Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

т4 со2 LR2C2 + со (1 - Я 2С)

Jm z ( 1 со) = ----------------------------------

.

1 +

со2 Д2С2

Отсюда видно, что выполнение неравенства

 

T >Ri

(5.27)

 

влечет за собой неотрицательность мшимой части z(ico), что, в свою очередь,

обеспечивает положительность и вещественность

функции— z(p). Поэтому, если

u(t) = u (t+ T ) и веберамперная

характеристика

нелинейной индуктивности явля­

ется однозначной возрастающей

функцией, то

установившийся ток в цепи рис.

5.14 является Г-периодической функцией. Этот Г-периодический режим является единственным и не зависящим от начальных условий.

Цепи с нелинейными емкостями

Ввиду .полной аналогии рассуждений, относящихся к цепям с нелинейными индуктивностями и .цепям с нелинейными емкостями, ниже приводится без доказательства формулировка основной тео­ ремы.

Теорема 5.11.

Пусть дана цепь, удовлетворяющая всем условиям теоремы 5.4 .и, кроме того, еще .следующим условиям:

а) элементы уи(р) (i= 1, 2, ..., п) матрицы у не имеют нулей при р= 0;

б) параллельно нелинейным емкостям включены .источники то­ ка, являющиеся Г-периодически ми функциями времени;

в) кулонвольтовые характеристики нелинейных емкостей явля­ ются однозначными, строго возрастающими функциями.

Тогда в рассматриваемой цепи существует, и притом единствен­ ный, периодический режим (по отношению к напряжениям н.а не­ линейных емкостях), не зависящий от начальных условий и имею­ щий период Т.

Цепи, содержащие одновременно нелинейные емкости и нелинейные индуктивности

Здесь по тем же причинам, что и выше, .приведем лишь фор­ мулировку основной теоремы, опуская доказательство.

Теорема 5.12.

Пусть дана цепь, удовлетворяющая всем условиям теоремы 5.9 и, кроме того, еще следующим условиям:

а) элементы гц(р) (i = m + 1, m + 2, ..., п) матрицы 2 не имеют

нулей при р = 0; б) веберам,парные характеристики ,нелинейных индуктивностей

и кулонвольтовые характеристики нелинейных емкостей являются однозначными, строго возрастающими функциями;

в) .все независимые источники напряжения являются Г-перио-

дическими функциями времени.

Тогда в рассматриваемой цепи .существует, и притом единствен­ ный, периодический режим с .периодом Т, не зависящий от началь­ ных условий.

'130

Практическое использование приведенных теорем определяется тем, насколько просто можно проверить выполнение условий, на­ кладываемых в этих теоремах на матрицы z или у. Конечно, суще­ ствуют общие методы проверки пассивности матриц z или у, одна­ ко они, в общем случае, являются довольно громоздкими. Иногда удается упростить проверку указанных условий, используя спе­ циальные свойства цепи, как это сделано, например, в следствии из теоремы 5.10. В других случаях, рассматривая требуемые усло­ вия более подробно, можно вывести из них и другие условия, бо­ лее удобные для практической проверки.

Пусть, например, имеется цепь, содержащая линейные элемен­ ты, одну нелинейную индуктивность и одну нелинейную емкость,, и пусть эта цепь удовлетворяет всем условиям теоремы 5.12.

Если линейная часть цепи

не содержит зависимых источников,,

то матрица z этой цепи должна быть симметричной

z{p) =

' * п (р)

Z12(р)

 

Л а(Р)

“22(Р)_

Тогда матрица z'(p) имеет вид

 

Z'(P)

PZll(P)

(р)

 

 

“12(Р)— Z22(p)

р

Матрица z'(p), по условию теоремы 5.12, должна удовлетво­ рять условию пассивности. Это, прежде всего, означает, что функ­ ция ргц(р) является положительной, вещественной функцией (и. в. ф.). Так как полюса гц(р), по условию, лежат в левой полу­ плоскости или на мнимой оси, то таковыми же являются и полюса pzu(p). Но на мнимой оси функция pzii(p) должна иметь полюса с вещественными положительными вычетами и тем же свойством

должна обладать функция zn (p). Покажем,

что одновременное вы­

полнение этих свойств для

функций

Zu(p)

и pzn(p)

невозможно.

Действительно, если

это

свойство выполнено

для гц(р), так что-

Z n ( p ) —— ;----К .., а>0, то

 

 

 

 

 

 

р + 1 ш

 

 

— i асо

 

 

 

PZ || (Р)

Ра

а

■■

■.

p+i со

р + гсо

Таким образом, функция pzn(p) имеет

мнимый

вычет в полюсе

р ——ко. Следовательно, функция гц(р)

не должна иметь полюсов

на мнимой оси, кроме, быть может,

-полюса

в нуле.

Аналогично

показывается, что функция Zz>(p) тоже не должна иметь полюсов

на мнимой оси (в том числе, и при р = 0).

Далее, так как pzu(p)

должна быть п.-в.ф., то Re ico'Zn.(ico) ^ 0 .

Поэтому Imzu (ico) =^0.

Точно так же выясняем, что Im Z22 (ко) > 0 .

Таким образом, для того, чтобы матрица z(p) удовлетворяла всем условиям теоремы 5.12, необходимо и достаточно, чтобы

131

1) 'функция Z2z(p) не имела нулей при р=0 и не имела полюсов на мнимой оси;

2) функция Z u ( p ) не имела полюсов на мнимой оси, кроме, ■быть может, полюса при р —0;

3)матрица z(p) удовлетворяла условиям пассивности;

4)Imzni(i'co) < 0 при любом со;

5)Imz22(ico) ^ 0 при любом со;

6)выполнялось условие вещественной части для матрицы z'(p):

—Im2ui(ico) Imz22f(ico)—{Re2i2i(ico)]2^ 0 .

Так как функция

—' Ziz(p) может иметь полюс при р —0, то,

будучи п.в.ф., она должна иметь в этом полюсе вещественный по­

ложительный вьгчет.

Однако специально выделять это требование

не нужно, так как значение этого полюса равно z^(0) поэтому, в силу п. 1 требований и того, что г^(р) есть п.в.ф., получаем, что всегда 222(C)) >Ю.

Требования п. 3 расшифровываются в данном случае следую­

щим образом:

являются п.в.ф.,

а)

функции zn(p) и z ^ p )

б)

должно выполняться

условие

вещественной части:

.■Rezu(ico) -Rez22'(ico)—[Rezi2(ico)]2^ 0 при любом со.

Список литературы

I. А й з е р м а н

М. А.,

Г а н т м а х е р

Ф. Р. Абсолютная устойчивость

регули­

3.

руемых систем. М., Изд-во АН СССР, 1963.

 

 

А н д р о и о в А. А.,

В и т т А. А.,

X а й к и н С. Э.

Теория колебаний. М.,

 

Физматгиз, 1959.

 

 

 

 

3.

Б а л а б а н я н

Н. Синтез электрических цепей. М.,

Госэнергоиздат,

1961.

4.Б е л л м а н Р . Введение в теорию матриц. М., «Наука», 1969.

5.Б е с с о н о в Л. А. Автоколебания в электрических цепях со сталью. М., Госэне.ргоиздат, 1958.

6.

Б л а к ь е р О . Анализ нелинейных систем. М., «Мир»,

1969.

 

 

 

7.

Б л и н о в И. Н.,

Г а с к а р о в Д . В.

М о з г а л е в е к и й А. В. Автоматиче­

 

ский контроль систем управления. М., «Энергия», 1968.

 

 

 

 

8.

Б о г о л ю б о в Н. Н., М и т р о п о л ь с к и й Ю. А. Асимптотические

методы

 

в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1963.

 

 

 

 

 

9.

В а в и л о в

А. А. Частотные методы расчета нелинейных

систем. М.,

«Энер­

 

гия», 1970.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

В а в и л о в

А. А.

Чувствительность

периодического

решения

гармонически

 

линеаризованного

уравнения нелинейной системы

к

высшим

гармоникам и

 

малым параметрам. — «Известия ЛЭТИ имени В. И. У л ь я н о в а (Ленина)»,

 

1967, вып. 65.

 

 

 

 

 

 

 

 

II. В о р о н о в

Р. А.,

З а ж и р к о В. Н.,

К а р п о в

Е. А.,

К о в а л е в

Ю. 3.

 

Методы расчета электрических вентильных цепей,

М.,

«Энергия», 1967.

12.

Г а й с е н ю к Б. С. Понижение порядка передаточной

функции

автоматичес­

 

ких систем. — «Известия вузов, «Электромеханика», 1969, № 11.

 

 

13.Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., Гостехиздат, 1953.

14.Г и л л е м и и Е. А. Синтез пассивных цепей. М., «Связь», 1970.

15.Г о л ь д е н б е р г Л . М. Теория и расчет импульсных устройств на полупро­ водниковых приборах. М., Связьиздат, 1969.

16. Д а н и л о в

Л. В. Нелинейные ‘конвергентные

электричеокие цепи. — «Теоре­

тическая электротехника», 1970, вып. 9.

 

17. Д а н и л о в

Л. В. Анализ цепей с вентилями. Сборник «Математическое мо­

делирование

и электрические цепи», вып. VI.

Киев, «Наукова думка», 1968.

18.Д а н и л о в Л. В. Приближенный анализ вынужденных режимов нелинейных систем. — «Известия ЛЭТИ», «Техническая физика», ч. I, 1967, вып. 66.

19.

Д а н и л о в

Л. В., Б а с а н С. Н. Эквивалентные

преобразования нелиней­

 

ных цепей. — «Известия вузов», «Энергетика», 1972, № 1.

20.

Д а н и л о в

Л. В. Исследование электрических схем с вентилем. — «Вопро­

 

сы радиоэлектроники», серия X, «Техника радиосвязи», 1964, вып. 7.

21.

Д а н и л о в

Л. В. К оценке точности нелинейных

систем математического

 

моделирования. — «Кибернетика», 1971, № 6.

 

133

22.Д е м и д о в и ч Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., «Наука», 1967.

23.

Д и т к и н

В. А.

Операционное исчисление. УМН, т. II, 1947, вып. 6 (22).

24.

Д и т к и н

В. А.,

П р у д н и к о в А. П. Интегральные преобразования и опе­

 

рационное исчисление (серия «Справочная математическая библиотека»), М.,

 

Физматгиз,

1961.

 

25.Е р у г и н Н. П. О периодических решениях дифференциальных уравнений. —

«Прикладная математика и механика», 1956, т. 20, № 1.

26.

Е р у г н.н Н. П. Приводимые системы. — «Труды

математического института

 

нм. В. А. Стеклова», 1946, т. 13.

 

27.

З а д е

Л..

Д е з о пер Ч. Теория линейных систем.

М., «Наука», 1970.

28.

З у б о в

В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. М., Суд-

 

промгиз, 1962.

 

29.

И ц х о к и

Я. С. Импульсные устройства. М., «Советское радио», 1959.

30.

К а г а н о в

В. И. Транзисторные радиопередатчики. М., «Энергия», 1970.

31.

К а л а х а н

Д. А. Современный синтез цепей. М.,

«Энергия», 1966.

32.К а л а х а н Д . А. Методы машинного расчета электронных схем. М., «Мир», 1970.

33.К а л я е в А. В. Расчет переходных процессов в линейных системах методом

 

понижения порядка дифференциального уравнения. — «Автоматика и телеме­

 

ханика»,

1959, т. XX, № 9.

 

 

 

i

 

 

 

 

 

34.

К а н и н г х е м

В. Введение в теорию

нелинейных систем. М., Госэнергоиздат,

 

1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35.

К а н т о р о в и ч

Л. В.,

А к и м о в

Г. П. Функциональный анализ

в нормиро­

 

ванных пространствах. М., Физматгиз, 1959.

 

 

 

 

 

 

36.

К а н т о р о в и ч

Л.

В.,

К р ы л о в

В. И.

Приближенные

методы высшего

 

анализа. М., Гостехиздат, 1952.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37.

К р а с о в с к и й

Н. И. Некоторые

задачи

теории

устойчивости

движения.

 

М., Физматгиз, 1959.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38.

К у р и л о в Е. Н.,

С и н и ц к и й

Л. А. Частотные зависимости выпрямитель­

 

ных схем. М., Изд-во АН УССР, 1963.

 

 

 

 

 

 

 

39.

Л а н н э

А. А. Оптимальный синтез

линейных

электрических

цепей. М.,

 

Связьиздат, 1969.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40.

Л и с и ц к а я И. Н.,

С и н и ц к и й Л. А.,

Ш у м к о в

Ю. М. Анализ элект­

 

рических

цепей

 

с

магнитными

и

полупроводниковыми

элементами. Киев,

 

«Наукова думка», 1969.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41. Л у р ь е

Б. Я. Нелинейная межкаскадная коррекция в

усилителе с обратной

 

связью. — «Электросвязь», 1971, № 4.

 

 

 

 

 

 

 

42.

Л ю с т е р н и к Л. А.,

С о б о л е в

В. И. Элементы

функционального анализа.

 

М., «Наука», 1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43. Н а у м о в Б. Н.,

Ц ы п к и н Я.

3.

Частотный критерий абсолютной устой­

 

чивости

процессов

в

нелинейных

системах

автоматического

управления. —

 

«Автоматика и телемеханика», 1964, т. 25, № 6.

 

 

 

 

 

44.

П л и с с

В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М., «Наука», 1964.

45.

П о н т р я г и н

Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Нау­

 

ка», 197Q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.

П о п о в

В. М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматичес­

 

кого регулирования. — «Автоматика

и телемеханика»,

1961, т. 22, №

8.

47.

П о п о в

Е. П.,

 

П а л ь т о в И. Л. Приближенные

методы

исследования

не­

 

линейных автоматических систем. М., Физматгиз, 1960.

 

 

 

 

48. П у х о в

Г. Е.

Методы

анализа

и синтеза

квазианалоговых электронных

це­

 

пей. Киев, «Наукова думка», 1967.

 

 

 

 

 

 

 

 

49.

Р о з е н в а с с е р

Е. Н.,

Ю с у п о в

Р. М. Чувствительность систем автома­

 

тического управления. М., «Энергия»,

1969.

 

 

 

 

 

 

134

Смотрите также файлы