Файл: Загальская, Ю. Г. Геометрическая кристаллография учеб. пособие.pdf

В геометрических фигурах возможны оси симметрии любых порядков, в кристаллических же многогранниках порядок оси огра­

в ыше 6-го п о р я д к о в ; этот о с но в и ой з а к о н с и м ме т р и и кристаллов установлен эмпирически и доказан па основании ре­

число повторенных элементарных поворотов, а минус при показателе степени — поворот в противоположном направлении. Так, если

Le(61) — поворот на 60° по часовой стрелке, то L f 1(6-1) = Lб(65) — такой же поворот против часовой стрелки. Таким же образом

1 2в ( 6 2 ) --= ä ( 3 L ) ,

Lб(63) = І а(2), Lt(V) = LT1(З-1) и Le (6°) = 1

единицей обозначают операцию идентичности, или тождественности).

ЭЛЕМ ЕН ТЫ СИММЕТРИИ 2-го РОДА

Зеркальная плоскость симметрии — плоскость, «отражаясь» в

9

фигуры) совмещается с левой, т. е. фигуры, связанные инверсией, относятся друг к другу как предмет и его ф о т о г р а ф и ч е с к о е изображение (рис. 3). Иными словами, любой точке фигуры, обла­ дающей центром инверсии, соответствует эквивалентная точка на

◄

Рис. 4. Многогранник, единственный элемент симметрии которого — центр инверсии

Рис. 5. Фигуры связаны симметрическими опера­ циями зеркальной оси 4-го порядка.

Считать фигуры справа от оси фл (на левом рис.) обращенными к читателю своей изнанкой

продолжении прямой, соединяющей первую точку с центром, при­ чем расстояния от центра до обеих точек равны между собой; поэтому каждой вершине центросимметричного многогранника со­ ответствует равноудаленная от центра эквивалентная вершина, каждому ребру — равноудаленное, равное, шараллельное, но про­ тивоположно направленное ребро, а каждой грани — равноудален­ ная, равная, антипараллельная грань_(рие. 4). Центр инверсии

обозначают буквой С (по Бравэ) и 1 (по Герману — Могену), графически отмечают точкой или также буквой С.

Фигура, имеющая центр инверсии, разделяется на две зеркаль­ но равные, но антипараллельные части л ю б о й плоскостью, прохо-

10

дящей через центр инверсии, тогда как фигура, обладающая плос­ костью симметрии, разделяется на две зеркально равные части только о д н о й этой плоскостью. Любое сечение через двойную ось симметрии даст две конгруэнтно совпадающие половины.

I

щей), во втором — и н в е р с и о н н о й . В общем случае каждое из совместных действий — поворот и отражение — мнимые (рис. 5, 6).

о о о о

Зеркальные оси обозначают ѣ.п_(или А,п) и п (1, 2, 3...), инверсион­ ные — £ „ или Lin) и п (1, 2, 3...). Специальные графические обо­

значения необходимы в кристаллах лишь для сложных осей 4-го порядка (0)−

Из рис. 7 можно увидеть, что операция каждой зеркальной оси с элементарным углом а может быть заменена операцией инверси­ онной оси с элементарным углом поворота а'= 1 8 0 —а:

4 -п=>----360 = £ п'=1 -------360 >

а180— а

поэтому при описании симметрии кристаллов пользуются какимлибо одним видом сложных осей: инверсионными или зеркальными.

I I

Для осей некристаллографических порядков в приведенную выше формулу вводится коэффициент q — наименьшее целое чис­ ло, приводящее к целочисленному значению п'\

4- Эво = £ 1 З6О17 . П=---- П'—-------

аISO— а

Нетрудно убедиться (см. упражнения 13, 14), что преобразова­ ния большинства сложных осей могут быть заменены отдельными действительными операциями:

<М £2)= Л

М £ і) = с,

^ 3(LS) - L , P ( P ± L 3),

4-в (£3) = LyC.

Оригинальной (незаменяемой) оказывается в кристаллах лишь

ось 4-го порядка, причем 4-4 = £Г* .■ Чтобы решить, какими простыми элементами симметрии можно

заменить преобразования сложных осей любых (некристаллогра­ фических) порядков, можно прибегнуть к аналогии: так, для осей нечетных порядков (п = 2/е+1) справедливы закономерности, выве­ денные для оси 3-го порядка, т. е.

4-26+1 = £ (2 6 + 1 )2 = Z-26 + 1- Р ;

сложные оси четных порядков {n—4k + 2 и n = 4k + 4) подчиняются закономерностям, полученным соответственно для осей 6-го и 4-го порядков (см. также задачу I).

Из вышеизложенного ясно, что симметрия любого многогран­

заменяют их эквивалентами — плоскостью симметрии и центром инверсии.

Комплекс элементов симметрии кристалла записывается (в обо­ значениях Бравэ) в виде формулы в такой последовательности: оси симметрии (начиная с более высоких порядков), плоскости симметрии, центр инверсии; коэффициент перед буквенным обозна­ чением показывает число соответствующих элементов симметрии. Целесообразно (см. о международных символах, стр. 26) разли­ чать неэквивалентные и эквивалентные одноименные элементы симметрии, понимая под последними элементы, связанные какимилибо операциями симметрии. Так, Ь^4Ь2ЪРС можно записать как

L4 2L22Z-2 2Р’ 2Р"Р"' С.

12

Любое симметрическое преобразование — поворот с отраже­ нием или без него — удобно представить с помощью координат исходной и преобразованной точек. Так, поворот вокруг вертикаль­

ной оси на 180° (2г) запишем как xyz-+xyz, поворот вокруг верти­

инверсия (і)—xyz-^-xyz (см. также стр. 41).

Симметрическое преобразование можно представить и как пре­ образование некоторой координатной системы относительно непод­

ставлении симметрических операций см. стр. 79.

Совокупность симметрических операций, характеризующих сим­ метрию кристалла, представляет собой эффектный пример замк­ нутой (конечной) математической группы, иными словами, сочета­ ния симметрических операций, а значит и элементов симметрии, не случайны, а подчиняются всем положениям теории абстрактных групп. В частности, для групп симметрии справедливо положение о том, что «произведение» двух любых членов группы должно при­ надлежать этой же группе, т. е. результат двух последовательно выполненных операций симметрии равносилен результату третьей операции, которую можно назвать произведением первых двух. Обычно, однако, говорят, что взаимодействие двух элементов сим­ метрии порождает третий элемент симметрии, принадлежащий дан­ ной группе, но способный в других группах играть самостоятель­ ную роль, т. е. существовать без породивших его операций.

(Математическая справка. Группой называется множество элементов (чисел, геометрических объектов, физических величин, симметрических операций и т. д .), которое подчиняется следующим условиям.

1. Определена алгебраическая операция — так называемое «групповое умно­ жение», позволяющее любой паре элементов а, b данного множества поставить в соответствие их произведение — третий элемент с, принадлежащий этому мно­

ае = еа = а.

4. Для каждого элемента группы существует обратный элемент: асг1= е.

в противоположную сторону. Единичный элемент группы — операция идентич­

вести все возможные в кристаллографии сочетания элементов симметрии — так называемые в и д ы , или к л а с с ы , с и м м е т р и и (точечные группы).

13