Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

*

МИ Н И СТ Е Р с т в о ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

Московский институт электронного машиностроения

Б. Ю. СТЕРНИН

КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ

М о с к в а — 1 9 7 3

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ

Кафедра Прикладной катѳкатики

Б.Ю.Стѳрнин

КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ

^ x tS U o n o n o eo T u tfu

М о с к в а - 1 9 7 3

Гос. «Уб тіѵчиаЯ

‘П ?Г сР

© в*«04*'-® Е•аісгв «е ря:и д а * „

А?

/?у$г<р

y i t - W M

Предлагаемый текст представляет собой обработанные записки лекций, которые автор читал в качестве факуль­ тативного куроа студентам старших курсов факультета прикладной математики.

Пр е д и с л о в и е

Впредлагаемой работе рассматриваются кваэиэллиптичбскиѳ уравнения в бесконечном цилиндре. Определение квази­ эллиптичности будет дано несколько позднее, а сейчас заметим только, что понятие кваэиэллиптичности объединяет

довольно широкий класс

гипоэллиптических уравнений.

В

 

 

 

 

4

 

 

 

*

него

входят, например,

эллиптические

и A b

- параболичес­

кие по Петровскому [ і ]

уравнения и многие

другие. Квази-

эллиптичѳскиѳ уравнения рассматриваются в цилиндре

 

Q

X * |£ 1

,

гдѳ

через

X . “ы

обозначили гладкое

многообразие и

К ^ -

вещественная прямая. При этом изу­

чаются три случая -

ситуация,

когда

X

является

гладким

замкнутым многообразием беэ края, случай, когда многообразие

X имеет гладкий замкнутый край ^ Х и, наконец,

проблема С.Л.Соболева - случай, когда граничные условия

'задаются на гладких цилиндрических многообразиях Y X R ^ различных размерностей. .

Попытаемся сформулировать основные результаты, ограни­

чиваясь наиболее простым случаем замкнутого

многообразия X .

Введем в цилиндре

0 s* X

^ ^

координаты прямого

произведения

(? c ,-fc 3 y

X ,

t €

/R 1

и рассмот­

рим на цилиндре квазиэллиптическоѳ дифференциальное выра­

жение D с

гладкими комплекснозначными коэффициентами.

3


Допуская некоторую вольность, это выражение мы вапишем в виде

D

=

Ъ

О ,

t

,

й х

,

Ѵь-Ь)

 

 

(о*1)

где

 

 

 

 

 

■ > У * ' )

 

,

хотя,

разумеется,

запись такого рода имеет смысл лишь в локальной системе

координат. Квавиэллиптическим

рода

^

мы называем такое

выражение

( 0 .1 ) ,

о порядком дифференцирования по

переменным

X ,

равным

ѵк-

,

для

которого

при некотором положи­

тельном

У

существует такая кваэиоднородная

С ^

форма

Ъ 0 ~

Ь о ( X i h j ' Z u ,

У ^ )

порядка

ы.

; что во

воякой

точке

Qf^} х . )

£-

Q

 

 

уравнение

 

 

 

Ъо ( ± , , Х , -

 

- * J = О

 

 

не имеет

чисто мнимых корней

? —

 

)

 

 

Число

Н.

называется

порядком выражения (0 .1 ) .

Наша первая основаная теорема будет касаться обратимости

оператора, реализующего

кваэиэллиптичѳское

дифференциальное

і

4


выражение (О .І) или, -по эквивалентно, раэрѳшшости уравнения

 

ъ и =

4

*

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтоиу

наи необходимо

ввести

некоторые пространства рас­

пределений. При этой для наглядности

эдѳсь

мы

ограничимся

наиболее

простым случаем -

определение

пространств в

общей

ситуации будет приведено в конце первой главы. Итак, мы

 

имеем дело с прямым произведением

 

С

=

X

* IR і

 

,

базой которого служит

гладкое

замкнутое

многообразие

X

.

Выбирая на многообразии

X

некоторую риманову метрику,

 

мы можем образовать положительный оператор Лапласа

А

.

Обозначим через

оС (~Ь)

-

вещественную

 

 

 

гладкую

функцию на

лрямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* 4

>

t

> 0

,

 

 

 

* Ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Л -

,

- і

<

- і

 

 

 

 

причем

 

 

-

некоторые

(конечные)

вещественные

числа.

 

Пусть

теперь

[

S , # , А + , <*- )

- четверка

- 5 -


(конечных) вещественных чисел, Определим пространство распределений

И s X * + , JL- ( С )

на цилиндре

гладких финишных при

' -fc -ч> t о?

по норме

 

AJ-OfcH

I е

О )

А

-

целое.

Н

s,

Y, olft)

( с ) а

С, как замыкание

функций

+ l - f t ' I L } J t .

Здесь через

Ц £ [f

обозначена норма порядка S

в пространствё С.Л.Соболева:

 

Іі II,

 

 

S I

 

 

 

 

Реализуем теперь дифференциальное

выражение /\

порядка

 

как непрерывный оператор

 

 

 

D

:

Н

s.y.d+.rf- Сс) ->

 

 

( 0. 2)

 

£с)-

 

 

 

 

 

 

 

Наш первый основной результат может быть сформулирован

в следующем виде.

 

 

 

 

 

Теорема I (конечности). Пусть D

- квззиэдлиптическое

дифференциальное

выражение

порядка

УК.

и рода

с постоян­

ными по "h

 

коэффициентами. Тогда для любых s

и любых

конечных чисел

ja

^ - -

за

исключением некоторого

6


дискретного

множества оператор

(0 .2 ) является почти изо­

морфизмом,

Более

того,

 

L )

при

оі_

<

J. +■

оператор (0 .1 ) моноиорфен,

СО

при

 

^

^

оператор (0 .1 ) эпиморфен,

іЧ’О

при д

=

 

оператор (0 .1 ) является

 

 

 

 

 

изоморфизмом,

При этом мы используем терминологию Н.Бурбаки, согласно

которой почти изоморфным называется гомоморфное (то есть

непрерывное и с замкнутой областью значений)

отображение

с конечномерным (над полем

)

ядром и коядром.

В случае, если одно из чисел

«Яц.

или

ож­

ивляется бесконечным, пространства

Ң

S)

 

определяются как индуктивный или проективный пределы, например,

^ 51 у >с Ц ,4 0> -

С

И S ,y ^ J L + |0 L _

~

1* с*

 

Соответствующее утверждение о кваэизллиптическом опера­ торе, действующем в такого рода пространствах, выглядит следующим образом.

Теорема (о гомоморфности). Пусть £>

-

квазиэллипти-

яеский оператор порядка м

и рода

У

с

постоянными^

7