Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в)Полягармоническое уравнение. Рассиотриц теперь более ин­

тересный

пример -

полигармоничѳский оператор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(35 .5)

Операторнозначная функция

 

имеет

вид

 

 

 

F “'

*

 

F

 

 

 

 

 

 

 

^ k-» X /■

 

 

 

>

 

 

 

 

 

( г г-)сіу

и* -**

 

 

 

 

а, следовательно,

ее

полюса суть

целые

числа

 

 

 

 

2 =

d

1*1

,

ы р , 1 і ,

d2j . . .

 

 

 

причем каждый полюс, кроме нуля

имеет

кратность

іч

,

а полюс

2 ~ О

имеет кратность

 

А «с

 

 

 

 

 

В матрице типа

(32 .5)

блок,

отвечающий точке

і

®/ kl (dkl)

К + о имеет вид

и разм ер ѵм ^ f ' o

, а блок, отвечающий точке ? — о имеет

вид

и размер

Я.МУ

•

Собственные

и присоединенные функции, отвечающие точке

■iz-o суть постоянные

'1

і , і , • • * - 187 -

и, следовательно, пространство решений уравненияй и ~ ° > отве­ чающее точке ті-^ о I*- - мерно и базисом его служит функции 1 ы-і

і ,

-t,

 

 

•І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственные и присоединенные функций оператора Т)

 

отвечающий точке

2 - - l kl

и

2 = - l * )

суть

функции

 

Ctcx.

-t'iqx.

 

0«рг

-

 

 

 

 

 

Такимe.

образом,p

пространствоe .

t

 

 

 

 

 

решений

уравнения

A V

,Ö

отвечающее

точке

і = | К |

и

a * - |k/ также Л>ч

-мерно. Его

базисом Служит функции

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

>-т-

е

 

> ■" >

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому для любых чисел

5 ,

ы 4 ,

оС— (

СІ ±

£^')

размерность ядра

оператора

 

 

 

 

 

 

 

 

А

' Н

^>,1,^4,и.

—

*

f~tS- ^ *<; ^

4 нэі—

 

делится на

^ >к-'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ckw

й ѵ л

= О

С

уи0с^ ^ *<) .

 

 

 

2 . Уравнения в пространстве

h[ £ I ifI0^-4 ycj—

(J oi —<

■f'

В этом пункте мы рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве tjs, f,C*-+-/ol- С oL_ <r o<-t- f ВЫЧИСЛИМ ДЛЯ »ВГ0 КОЯДрО

и решим одну кограничную задачу. Однако, пожалуй самым янте-

- 188 -

рѳсным моментом в этом параграфе является явное вычислен» операторов P- к .Н а конкретном примере, котоый мы расснатри ваем отчетливо видна структура их и в общем случае,

а) Итак рассмотрим уравнение Лапласа

 

— ,

^

(36.5)

 

Будем искать реиение в пространстве

Hsfi

для

J e H s -з

 

 

Формальное реиение семейства уравнений

U M * г ги - £ (* ,* )

дается формулой

(37.5)

£ г- к*

где, как и раньше у

I ~t

і'Ю*.

-с'къ

(38.5)

ü C z i i ) =

ѴГѵ

7 ~ -

 

£— ‘

 

 

К«'"'

Ц Ъ ' Х ) = J

- 189 -

Очевидно, что для того, чтобы полученное формальное реше­ ние принадлежало пространству Н s, і , -а>,г, о ,г необхо­ димо и достаточно, чтобы

о ,

(39 .5)

/ . 7 < 0 = о .

(40 .5)

 

В силу формул (38 .5) равенство (39.5) означает, что

J £ ( x , i ) d v - О t

(41 .5)

&условие (40 .5) —

1

О .

(42 .5)

Попробуем проинтерпретировать эти условия как частный случай условий (2 0 .5 ). Для этого заметим, что пространство сооственных функций оператора одномерно и базисом его служит функция I . Следовательно

R- z

 

&

і.

Условие (-f8.5)

состоит

в том,

чтобы ССо) =^-0

Сравнивая это

условие

с условием (4 1 .5 ), мы получаем,

ИТО

JTT

R- г fCx,ir) - J £0*,è) cJz^i

и, следовательно, условия (18.5)

- 190 -

Н і>,і, кг\ , *-*1

•пг

 

f : С*>

-

/

f f r о) С'ч

- с

 

 

 

 

 

 

■?тг

 

 

 

 

 

 

i^ )

 

 

J £ f( x ( b ) d Оx —

 

 

 

в точности

совпадают с условиями (4-1.5),

(42 .5) .

 

Далее, поскольку оОраз

оператора

к -1 совпадает с образов

оператора

R-z

(средний

блок

в матрице

(32 .5) -

диагональный),

то соответствующее условие для оператора

к - ±

совпадает с

уже

выписанным условием

(4 І .5 )Х^.

 

 

 

 

Случай і - 0

несколько

особенный,

и поэтому мы рассмотри*

еще

случай

г = < , где

о

. Пусть,

нап-гасер,

мы изучаем

коядро оператора

 

 

 

 

 

 

 

Л :

Hs,

 

 

 

 

 

 

(43 .5)

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для того, чтобы формальное решение (ЗІ7.5) принадла* жало пространству необходимо и доста­ точно, чтобы

l - c U u ) - О •

х) Что, впрочем и должно быть, поскольку размерность коядра нашего оператора равна 2 и два независимые условия ортогональности (4 1 .5 ), (42 .5) уле предъявлены.

- I9I -

В силу равенств (38.5) для этого необходимо и достаточно, чтобы

I l'fcl л

 

 

(44 . 5)

J e -с'*:* % L X , 1 ) 4 XL. - 0

(45 .5)

Попробуем и в этом случае проинтерпретировать эти равенства

как частный

случай

условий

(2 0 .5 ).

Заметим прежде всего,

что пространство собственных функ­

ций оператора

 

*

к 3

двумерно и базисом его служат-

функции г 1

 

*

и

г

 

Поэтому

 

 

 

 

Л

 

Л

 

 

/'К*

ß.£

 

 

 

+С^СШ

Необходимое и достаточное условие (18 .5) есть условие

 

 

 

 

=

сгсinj= о

Сравнивая эти условия с равенствами (4 4 .5 ), (4 5 .5 ), мы поду­ чаем, что

cif'4>= J

£Съіы)е<ъ <ь.

0

,

2 ѵ

 

аз.(іи) =

J £0*,Ш)f

1'*the.

П

!

J

- 192 -

Смотрите также файлы