Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

до

~t

коэффициентами.

Тогда

для любых

s

 

и любых чисел

Я

+

С ^ ~ )

 

 

*

 

аа исключением некоторого дискрет-

ного

множества

на вещественной оси операторы

 

 

 

 

:

н s , у

,

о

<

7

С с ;—

 

н

^

„1+,-ов

( с)

( 0. 3)

V

 

Н 5

. у

,

+ ѵ > і я

-

С с )

 

И

s -

n

i (cjX + v

(0 .4 )

 

 

’ ,

Ъ:

H s f ff)ei+ +t>e

( c j

—>

 

Н S-w, J, Л+, +0° (у

(0 .5 )

1)

-

Н S, 3 1~ѵэ, оі._

С c j

—>

Н У-*и, У,- ъ° j

д -

 

 

( 0. 6)

суть

гомоморфизмы. Более

того,

 

 

 

 

 

 

 

і )

операторы (0 .5 ) и

(0 .4 )

с у т ь мономорфизмы с (вообще

говоря) бесконечномерным коядром,

а

 

 

 

 

 

£ () операторы

(0 .5 ) и(0.6)суть

эпиморфизмы

с(вообще

говоря)

бесконечномерным ядром.

Смысл слов "вообще говоря" означает "для невольтерров-

пкит*) операторов". В частности, эффект бѳсвонѳчномерностиі)

і ) Точное

утверждение

о вольтерровских операторах

следующее: если

выражение

Л)

- вольтѳрровскоѳ (опреде­

ление см, в гл.

I ) , тЬ по

крайней мере для двух операторов

из совокупности

(0 .3 ) - (0 .6 ) справедлива теорема конечности.

8


іш получим ухе для оператора Лапласа.

Наконец, мы доказываем теоремы о гладкости решения,

то есть устанавливаем гипоаллиптичность оператора D .

Только что сформулированные утверждения переносятся

на (с соответствующими изменениями) операторы с переменными по коэффициентами, удовлетворяющими определенным усло­

виям типа стабилизации при -t і о=> .

Кроме теорем о разрешимости мы изучаем асимптотическое

поведение решения квазиаллидтичѳского уравнения при

+ оо .

 

 

Именно, для решения

u O r,-fc)

уравнение

Q i* , Ь/ н . ) м . Ос( і - ) = 4 0 * ' ^

о гладкими коэффициентами мы выписываем асимптотический ряд вида

u С*-

' 2 Г Z І а , к

(0 .7 )

К . <j =0

-9


Здесь внешнее суммирование производится по всем полюсам

2

^ } . . . ,

Z K

 

 

некоторой

мероморфной функции

(для случая

cU'w

X

= _1

эта функция строится

явно)

 

Г (с

-

кратность

полюса

2

и функции

(jx) '/

-

оуть

гладкие функции.

 

 

 

 

 

 

Наконец, как и квазиэллиптическиѳ операторы с незави­

сящими от

*t

коэффициентами такие

операторы и в общем

случае

являются гипоэллиптическими.

 

 

 

 

Такова, в общих чертах, программа исследования квази-

эдлиптических операторов

в бесконечном цилиндре,

осуществ­

ленная в монографии. Напомним, что

эта

программа проведена

в

трех

случаях: когда

X

-

гладкое компактное многообра­

зие без

края,

когда

")(

- компактное

многообразие с

краем

^ X

 

и , наконец,

в соболевском

случае.

 

 

Укажем,

наконец,

план работы. Она состоит из

шести

глав. Первая глава носит вводный характер и содержит необ­ ходимый материал из теории аналитических (мѳроморфных)

семейств опзраторов.

Стремясь сделать изложение максимально удобным для

чтения, мы постарались разделить технические и принципиальные трудности. С этой целью во второй, третьей и четвертой

главах излагается

теория

в пространствах

И S, X

, Л -

с

+

- «’*>

Эт°» разумеется,

лишь пример,

 

иллюстрирующий общий случай, однако, на этом примере мы постарались сделать прозрачной две идеи: во-первых,

10


переход к переменным коэффициентам и, во-вторых, построение С о ­

болевской теории и, в особенности, получение двойного асимптоти­ ческого ряда в этой теории.

Остановимся вкратце на литературе. Основной для нас явля­ ется статья С.Агмона и Л.Ниренбѳрга 14.] В ней сформулирована те­ орема об однозначной разрешимости семейств взвѳшѳнно-эллиптичѳс- ких уравнений (терминология авторов) для достаточно больших по модулю значений параметра. Независимо от Агмона и Нирѳнберга аналогичную теорему, но в более общей ситуации получили Агранович

иВишик (]2^. Именно эта теорема и является для нас основной: используя унитарность преобразования Фурье, И8 нее получается однозначная разрешимость квазиэллиптичѳских уравнений для слу­ чая постоянных коэффициентов. Это соображение явилось ключевым

ив исследованиях В.А.Кондратьева [5^ по проблеме разрешимости эллиптических уравнений в области с коническими точками. Там фак­ тически была получена теорема об однозначной разрешимости для эллиптических уравнений в бесконечном цилиндре с постоянными го 't коэффициентами в пространствах, отличающихся, однако от на­ ших.

Вторым важным результатом статьи является получение

асимптотического представления решения при -Ь->+ьодля решений взвешенно-эллиптических уравнений. Такое представление для по­ стоянных по "t коэффициентов получено весьма естественным мето­ дом, использующим теорию вычетов. Позднее этот метод использо­ вал В.А.Кондратьев в упомянутой выше работе. Подобные же рассмот­ рения для случая постоянных коэффициентов проведены и в настоя­ щей работе. Однако для случая переменных коэффициентов (который гораздо сложнее "постоянного") мы предлагаем новый метод получе­ ния асимптотического представления решения, оснозанный на специ­ альной конструкции почти обратного оператора. Отметим также, очень интересные исследования Ю.Дубинского.

-'ll-

Г Л А В А I

Вв о д н а я

§I . Аналитические семейства фрѳдгольмовых операторов. 1. Основные определения.

2 . Теорема о конѳчномероморфной обратимости.

§2 . Операционное исчисление.

1 . Определение преобразования Фурье.

2 . Унитарность преобразования Фурье.

3 . Преобразование Фурье в пространствах С.Л.Соболева.

4 . Пространства функций со значениями в банаховом

пространстве.

Пространство Н у ,

Л

5 . Пространства

H s , у , d + , - U •

 

 

§ 3 . Квааиэллиптическиѳ дифференциальные

выражения.

1 . Основные определения.

 

 

2 . Примеры.

 

 

 

§ I . Аналитические семейства фрѳдгольмовых операторов.

В этом параграфе мы изучим семейства фрѳдгольмовых опера­ торов, параметризованные некоторой областью комплексной плос­ кости и аналитически зависящие от параметра.

Материал зтого параграфа можно считать более или менее нелестным. Однако мы приводим не только формулировку, но и

доказательство основной теоремы. Последнее продиктовано тем,

і

- 12 -


что формулировки и доказательства даны именно в той форме,

в которой они будут непосредственно использованы ниже.

 

I .

Основные определения. Пусть

 

£ ±

- комп­

лексные

банаховские пространства и

(

-

комплексная плоскости.

О п р е д е л е н и е

І . І . Семейство

непрерывных опера­

торов

 

 

 

 

 

 

параметризованное плоскостью (L

, называется аналитическим

в точке

2 в

f"

,

если

в

окрестности

U

этой

точки операторнозначная функция

А ( Ѵ разлагается в ряд

Тейлора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/let A,Cz-Zoh-••

 

 

 

сходящийся по норме

 

; другими словами числовой

ряд

 

1!

М

!

* ]| Ак

 

 

• •

 

 

сходится

в

окрестности

V .

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

2 .1 . Семейство

непрерывных опера­

торов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fl fë): Е ,

 

Е,.

 

 

 

 

 

называется мероморфным семейством,

если во всех

точках 2 е С

- із -