Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
до |
~t |
коэффициентами. |
Тогда |
для любых |
s |
|
и любых чисел |
|||||||||
Я |
+ |
С ^ ~ ) |
|
|
* |
|
аа исключением некоторого дискрет- |
|||||||||
ного |
множества |
на вещественной оси операторы |
|
|
|
|||||||||||
|
: |
н s , у |
, |
о |
< |
7 |
С с ;— |
|
н |
^ |
„1+,-ов |
( с) |
( 0. 3) |
|||
V |
|
Н 5 |
. у |
, |
+ ѵ > і я |
- |
С с ) |
|
И |
s - |
n |
i (cjX + v |
(0 .4 ) |
|||
|
|
’ , |
||||||||||||||
Ъ: |
H s f ff)ei+ +t>e |
( c j |
—> |
|
Н S-w, J, Л+, +0° (у |
(0 .5 ) |
||||||||||
1) |
- |
Н S, 3 1~ѵэ, оі._ |
С c j |
—> |
Н У-*и, У,- ъ° j |
д - |
|
|
( 0. 6) |
|||||||
суть |
гомоморфизмы. Более |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
і ) |
операторы (0 .5 ) и |
(0 .4 ) |
с у т ь мономорфизмы с (вообще |
|||||||||||||
говоря) бесконечномерным коядром, |
а |
|
|
|
|
|
||||||||||
£ () операторы |
(0 .5 ) и(0.6)суть |
эпиморфизмы |
с(вообще |
говоря) |
бесконечномерным ядром.
Смысл слов "вообще говоря" означает "для невольтерров-
пкит*) операторов". В частности, эффект бѳсвонѳчномерностиі)
і ) Точное |
утверждение |
о вольтерровских операторах |
|
следующее: если |
выражение |
Л) |
- вольтѳрровскоѳ (опреде |
ление см, в гл. |
I ) , тЬ по |
крайней мере для двух операторов |
|
из совокупности |
(0 .3 ) - (0 .6 ) справедлива теорема конечности. |
8
іш получим ухе для оператора Лапласа.
Наконец, мы доказываем теоремы о гладкости решения,
то есть устанавливаем гипоаллиптичность оператора D .
Только что сформулированные утверждения переносятся
на (с соответствующими изменениями) операторы с переменными по ~Ь коэффициентами, удовлетворяющими определенным усло
виям типа стабилизации при -t і о=> .
Кроме теорем о разрешимости мы изучаем асимптотическое
поведение решения квазиаллидтичѳского уравнения при
+ оо . |
|
|
Именно, для решения |
u O r,-fc) |
уравнение |
Q i* , Ь/ н . ) м . Ос( і - ) = 4 0 * ' ^
о гладкими коэффициентами мы выписываем асимптотический ряд вида
u С*- |
' 2 Г Z І а , к |
(0 .7 ) |
К . <j =0
-9
Здесь внешнее суммирование производится по всем полюсам
2 |
^ } . . . , |
Z K |
|
|
некоторой |
мероморфной функции |
||||||
(для случая |
cU'w |
X |
= _1 |
эта функция строится |
явно) |
|||||||
|
Г (с |
- |
кратность |
полюса |
2 |
и функции |
(jx) '/ |
|||||
- |
оуть |
гладкие функции. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Наконец, как и квазиэллиптическиѳ операторы с незави |
|||||||||||
сящими от |
*t |
коэффициентами такие |
операторы и в общем |
|||||||||
случае |
являются гипоэллиптическими. |
|
|
|
||||||||
|
Такова, в общих чертах, программа исследования квази- |
|||||||||||
эдлиптических операторов |
в бесконечном цилиндре, |
осуществ |
||||||||||
ленная в монографии. Напомним, что |
эта |
программа проведена |
||||||||||
в |
трех |
случаях: когда |
X |
- |
гладкое компактное многообра |
|||||||
зие без |
края, |
когда |
")( |
- компактное |
многообразие с |
|||||||
краем |
^ X |
|
и , наконец, |
в соболевском |
случае. |
|
||||||
|
Укажем, |
наконец, |
план работы. Она состоит из |
шести |
глав. Первая глава носит вводный характер и содержит необ ходимый материал из теории аналитических (мѳроморфных)
семейств опзраторов.
Стремясь сделать изложение максимально удобным для
чтения, мы постарались разделить технические и принципиальные трудности. С этой целью во второй, третьей и четвертой
главах излагается |
теория |
в пространствах |
И S, X |
, Л - |
||
с |
+ |
- «’*> |
• |
Эт°» разумеется, |
лишь пример, |
|
иллюстрирующий общий случай, однако, на этом примере мы постарались сделать прозрачной две идеи: во-первых,
10
переход к переменным коэффициентам и, во-вторых, построение С о
болевской теории и, в особенности, получение двойного асимптоти ческого ряда в этой теории.
Остановимся вкратце на литературе. Основной для нас явля ется статья С.Агмона и Л.Ниренбѳрга 14.] В ней сформулирована те орема об однозначной разрешимости семейств взвѳшѳнно-эллиптичѳс- ких уравнений (терминология авторов) для достаточно больших по модулю значений параметра. Независимо от Агмона и Нирѳнберга аналогичную теорему, но в более общей ситуации получили Агранович
иВишик (]2^. Именно эта теорема и является для нас основной: используя унитарность преобразования Фурье, И8 нее получается однозначная разрешимость квазиэллиптичѳских уравнений для слу чая постоянных коэффициентов. Это соображение явилось ключевым
ив исследованиях В.А.Кондратьева [5^ по проблеме разрешимости эллиптических уравнений в области с коническими точками. Там фак тически была получена теорема об однозначной разрешимости для эллиптических уравнений в бесконечном цилиндре с постоянными го 't коэффициентами в пространствах, отличающихся, однако от на ших.
Вторым важным результатом статьи является получение
асимптотического представления решения при -Ь->+ьодля решений взвешенно-эллиптических уравнений. Такое представление для по стоянных по "t коэффициентов получено весьма естественным мето дом, использующим теорию вычетов. Позднее этот метод использо вал В.А.Кондратьев в упомянутой выше работе. Подобные же рассмот рения для случая постоянных коэффициентов проведены и в настоя щей работе. Однако для случая переменных коэффициентов (который гораздо сложнее "постоянного") мы предлагаем новый метод получе ния асимптотического представления решения, оснозанный на специ альной конструкции почти обратного оператора. Отметим также, очень интересные исследования Ю.Дубинского.
-'ll-
Г Л А В А I
Вв о д н а я
§I . Аналитические семейства фрѳдгольмовых операторов. 1. Основные определения.
2 . Теорема о конѳчномероморфной обратимости.
§2 . Операционное исчисление.
1 . Определение преобразования Фурье.
2 . Унитарность преобразования Фурье.
3 . Преобразование Фурье в пространствах С.Л.Соболева.
4 . Пространства функций со значениями в банаховом
пространстве. |
Пространство Н у , |
Л |
• |
5 . Пространства |
H s , у , d + , - U • |
|
|
§ 3 . Квааиэллиптическиѳ дифференциальные |
выражения. |
||
1 . Основные определения. |
|
|
|
2 . Примеры. |
|
|
|
§ I . Аналитические семейства фрѳдгольмовых операторов.
В этом параграфе мы изучим семейства фрѳдгольмовых опера торов, параметризованные некоторой областью комплексной плос кости и аналитически зависящие от параметра.
Материал зтого параграфа можно считать более или менее нелестным. Однако мы приводим не только формулировку, но и
доказательство основной теоремы. Последнее продиктовано тем,
і
- 12 -
что формулировки и доказательства даны именно в той форме,
в которой они будут непосредственно использованы ниже. |
|
|||||
I . |
Основные определения. Пусть |
|
£ ± |
- комп |
||
лексные |
банаховские пространства и |
( |
- |
комплексная плоскости. |
||
О п р е д е л е н и е |
І . І . Семейство |
непрерывных опера |
||||
торов |
|
|
|
|
|
|
параметризованное плоскостью (L |
, называется аналитическим |
||||||||||
в точке |
2 в |
f" |
(Г |
, |
если |
в |
окрестности |
U |
этой |
||
точки операторнозначная функция |
А ( Ѵ разлагается в ряд |
||||||||||
Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/let A,Cz-Zoh-•• |
|
|
|
||||
сходящийся по норме |
|
; другими словами числовой |
ряд |
||||||||
|
1! |
М |
! |
* ]| Ак |
|
|
• • |
• |
|
|
|
сходится |
в |
окрестности |
V . |
|
|
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е |
2 .1 . Семейство |
непрерывных опера |
|||||||||
торов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fl fë): Е , |
|
Е,. |
|
|
|
|
|
||
называется мероморфным семейством, |
если во всех |
точках 2 е С |
- із -