Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1.pdf

Производная (при т > 0) —

К' (т) = — К (0 ) е~аХ* cos ß “с + ß sin ß X)■

Условие минимума —

вует периоду Г=4ті, следовательно, абсцисса первого нуля кор­ реляционной функции играет роль некоторой частотной характе­ ристики акселерограммы. Как показано далее, этот параметр на­ ходится в некотором соответствии с периодом максимума спектраль­ ной плотности.

Удовлетворительная аппроксимация корреляционной функции достигается на участке т<4ті. Во многих случаях хорошая схо­

научно-т0хш;-:ео: -•? библиотека С С С ;

частотных акселерограмм больше, чем для высокочастотных. Для большинства корреляционных функций интервал аппроксимации недостаточен. При длине обрабатываемого участка акселерограм­ мы 11 сек. результат преобразования (1.2) может рассматривать­ ся как корреляционная функция акселерограммы на участке, дли­

ционных и спектральных свойств акселерограмм нельзя ограничи­ ваться одночленной экспоненциально-косинусной аппроксимацией.

Рис. 13. Аппроксимирующие функции:

/-автокорреляционная функция 8-8 Г-10: //-аппроксимация по способу В; / / / —аппроксимация по способу Г.

Для увеличения длины изучаемого участка корреляционной функции можно применить два способа: взять более сложные вы­ ражения аппроксимирующих функций или рассматривать корре­ ляционную функцию, вычисленную по формуле (1.2 ), как эмпири­ ческую кривую, заданную численно или графически. Первый спо­ соб, дающий возможность находить аналитические выражения для решения различных задач, использован в работах [94, 95]. Второй способ, связанный с применением численных методов, избран в данной работе.

Приведенные в табл. 1 величины т, и 7*і=4ті, как было ука­ зано, являются косвенными частотными характеристиками акселе­ рограмм. Для этих акселерограмм характерный период Г: изме­ няется в пределах 0,22—1,36 сек. Следовательно, частотный состав совокупности акселерограмм, представленных в табл. 1, достаточ­ но разнообразен. Далее показано, что максимум спектральных кривых не точно совпадает с Д и фактические частотные характе­ ристики акселерограмм располагаются в еще более широком диа­ пазоне.

18

Параметры а и ß аппроксимирующих функций акселерограмм также приведены в табл. 1.

§2. Исследование спектральной плотности

Втеории случайных функций спектральная плотность опреде­ ляется как преобразование Фурье корреляционной функции:

оо

В электро- и радиотехнике и в теории связи спектральная плот­ ность обычно имеет размерность средней мощности тока на сопро­ тивлении в 1 ом. В применении к корреляционным функциям ак­ селерограмм размерность спектральной плотности равна размер­ ности среднего квадрата скорости о2/-1 или средней энергии на единицу массы. Условно эту величину иногда называют средней мощностью ускорения.

Для изучения сейсмических процессов спектральная плот­ ность представляет интерес как амплитудно-частотная характе­ ристика и, кроме того, как неслучайная функция частоты, через которую можно выразить вероятностные характеристики процесса на выходе механической системы, в данном случае сооружения, подвергающегося воздействию сейсмических ускорений. Этот воп­

ления спектральной плотности и степень достоверности получае­ мых результатов. Эти вопросы поставлены в связь с задачей построения стандартного спектра динамического коэффициента

изучаемый процесс обладает свойствами стационарности и эрго­ дичности.

Если задано аналитическое выражение корреляционной функ­ ции, то способ вычисления спектральной плотности дается непо­ средственно формулой (1.7). Если аналитическое выражение кор­ реляционной функции отсутствует и функция задается численно или графически, могут быть использованы различные методы чис­ ленного интегрирования.

Ниже приводятся примеры построения спектральной плот­ ности четырьмя различными способами, которые, с незначитель­ ными видоизменениями ввиду особенностей изучаемых явлений,

19

применяются в теории случайных процессов и изложены в указан­ ных выше источниках (см. также [33, 51, 53, 108]).

Способ 1. Автокорреляционная функция заменяется аппрокси­ мирующим одночленным экспоненциально-косинусным выражени­ ем (1.5), параметры которого определяются по способу Г, описан­ ному в предыдущем параграфе: функция К(х) проходит через точки (0, А(0)) и (ті, 0 ) и ее первый минимум равен первому минимуму экспериментальной корреляционной функции К(Тг). Спектральная плотность определяется формулой

через 0,3 сек. Основная сложность при данном способе вычисления спектральной плотности заключается в определении длины отрезка, на котором эмпирическую корреляционную функцию можно рас­ сматривать как автокорреляционную функцию исследуемого процес­ са. Наибольший промежуток времени корреляции ограничен длиной интервала обработки акселерограммы и составляет, как уже ука­ зывалось, 1,4 сек. Эта величина является предельной, но нет ни­ каких оснований считать, что она оптимальна в смысле получения наиболее достоверных значений спектральной плотности. На прак­ тике при использовании эмпирических корреляционных функций длина участка определяется опытным путем, так как соотношение между этой величиной и длиной записи реализации процесса за­

20