Файл: Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 74

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

спектральная линия строго фиксированной частоты, а целый спект­

ральный участок Аѵ, определяющий так называемую естественную ширину линии.

§ 4. Волновое уравнение Шредингера

Волновое уравнение (1—9) относится к свободному электрону, движущемуся без воздействия внешних сил. Попытаемся теперь применить волновое уравнение к случаю, когда электрон движется в поле электрического потенциала.

При отсутствии электрического поля полная энергия Е электро­ на совпадает с кинетической энергией Г, и в уравнение (1-—9) вхо­ дит величина Е, равная Т. Для случая, когда электрон движется в

поле с потенциалом U,

кинетическую энергию

можно записать

Т= Е— U и, подставив в

(1—9) вместо Е величину Е—U, получим

волновое уравнение

 

 

АЧ + ^ г ( Е — U) • ф =0 .

(1 — 12)

Это уравнение описывает движение электрона под воздействи­ ем внешнего электрического поля с потенциалом U. Оно является одним из важнейших уравнений квантовой механики, и называется волновым уравнением Шредингера.

Уравнение Шредингера не выводится в кйантовой механике. Его следует рассматривать как один из основных законов, основан­ ный на обобщении экспериментальных данных.

Вслучае, если потенциал внешнего поля зависит от координат

ивремени, то уравнение Шредингера имеет следующий вид

Функция Д(х:, у, г, t) является решением этого уравнения. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение уравнения Шредингера (1—13) удовлетворяет только комплекс­ ным волновым функциям Д (х, у, z, t). Поэтому физический смысл имеет не сама функция Д, а произведение Д не сопряженную с ней величину Д*, т. е. квадрат ее абсолютной величины, которая в эле­ менте пространства А У соответствует вероятности нахождения ча­ стицы в этом элементе.

Волновая функция должна удовлетворять следующим трем усло­

виям:

 

 

1.

Функция Д должна быть непрерывной и однозначной;

2.

Производные ОТ от от

должны быть непрерывными;

 

-f 00

 

3.

Интеграл Ш 1Ф |2 dx.dy dz

должен, быть конечным.

Требование непрерывности волновой функции вытекает из того,

что разрыв непрерывности Т обусловил бы разрыв непрерывности |ф |2-ДУ, т. е. вероятности нахождения электрона в объеме ДѴ. Между тем, эта вероятность должна изменяться в пространстве непрерывно от точки к точке. Требование однозначности функции прзволяет выбрать одно решение из числа возможных.

§ 5. Кривая дисперсии для свободного электрона

 

(Примеры применения уравнения Шредингера).

U{x)—0 и

Для свободной частицы,

движущейся

вдоль оси х,

»уравнение Шредингера (1—13) приобретает следующий вид

2Ак

1

dU'(x,

t)

 

8

гА2

д2Ч'(х,

і)

 

 

 

.

dt

 

 

.‘гп

дхг

 

(1 -1 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение этого уравнения—

 

 

 

 

 

 

У (X,

t) ф (х) е~‘ 2~ѵі —ф (х) e

iwt,

 

(1 — 15)

где м= 2лѵ, ф(х)

— волновая функция, удовлетворяющая следую­

щему уравнению Шредингера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Ü t + ^ £ 4 > = 0 .

 

 

 

 

(1 -1 6 )

Исходя из того,

что полная энергия Е = Т+ІІ, а в данном случае

(7= 0, в выражении

(1—16)

Е представляет собой кинетическую

энергию частицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

Рг

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

2т

 

2 т Л г '

 

 

 

 

 

Подставив это в (1—16) и, заменяя

Ь =

 

,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

о - 17)

Отношение^-

 

=k — называется волновым числом.

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 -1 8 )

Частные решения уравнения (1—18) будут

иметь

следующий

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фі = Aeikx

и ф2 = Be~ikx.

 

 

 

(1 — 19)

В отличие от обычного волнового движения, которое описывает­ ся тригонометрическими функциями, волновая функция ф(х), опи­ сывающая волны материи, выражена в комплексной форме.

Общим р/ешением будет

■ty = ty1+ ty2=Aeikx + B - ikx.

(1—20)

Умножая обе части этого уравнения на е~ш , получим общее решение уравнения (1—14)

14

L4r (X, t) = Â • е‘Чkx+Wi) + B -y-Wxiwn .

(1 —2І)

Уравнение (1—21) выражает суперпозицию двух плоских гар­ монических бегущих волн, распространяющихся в противополож­ ных направлениях. Для частицы, движущейся в положительном направлении оси х, В —0 и уравнением, описывающим движение, является

•F (х,

t) =Л • e^kxr wt).

(1—22)

Для частицы, движущейся в отрицательном

направлении

А —0 и тогда

 

 

V (х,

t) = В • e-i<ft*+wO.

(1—23)

Из уравнений (1—16) и (1—18) можно выразить k:

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

(1 -2 4 )

или

Е

№

■к%

 

 

8к2т

 

Из (1—24) видно, что энергия свободной частицы является квад­ ратичной функцией волнового числа к. График этой функции пока­ зан на рис. 1.

Так как на к никаких ограничений не налагается, то свободная частица может обладать любыми энергиями — ее энергетический спектр является сплошным.

Вероятность нахождения частицы на участке dx оси х равна

'

• V * d x = A • А* dx=A*dx.

(1—25)

Она пропорциональна dx и имеет одинаковые значения вдоль всей траектории движения (рис. 2).

В уравнении плоской монохроматической волны (1—22), рас­ пространяющейся вдоль оси X, (kx—wi) представляет собой фазу волны. Фаза выражает состояние колебания в любой точке X в

Рис. 2. Изменение вероятности нахождения сво­ бодной микрочастицы на участке dx.

каждый момент времени t. Участок волны, имеющий данное значе­ ние фазы, перемещается вдоль оси X с определенной скоростью, на­ зываемой фазовой скоростью волны Ѵф. Ее можно определить из условия постоянства фазы kx—wt = const. Дифференцируя по t, найдем

dx

w

(1 -2 6 )

v^ ==~df~~F -

 

Частота w и модуль волнового вектора k связаны с энергией

w — 2тгѵ = 2іг • h ’

k2

8л2ш г,

~ЙГ Е

Это позволяет выразить фазовую скорость волны только через

„

,

2п

 

 

волновой вектор, или, заменяя

k = — , получим

 

h

 

1

 

(1 -2 7 )

V^ ~ 2m

 

\

 

 

что скорость распространения

Формула (1—27) показывает' ,

 

 

*

 

волн де Бройля зависит от длины волны,' и, следовательно, для этих волн имеет место дисперсия.

В реальных условиях волновой' импульс представляет собой мало отличающуюся по своей длине и направлению распростране­ ния группу, волн или волновой пакет.

Волновой пакет определяет положение частицы, т. е. вероят­ ность обнаружить частицу отлична от нуля лишь в области, зани­ маемой волновым пакетом. Чем меньше размеры пакета, тем более локализована частица. Однако нельзя предположить, что сами ча­ стицы являются образованиями, составленными из волн. Например, при дифракции падающая волна разбивается на систему дифраги­ рованных волн, электрон же ведет себя как единая частица.

16

.4

2—2876

Па рис. 3 показан волновой импульс, полученный путем нало­ жения двух вили с близкими частотами w и До], волновыми числами k и к, и одинаковыми амплитудами. Этот импульс распространяется с определенной скоростью, называемой групповой скоростью ѵг.

Результирующая волна описывается в этом случае выражением:

Ф (х, t)

- cos (kx —Ы'І) +COS (kiX—W\t) --

-2cos

•J\

j

--

t ■cos

 

 

/

и представляет собой биения.

Первый тригонометрический множитель медленно изменяется по сравнению со вторым н его можно рассматривать как амплитуду волны. Второй множитель описывает фазу волны. Фазовая скорость равна

 

 

lim

 

4~ g’l

 

w

 

I

 

k + к ,

 

T'

 

W \ -

W

 

 

 

 

 

 

 

скорость, определяющая ско-

что Совпадает с (1—26). Групповая

рость перемещения максимума биения, равна

И

lim

Ш— W1

du

’

і 1— 28)

W\-W

к

 

 

Ж

 

dw

 

 

w

и ѵѵф Vф-

 

В случае дисперсии ~ Ж Ф ~т

 

Для волн де Бройля

w

2-ѵ -

Е

 

h

/г2.

2~ —г~

-----

г

 

 

 

 

А

 

4т.т

 

Дифференцируя по k,

получим

 

 

■k.

,

2-

 

2лр

2-

т •

'S|

и подставляя сюда k

-у

—

 

 

-

 

ѵ.

будем иметь

 

ѵг —ѵ.

 

 

 

(1—29)

Групповая скорость пакета волн де

Бройля

равна механической

скорости частицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 6. Несвободный электрон. Квантование энергии электрона при движении в ограниченной области пространства («потенциальная яма»)

Рассмотрим движение микрочастицы вдоль оси X в потенциаль­ ном поле, определенном следующим образом:

( 0 при 0 ф X ф а,

£ /(* )

I оо при X ф 0, х>а.

Вид'такой «ямы» дан па рис. 4.

Такое потенциальное поле соответствует бесконечно глубокой

18

«потенциальной яме». Движение микрочастицы яме» описывается уравнением Шредингера

Щ =0.

dx2

Общим решение этого уравнения является ф (х) = А sin (kx —S).

Так как «потенциальная яма» является бесконечно глубокой, то движение час­ тицы может происходить лишь в пределах этой ямы; выйти за пределы ямы час­ тица не может. Это означает, что вне промежутка 0<х<.а волновая функция микрочас­ тицы равна нулю. Из усло­ вия непрерывности ф следу­ ет, что ф должна быть равна нулю и в точках х = 0 и х = а

в «потенциальной

(1 -3 0 )

ф (0) =ф (а) =0.

(1 -31)

Рис.

4. Положение микрочастицы

 

в «потенциальной яме».

 

 

 

 

 

Использование

первого краевого

условия позволяет

опреде­

лить б: А sin (k0,—б) =0, отсюда 6 = 0 и

 

 

ф (х) ~ А ■sin'kx.

(1 —32)

Второе краевое условие ф( а) =0 может быть удовлетворено лишь при следующих значениях k:

kna = m ,

(1—33)

где п — целое число, большее нуля.

 

Из (1—33) можно определить

 

К = п ^ .

(1 -3 4 )

Подставляя это значение k в формулу (1—24), найдем значение энергии микрочастицы

Л 2

(1 -3 5 )

8та2

Подставляя же kn в решение (1—32), получим

ф„ = А sin п ~ X.

(1—36)

Из выражения (1—35) следует, что микрочастица, находящаяся в потенциальной яме, имеет дискретный ряд собственных значений энергии Еп; целое число п, определяющее эти значения Е, называ­ ется квантовым числом. На рис. 4 показано расположение несколь-

2* 19

Смотрите также файлы