — |
’ |
dr |
|
г |
|
Интегрируем еще раз: |
|
|
|
Ф — |
In г + |
сг |
V(9) |
Как видно, получили известную формулу потенциала точечно го стока (источника) на плоскости. Постоянные (Д и С2 определя ются из граничных условий.
Ф в формуле V (9).
Получим
V = |
d Ф |
dФ |
Ci |
V(10) |
|
dS |
dr |
г |
|||
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
сг = V ■г = Q (“) r |
QM r _ Q(“) |
V (ll) |
|||
|
w(s) |
a hr |
ah |
|
|
Если в цилиндрическом пласте имеет место приток к централь ной скважине, тогда а = 2-к и Q (а) — Q.
Таким образом, уравнение V (9) записывается в виде
|
|
ф = |
й 1пг + °2 |
|
v <12) |
Постоянная С2 |
легко |
определяется из |
граничного |
условия, |
|
что Ф = |
Фк при г = R Kи Ф = Фс при г = |
rc. С учетом |
этого по |
||
лучаем |
известную |
формулу Дюпюи. |
|
|
|
б) |
Радиально-сферическое движение |
(движение |
с централ |
||
ной симметрией)
42
Выделим мысленно элемент сферы (рис. 15) в виде конуса с сфе рической поверхностью
Ш(s) = |
V(13) |
С учетом V (13) уравнение V (5) запишется |
в виде |
- ± ( r ^ -d± ) |
О |
или |
dr |
К . |
V ( 14) |
||||
dr |
\ |
dr |
! |
|
|
|
|||
Развернем |
V (14). |
|
Получим |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
,d%Ф |
. d ф |
= О |
|
|
|
|
|
|
г2 п т + |
2 г ' |
dr |
|
|
||
|
|
|
|
dr2 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
d2 Ф |
2 d Ф |
=о |
|
V(15) |
||
|
|
|
dr- |
dr |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получили уравнение Лапласа для радиально-сферического дви жения несжимаемой жидкости.
Проинтегрируем V (14). Получим
„ d Ф |
= С1 |
или |
|
, ^ |
dr |
V(16) |
г2— |
|
с; ф = с 1 — |
||||
Интегрируем еще раз: |
|
|
|
( |
|
|
|
Ф |
с± |
С2 |
|
|
V(17) |
|
|
Г |
|
|
|
|
Получили формулу для потенциала точечного стока (источника) в пространстве.
Возьмем производную потенциала по г, формулу V (17), кото рая дает нам значение скорости фильтрации:
У _________ оФ_ d ф _ _ сг
dS dr г2
С другой стороны,
Q(<P) = cu(s)F = |
= ср сх |
V(18) |
При -ф = 4^ (сфера) получим [Q(a) = Q]:
0_
Д = 4к
Следовательно, формула V (17) для стока с дебитом Q принимает вид:
Ф = = _ £Гг + Са |
V(19) |
Для источника в формуле V (19) Q < 0. |
условий: |
Значение постоянной С2 находится из граничных |
43
Ф = |
Фк при г = R K и Ф = Фс при г |
|
гс, после чего из V |
(19 |
||||
получаем уже известную нам формулу |
IV (21) |
для дебита. |
|
|||||
2. |
Связь теории функции |
комплексного |
переменного |
с плос |
||||
кой задачей фильтрации. Функция тока. |
Комплексный потенциал |
|||||||
Для плоского движения несжимаемой жидкости потенциал |
яв |
|||||||
ляется функцией двух координат, т. е. Ф = Ф (х, у). |
|
|||||||
Уравнения движения записываются |
в |
виде |
|
|||||
|
|
ЭФ |
|
|
|
ЭФ |
V(20) |
|
|
|
дх |
’ |
|
|
ду |
||
Уцавнение |
|
|
|
|
||||
неразрывности |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ду, |
dy = о |
|
|
V(21) |
||
|
|
дх |
ду |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение |
Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э2 Ф |
Э2^ |
_ |
|
|
V (2 2 ) |
|
|
|
Эх2 |
ду2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем уравнение линий тока. Линией тока называется такая линия, касательная к которой в любой точке совпадает с вектором скорости. Отсюда следует выражение для направляющих косинусов
(рис. 16):
|
|
dx |
и |
|
|
cos а = — = —— |
|
||
|
|
dS |
|Ц| |
|
|
cosH |
dy |
v |
|
|
dS |
m |
|
|
|
dx |
|
||
или |
_ dy |
|
|
|
и |
v |
’ |
|
|
|
|
|||
откуда следует уравнение линий тока |
|
|||
|
vdx— udy= О |
V(23) |
||
Здесь dS — элемент линии тока с проекциями dx и dy, |
(Y) — мо |
|||
дуль вектора скорости с проекциями U и V. |
|
|||
Решение уравнения V (23) будем искать в виде неявной зави |
||||
симости |
б (х, у) — с |
V(24) |
||
|
||||
Уравнение V (24) называется |
функцией тока. Основное |
свойство |
||
функции тока — это ее постоянство вдоль линии тока. Но с пере ходом от одной линии тока к другой значение функции тока ф (х, у) меняется (рис. 17).
Установим |
связь функции тока с потенциалом |
скорости филь |
трации Ф {х, |
у) = С. Поскольку ф (х, у) ---- const вдоль линии тока, |
|
то полный дифференциал ее равен нулю, т. е. |
|
|
|
?± -dx + d-± -dy = О |
V(25) |
44
У
*■““ J t
Р и с . 16. Схема к определению направляющих косинусов вектора скорости
Р ис . |
17. Интерпретация функции комплексного |
переменного па плоскости |
{ф (х, |
y)=C onst — семейство эквипотенциален; Ь |
(х, y)==Const — семейство |
|
линий тока] |
|
Это то же уравнение линий тока, что и V(23), но только в неявной форме. Сравниваем V (25) и V (23). Получаем
|
|
|
_ 3 I |
|
|
и |
|
З ф |
|
V(26) |
|
|
|
дх |
|
|
|
ду |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая |
V (20) |
и |
V (26), |
находим |
|
|
|
|||
|
|
|
_ _ |
З Ф _ |
_ |
3 |
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
З х |
|
Зг/ |
|
|
|
|
|
|
______ 3 _ Ф _ _ |
З ф |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Э(/ |
|
З х |
|
|
|
или |
|
|
5 Ф |
__ |
3 ф |
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
_ЗФ_ |
__ |
_ |
З ф |
|
|
|
V(27) |
|
|
|
ду |
|
|
дх |
|
|
|
|
Получили |
уравнения |
Коши — Римана, |
удовлетворяющие |
урав |
||||||
нению Лапласа. Докажем. Дифференцируя уравнение |
V (27), |
|||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2 Ф |
3 2ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дхду |
ду2 |
|
|
|
а2 ф |
. -а2 ф |
= о |
V(28) |
|
|
|
|
или |
|
||||||
з 2 ф _ |
а 2 ф |
|
|
|
"ах2” |
^ ~df |
|
|
||
дх ду |
З х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнения Коши— Римана имеют замечательную связь с теорией функции комплексного переменного.
Пусть плоскость течения принята за плоскость комплексно го переменного z = х + iy. По аналогии с этим комплексным пере
менным составим новую |
комплексную функцию |
|
F (г) = |
Ф(х,у) + i ф (х,у) |
V(29) |
Но не всякая комплексная функция, составленная подобным образом, будет функцией комплексного переменного. Наша новая комплексная функция V (29) является не просто комплексом, но и функцией комплексного переменного. Чтобы доказать это, обра тимся к уравнениям Коши — Римана.
Рассуждаем так: если комплекс V(29) является функцией ком
плексного переменного z = х + |
iy, то производная dF/dZ должна |
||||
иметь одно и то же значение |
независимо от закона |
стремления |
|||
AZ -*■ 0. |
Продифференцируем уравнение 5(29) два раза, |
по л: и по |
|||
у, комплексную переменную Z = х + |
iy продифференцируем как |
||||
сложную |
функцию: |
|
|
|
|
|
З Ф |
. 3 ф |
dF dz |
|
|
|
дх |
дх |
dz дх |
|
|
|
3 Ф |
г- й ф |
__dF |
dz |
У(30) |
|
ду |
ду |
дг |
ду |
|
|
|
||||
4G