Файл: Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие.pdf

Рассмотрим случай некоторой волны, распространяющейся вдоль оси X без затухания. Подобная волна может быть описана известным уравнением

(1 - 3 )

где і|г = т ) : — амплитуда волны в точке X;

£ = -у - (X—длина волны),

Уравнению (1—4) можно придать такой вид, который позволил бы учесть движение электрона, имеющего массу т и скорость ѵ.

В случае движения свободного электрона полная энергия рав­ на его кинетической энергии Т. Пользуясь (1—2), получим:

Полученное уравнение описывает движение свободного электро­ на, обладающего энергией Е. Функция ф (х), являющаяся решени­ ем этого уравнения, называется волновой функцией.

В общем случае пространственного движения ф будет зависеть от всех трех координат.

Уравнение (1—7) примет вид

Соотношения (1—7) и (1—9) получены для свободного элек­ трона, когда функция описывающая его движение зависит только от координат и не зависит от времени. В случае же наличия времен­ ной зависимости уравнение (1—9) примет другой вид, а функция ф(х, у, г) заменится функцией ф (х, у, z, Т),

9

Рассмотренное уравнение (1—9) описывает движение электро­ на. Аналогичного вида уравнения можно записать для звуковых и электромагнитных волн.

Волновые уравнения представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных, причем независимыми перемен­ ными в этих уравнениях являются координаты и время. Функцией независимых переменных для звуковых волн является давление, для электромагнитных волн — напряженность электрического или маг­ нитного поля. Таким образом, в волновое уравнение входит некото­ рая функция ф, зависящая от координат и времени.

Рассмотрим, что представляет собой функции ф в случае элект­ ронных волн.

Если повторить опыт с электронным пучком, проходящим через кристаллическую структуру, но использовать в этом эксперименте не пучок электронов, а единичные электроны, то, наблюдая за экра­ ном, обнаружим, что отдельные электроны попадают в различные его точки. Однако при наблюдении за достаточно большим числом электронов можно заметить, что точки попадания не распределены равномерно по всему экрану, а сосредоточены, главным образом, в тех местах, где в эксперименте с электронным пучком располага­ лись дифракционные максимумы. Невозможно заранее предска­ зать, куда именно попадает каждый данный электрон, можно гово­

находится в этом пространстве. Вероятность со может иметь значе­ ния, лежащие в пределах от 0 до 1, причем со = 0 говорит о невоз­ можности нахождения электрона в области AF, а со=1 — о досто­ верности того, что электрон находится в данном объеме, что можно выразить следующим уравнением:

Это условие называется условием нормировки, а волновая функ­ ция, удовлетворяющая этому условию, называется нормированной. Значение ф 2 связано с со таким, соотношением

—oo —со —со

Таким образом, физический смысл имеет не сама функция ф, а квадрат модуля функции.

10

ч

§ 3. Соотношения неопределенностей

В классической механике состояние частицы однозначно опреде­ ляется заданием ее координат и трех составляющих импульса. В каждый момент времени как координаты, так и составляющие им­ пульса для такой частицы имеют строго определенные значения и могут быть измерены принципиально с какой угодно степенью точ­

волновой природы его, не может быть охарактеризовано одновре­ менным заданием определенных координат и составляющих им­ пульса, как состояние классической частицы.

Электрон может находиться в любом месте пространства в пре­ делах размеров волны, описывающей его. Основной особенностью квантовой механики является то, что наряду с физическими величи­ нами, точно известными, например, скорости электронов, имеются и величины, не имеющие определенного значения и характеризуе­ мые только вероятностным значением, например, пространственные координаты электрона.

В общем случае можно сказать, что не существует таких состоя­ ний физической системы, в которых две динамические переменные А и В имеют вполне определенные значения, если эти переменные канонически сопряжены друг другу '.

Следовательно, никакой эксперимент не может привести к одно­ временному точному измерению таких величин А и В. Сделать это можно лишь приблизительно,'с некоторой неопределенностью. И дело не в том, что положения и скорости микрочастиц не могут быть измерены вполне точно-, дело в том, что они вообще не имеют вполне точных положений и скоростей, т. е. если имеется несколько возможных (разрешенных) состояний частиц, то она одновременно может находиться в нескольких и даже во всех этих состояниях. Все, что можно сказать о координатах электрона в атоме, — это вероятность его положений относительно ядра. Вероятность выра­ жена квадратом волновой функции іф1,2. Эіа вероятность опреде­ ляет среднюю плотность положений электрона и может рассматри­ ваться как диффузионное «облако» около ядра. Но электрон не разделен на части, распределенные по различным состояниям. При измерении он оказывается весь целиком в одном состоянии, раз­ лична лишь вероятность обнаружения его в том или ином состоя­ нии. Количественная формулировка соотношения неопределенно­ сти — произведение погрешностей измерения канонически сопря­ женных величин не может быть по порядку величины меньше по­ стоянной Планка п :

11

2к

Из соотношения неопределенностей следует, что чем более точ­ но определено значение одной из входящих в неравенство величин, тем менее точно определено значение другой. Ввиду малости h по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности, соотношение неопределенностей существует в основном для явле­ ний атомных масштабов и не проявляется в опытах с макроскопи­ ческими телами. Представим себе, например, что электрон опреде­ ленной энергии падает на дифракционную решетку. При много­ кратном повторении этого процесса рассеявшиеся электроны обра­ зуют характерную дифракционную картину. В силу волновой при­ роды дифракции следует считать, что в акте взаимодействия элек­ трона с решеткой принимают участие все ее ячейки. Если допус­ тить, что при некоторых условиях можно было бы точно предска­ зать, в каком направлении будет двигаться электрон, то это при­ вело бы к противоречию. Действительно, в этом случае можно было бы указать одну конкретную ячейку дифракционной решетки, с ко­ торой взаимодействует электрон при отражении, а влияние других ячеек оказалось бы несущественным.

Таким образом, положение частицы нельзя отметить геометри­ ческой точкой, и оно не может быть уточнено каким бы то ни было способом, позволяющим перейти от вероятностных суждений к точ­ ным. Состояние частицы с максимальной полнотой характеризуется формой волны де Бройля и неопределенность в положении будет не меньше длины волны. Поэтому понятие координаты и импульса в классическом смысле не могут быть применены к микроскопиче­ ским объектам. Пользуясь этими величинами при описании атом­ ных систем, необходимо учесть при их интерпретации квантовые свойства системы. Этот учет и проявляется в соотношении неопре­ деленностей.

Соотношение, подобное (1—11) существует между энергией и временем:

Здесь АЕ — неопределенность в значении энергии;

At — время, в течение которого микрочастица обладает энер­ гией Е±АЕ.

Из соотношения (1—11а) следует, что неопределенность в энер­ гии может достичь существенного значения лишь в том случае, ес­ ли время пребывания частицы в данном энергетическом состоянии мало. Например, времени жизни атома в возбужденном состоянии т ~ 1 0 -8 сек. отвечает столь большая неопределенность в значении

энергии Л Е г^-^ -^ІО '7 эв (1 эв=1,6ХЮ ~12 эрг), что при переходе атома из этого состояния в нормальное излучается не отдельная

12