Файл: Кривоносов, А. И. Полупроводниковые датчики температуры.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
Необходимо определить линейную функцию, которая в данном диапазоне температур максимально соответ ствует данной зависимости. 'В общем виде эта функция имеет следующий вид:
Fi T) =F(Tm) + k ЛѲ. |
(1-7) |
Преобразуя выражение (1-6), получаем:
|
|
П |
|
|
|
F(T) = F (Таа) + |
ѳ 2 Л « (Гап) |
. |
(1-8) |
||
|
|
/=і |
|
|
|
Сравнивая зависимости (1-7) |
и (1-8), |
получаем: |
|||
П |
|
|
|
|
|
= 5 ] Я,’, (7’а“) П Г '- ' |
|
(1'9) |
|||
і= і |
|
|
|
|
|
С другой стороны, величина суммы определяется из |
|||||
выражения (1-8) следующим образом: |
|
|
|||
В(£-і) |
F (Т) — F (TR |
|
( 1- 10) |
||
(Т’ап) |
і\ ~~ |
в |
|
||
l=rl |
|
|
|
|
|
Одним из главных |
условий |
приближения |
функции |
||
к линейной на данном диапазоне является минимальное количество членов ряда разложения, т. е. суммы, стоя
щие в выражениях (1-6) и (1-10), |
должны быть мини |
мальны на этом диапазоне. Как |
видно из равенства |
(1-10), это осуществляется при |
|
0= Омане= Т%—Ті. |
(1-11) |
Для получения в общем случае максимального при ближения к линейной зависимости Ал следует брать рав ным:
и _ F ( T 2) - F ( Л ) |
( 1- 12) |
|||
л — |
Т2 |
— 7, |
||
|
||||
Далее определим погрешность аппроксимации функ ции F(T) при различных температурах ГаП:
A=F (Т) —F(Т’ап) —кл(Т—Тап). (1-12а)
21
Максимальная погрешность па данном диапазоне
- ^ = Р ( Г)- к я = 0 |
(М3) |
или
F'(T)=kB. (1-14)
Таким образом, функция А (Т) имеет максимум при температуре, определяемой выражением (1-14).
Решаем (1-14) следующим образом: умножим обе ча сти равенства на величину приращения d.T и проинтег рируем:
j F' (Т) dT = ' j |
kndT. |
(1-15) |
Решение уравнения (1-15) |
и дает |
значение Т= Ти, |
при котором погрешность максимальна. Графически эта точка соответствует тому значению температуры, при которой касательная функции F(T) параллельна аппро ксимирующей прямой. Это следует из выражения (1-14)
И' рис. 1-1.
Таким образом,
Амане—F (Тм) —F(Тап) — (Гм—Гап). (1-16)
Так как величины Тап и Т функционально между со бой не связаны, то изменение Тап не влияет на харак-
Рнс. 1-1. Линеаризация цепи |
Рис. 1-2. График функции Д(Г). |
с известной выходной темпера |
|
турной характеристикой в дан |
|
ном диапазоне температур. |
|
тер зависимости, а соответствует смещению оси токов на величину, соответствующую Тап. Для характера за висимости F(T) в диапазоне [Гг, Т{\ вид функции А (Г) показан на рис. 1-2.
22
Величину Тап находим, исходя из тех необходимых требований, которые предъявляются к аппроксимации
вконкретных случаях.
Вслучае необходимости нулевой погрешности на
концах диапазона величину Гап выбираем равной:
Т'ап = Ті |
(1-17) |
ИЛИ |
(1-18) |
Тап = Т2. |
Если необходимо иметь максимум погрешности на концах диапазона, а нулевую — в какой-либо промежу точной точке, то
7'ап = 7’м. |
(1-19) |
В случае симметричного поля допуска в данном диа |
|
пазоне |
(1-20) |
F (Т'ап)—kaTan —F (Т\) —кцТ1 ± Дмакс/2. |
|
'В общем случае величина Тап находится из уравне |
|
ния |
(1-21) |
F (7\ш) —knTan= F (T l)—кяТі±&. |
|
Таким образом, уравнения (1-12) и (1-21) |
опреде |
ляют для данной задачи параметры прямой аппрокси мации, а выражение (1-16) — максимальную погреш ность аппроксимации.
З а д а ч а 2. Линеаризация с необходимой точностью цепи с заданной выходной температурной зависимостью при данной температуре.
Пусть задана, как и в предыдущем случае, функция F(T), которую можно разложить в ряд. В качестве диа пазона температур в этом случае необходимо взять ре альный диапазон, в котором цепь описывается заданной функциональной зависимостью, т. е. величины Т2 и 7) определяются из реальных условий работы цепи с полу проводниковым 'прибором.
Вид линеаризованной функции, как и ранее, описы
вается выражением (1-7). |
в этом |
случае |
равна: |
|
Погрешность |
аппроксимации |
|||
А=F(T) —F(Tm) - k л (Т—Гдп) < Аз. |
(1-22) |
|||
При этом следует стремиться |
к тому, |
чтобы макси |
||
мум погрешности |
был меньше |
заданной |
погрешности: |
|
|
Ама5<с^Аз. |
|
(1-23) |
|
23
В этом случае Тап задана, а ka находится из следую щего выражения:
kn= F'(Tau). |
(1-24) |
Это значение k„ соответствует максимальному при ближению к линейному закону изменения.
Для нахождения величины диапазона аппроксима ции запишем выражение (1-22), учитывая выражение
(1-3), в виде
/7(Ѳ + 7’ап) - ^ ( Г ап) — М < А 3. |
(1-25) |
Максимальный диапазон температур, на котором линеаризация справедлива с точностью А3, определится из равенства
F(Ѳ+ Тап) —knQ= F(Гап) + Аз. |
(1-26) |
|
Величины граничных значений температур соответ |
||
ственно определятся из |
|
|
Т2—Тап-Ь Ѳм! |
(1-27) |
|
Гі=Гап — Ѳм. |
(1-28) |
|
Окончательно имеем: |
|
|
Ѳмакс= Т'2— 7’і^2Ѳм. |
(1-29) |
|
З а д а ч а 3. Получение |
заданной линейной зависи |
|
мости в данном диапазоне |
измерения |
путем подбора |
параметров цепи. |
|
|
В этом случае задан вид температурной характери стики F(T), но параметры ее необходимо определить; кроме того, задана линейная зависимость температуро чувствительного параметра, например,сопротивления
вданном диапазоне температур Т2— Д.
Вкачестве первого условия аппроксимации примем
равенство функции F(Т) и заданной линейной зависи мости на концах интервала. Очевидно, что для функции F(T), показанной на рис. 1-1, это возможно, когда
Тап = Ті |
(1-30) |
или |
|
7'ап = Т2. |
|
Тогда заданную линейную зависимость можно за |
|
писать так: |
(1-31) |
F ( T ) = F ( T i ) + k n ( T - T l ). |
|
24
Погрешность аппроксимации в этом случае имеет
вид: |
(1-32) |
A= F ( T ) - F ( T i ) - /e „ ( r - T 1). |
Максимум погрешности будет при температуре, соот ветствующей выражению (1-15), И Величина Амане должна быть меньше некоторой допустимой величины
АдопТаким образом, параметры температурной характе
ристики цепи определятся из решения системы уравне ний:
F i T ^ F i T ^ + k ^ T z - T J ; |
(1-33) |
F(1 м) = F(Г,)3 -f- /ел (Гы— Т,),-1-кАд0Ц.
Эта система позволяет найти три параметра, что вполне достаточно для описания температурной харак теристики практически любой цепи с полупроводнико вым прибором.
З а д а ч а 4. Получение заданной линейной зависи мости, проходящей через данную точку с определенной погрешностью, выбором параметров F(T).
В этом случае задана температура аппроксимации Гап и линейная функция’. Необходимо подобрать пара метры функции F(T), чтобы в определенном диапазоне температур она отличалась от заданной прямой на ве
личину, не большую А'доп* |
условий |
возьмем |
равенство |
||
В |
качестве |
исходных |
|||
функции F(T) |
и ее производной соответственно значе |
||||
ниям прямой и ее наклону в точке Гап. |
|
||||
Максимум погрешности и в этом случае определяет |
|||||
ся уравнением (1-15): |
|
|
|
||
|
|
j/?'(0 + 7’an)dfl = jM fl. |
(1-34) |
||
Из |
(1-34) |
находим |
величину |
Ѳм, при |
которой |
АмановА. |
|
|
|
|
|
Параметры температурной характеристики опреде лятся из решения следующей системы уравнений:
F(TRa) = F(Taa)3; |
|
|
F' (Гап) = Лл; |
(1-35) |
|
jF ' (Ѳ+ 7’аа)гі0 = |М в ; |
||
|
||
F (Ѳм -f- Tau) — F (Гau)3 -|- /гдѲм -f- A3. |
|