Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
а 'нелинейная часть содержит нелинейный резистор с вольта/мперной характеристикой u= f\(i) и нелинейный конденсатор с вольткулоновой характеристикой u —<p(q), рис. 5.106. Если матрица г' удовлетворяет условиям пассивности, то преобразование цепи рис. 5.10а в цепь рис. 5.106 относится и пассивным Е-преобразо- ваниЯ'М.
.В заключение отметим, что все результаты данного подраздела практически без изменений переносятся на тот (случай, когда в- нелинейной части .содержатся нелинейные резистивные многополюоншои и нелинейные индуктивности, связанные взаимоиндукцией.
Цепи, содержащие одновременно нелинейные емкости и нелинейные индуктивности
Начнем, как обычно, с рассмотрения цепи, .содержащей одну нелинейную емкость и одну нелинейную индуктивность, рис. 5.11а.
Рис. 5.11. Исходная цепь (а), цепь, полученная с помощью пассивного ^-преобразования (б)
■Предполагая, что матрица а линейного четырехполюсника су
ществует, составим уравнения цепи |
|
|
2ц (р) h (t) + zM(р) h (t) + f (qj) = Ui it) |
1 |
(5 j gy |
221 {P) h {t) + 222 (p) h (t) + PY {(ъ)= и $) |
| |
|
Здесь f(q\) —вольткулон'овая характеристика нелинейной емкости;
q\(t)= — i\(t) ; |
p (i2) — вебер амперная |
характеристика нелинейной |
||
Р |
|
|
|
|
индуктивности. |
|
|
|
|
Перепишем ур-ния (5.18) следующим образом: |
||||
ргц(р) [ — h(t) |
+ 2i2 (р) iiif) + f — hit) |
= |
Ulil) |
|
L Р |
|
P |
|
(5.19) |
|
, |
1■Z22ip)h it) + ^ ih) |
|
|
2si ( р ) [ у - hit) |
— |
u2it). |
||
|
|
|
p |
|
Уравнения (5.19) |
можно трактовать |
как |
уравнения цепи, линей |
|
ная часть которой представляет .собой четырехполюсник с матри цей
> 2ц ip) |
212 ip)~ |
Z = |
— Z22 ip) |
221 ip) |
|
|
Р |
■124
a ihелшейная часть содержит ива нелинейных резистора с вольтамперными характеристиками u=f(i) и u — x¥(i), рис. 5.116. При
этом i ' ( t ) ~ — iv(t)—ток через левые клеммы четырехполюсника
в цепи рис. 5.116. Если матрица z' удовлетворяет условиям пассив ности, то описанное .преобразование является пассивным Е-преоб- разовамием.
Важной для .практики особенностью описанного преобразова ния является то, что если матрица 2 симметрична, то таковой же является и матрица z'. Поэтому, если цепь рис. 5.11а состояла лишь из элементов Л, L, С, М, то таковой же будет и цепь рис. 5.116.
Общий случай произвольного числа нелинейных индуктивно стей и емкостей рассматривается совершенно аналогично, поэтому приведем без доказательства общую теорему.
Теорема 5.9.
Пусть дана цепь, представляющая собой линейный 2я-полюс- ник, к первым т парам клемм которого .присоединены нелинейные емкости с .последовательно включенными независимыми источника ми напряжения, а к остальным п—т .парам клемм— нелинейныеиндуктивности с последовательно включенными независимыми ис точниками 'напряжения. Пусть матрица z линейного 2/г-полюсника существует и удовлетворяет следующим условиям:
а) требованиям пассивности;
б) матрица г', получающаяся из матрицы z умножением каж
дого элемента zifl,(p) |
(i, k=\, 2, |
..., |
т) |
на р и делением каждого |
|
элемента Zjq (/, q= m+\, т + 2, ..., |
п) |
на р, также |
удовлетворяет |
||
требованиям пассивноети. |
^-преобразование, |
переводящее |
|||
Тогда существует |
.пассивное |
||||
рассматриваемую цепь в другую, линейная часть которой пред ставляет 2я-,полюсник с матрицей сопротивлений z', а нелинейная часть содержит только нелинейные резисторы.
П Р И М Е Р 5.4 На рис. 5.12а изображена цепь, содержащая нелинейную емкость и нелиней
ную индуктивность.
Матрица г линейного четырехполюсника равна
L.1 1+P-I
Матрица г* равна
ГР + 1 |
1 |
1 |
Цепь, полученная на основе пассивного ^преобразования, изо бражена на рис. 5.126. ,Вольтамнерная характеристика левого ре зистора цепи рис. 5.126 совпадает с вольткулоновой характеристи ка
кой нелинейного конденсатора, а вольтамперная характеристика
правого резистора — с веберамперной характеристикой нелиней ной .HillДуКТИВНОСТИ.
До сих нор мы рассматривали вопросы, связанные е преобразо ванием уравнений цепей, независимо от начальных условий. Одна ко совпадение уравнений различных цепей еще не дает ответа на
.вопрос, как ,прн заданных начальных условиях для одной цепи
r ^ O l f -
и,р) 1
h ( t )
Рис. 5.12. Цепи, рассматриваемые .в примере 5.4
выбрать соответствующий ей режим работы другой цепи. Этот вопрос тем более важен, что в .цепях, полученных на основе Е-пре образования, некоторые физические величины, которые должны численно совпадать, могут иметь различную физическую природу (например, в одной цепи это — ток, а в другой — заряд). Кроме того, преобразуемые цепи .могут иметь различный порядок. Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим частный 'Случай цепей, изображенных на рис. 5.11, однако .приводимые рассуждения но сят общий характер и могут быть применены к цепям любого вида.
Итак, пусть для цепи, изображенной на ри!с. 5.11а, заданы на чальные условия при t= 0, а именно заряды на нелинейной и ли нейных емкостях и потокоецепление нелинейной и линейной индук тивностей. .Пусть f(q) и ф(4х) — вольткулоновая и ампервеберная характеристики нелинейной емкости и индуктивности соответст венно и <7о и Чхо—начальные значения заряда и потокосцвпления. Напряжение на нелинейной емкости представим в виде
“с (0 = f Ы + [f (<7о + Ц(0) —f Ы1 |
(5.20) |
где
<7(0 = J /i V)dt.
о
Обозначим
}{qo + q(t)) — f{q0) = fi{q{t)).
Тогда .равенство (5.20) можно интерпретировать как уравнение цепи, состоящей из последовательного соединения постоянного ис точника напряжения p(qo) и нелинейной емкости .с 'нулевыми на чальными условиями, имеющей вольтКулаковую характеристику
Ш
fi(q)- Аналогичным образом .nipедеташм ток через нелинейную ин дуктивность в виде
iL(0 = Ф W + [Ф (^0 + ^ (0) ~ Ф W L |
(5.21 > |
где
1
Ч; (t) = I" uL(t)dt.
о
Обозначим
ф (¥ 0 + ¥ (0 ) - ф ( ^ о ) = Ф1(1г(0)-
Тогда (равенство (5.21) .можно интерпретировать. как уравнениецепи, состоящей из параллельного соединения 'источника постоян ного тока ф(гРо) « нелинейной индуктивности с ампервеберной характер1иетик|ОЙ cpi(xF) и нулевыми! начальными условиями. Теперь,, на основе теоремы об эквивалентном генераторе, можно перейти к цепи, содержащей лишь два источника напряжения, рис. 5.13.
u(i)
Рис. 5.13. Цепь, содержащая нелинейные реактивные элемен ты с нулевыми начальными ус ловиями
Рис. 5.14. Цепь, рассматривае мая в примере 5.5
Б этой цепи, реактивные элементы линейной и нелинейной, частей ■имеют нулевые начальные условия, .а в-ольткулоновая и ампервеберная характеристики нелинейной емкости и индуктивности рав ны соответственно fi(q) и срДД').
Остается от цепи рис. 5.13 перейти к цепи рис. 5.115. Для это
го в последней цепи примем u\\(t) =и 12 ((); u'i(t) = j w2X (t)dt^
вольтам,парную характеристику левого нелинейного резистора чис ленно равной fi(i); ампервольтовую характеристику правого рези стора численно .равной фДа) и начальные условия всех реактив
ных элементов, полученных после реализации матрицы я', — нуле- t
вы'ми. Тогда ток г'(i) = \iy(t)dt .и ток h(t) равен тому же току в
о
цепи рис. 5.11а.
127
5.3.КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ПАССИВНЫХ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Цепи с нелинейными индуктивностями
Теорема 5.10
Пусть дана цепь с линейной частью, представляющей собой 2я-полюсник, матрица 2 которого существует и обладает следую щими свойствами:
а) элементы za(p):(i= 1, 2, . . я), матрицы «е имеют нулей при р = 0;
б) матрица z', получающаяся из матрицы г делением каждого элемента последней на р, удовлетворяет условиям пассивности.
Пусть, далее, к каждой ларе клемм многополюсника присоеди нены последовательно источник Т-периодического напряжения и нелинейная индуктивность с однозначной, строго возрастающей веберамперной характеристикой. Тогда рассматриваемая цепь имеет относительно токов через нелинейные индуктивности един ственный периодический режим с периодом Т, не зависящий от начальных условий.
Доказательство.
Для простоты рассмотрим цепь с двумя нелинейными .индук тивностями. Доказательство общего случая в существенных чер тах совершенно аналогично.
Так как линейная часть цепи представляет собой четырехпо люсник, то получим два следующих уравнения цепи:
Zu (р) к (0 + |
(р) к (0 + p 'T i (ii) = |
«1 (0 |
1 |
(5.22) |
|
z2i (р) h (0 + |
Z22 (р) к (0+ р То(к) = |
«2 (0 |
I' |
||
|
Как обычно, делим оба уравнения на р:
— zn (р) k{t) Ч-----z12(р) к {t) + |
ЧД(ix) = |
— Их (t) |
|
|
Р |
Р |
|
Р |
(5.23) |
|
|
|
|
|
— z2i (р) kif) Ч----- z22(р) к (к + |
ЧД (к) = |
— Мг (t) |
|
|
Р |
Р |
|
Р |
|
Так как |
символ — u.\.(t) обозначает |
\ u.\(t)dt с неопределенной |
||
|
Р |
|
J |
|
постоянной интегрирования, то установившееся решение ур-яий (5.23) не должно зависеть от постоянных слагаемых в .правых час тях (5.23), иначе требуемая единственность решения не будет иметь места. Но такая независимость действительно имеет .место. В самом деле, по условию теоремы 2ц (р) и 22Др) не имеют нулей
при р = 0. Поэтому — 2ц (р) и а22(р) имеют полюс три р = 0, а это
Р
означает, что при реализации линейного четырехполюсника м.ожно .последовательно с первой и второй парой клемм выделить ем-
L28
.кости. Тогда постоянные составляющие напряжений в 'Правых частях ур-ний (5.23) можно отнести к 'начальным условиям в ем костях. Но цепь^ описываемая ур-яиями (5.23) по условиям теоре мы, является конвергентной (см. теорему 2.6). Поэтому устано вившийся режим ,в ней не зависит от начальных условий.
Предположим теперь, что правые части (5.22) являются Г-пе- риодическями 'функциями без постоянных составляющих. Тогда правые части (5.23) также являются Т-периодическими функция ми и, в силу теоремы 2.9, ур-ния (5.23), а следовательно, и (5.22) имеют, и .притом единственное, периодическое решение. Это реше ние не зависит от начальных условий и его период равен Т.
Если правые части (5.22) имеют постоянные составляющие U0\ и U02 соответственно, то правые части (5.23) уже не будут перио дическими функциями и непосредственное применение теоремы 2.9 невозможно-. .В этом случае применим следующий прием. Обо значим в ур-ниях (5.22):
ii (t) = |
/01 -f- ij (t), |
|
h{t) = |
/ 02+ i2(t)- |
(5.24) |
Постоянные величины /0i и / Оо выбираются из условий выполнения равенств:
2ц (0) /01 + |
Zi2 (0) /0г = |
и л |
(5.25) |
|
2гх (0) /o l + |
z22 (0) / 02 = |
U 0 2 |
||
|
||||
Здесь ~I ii(0), Z\2 (0), |
22i (0) и 222(0) .понимаются не как операторы, |
|||
а как числа. Так как по условию теоремы 2И (0) фО и 22г(0) =й=0,
то решения ур-ний (5.25) |
существуют. |
|
||||
Подставляя (5.24) в |
(5.22), получим |
|
||||
zii (р) i[ (0 + |
zia(р) i'2(0 + |
Р |
(/ох + |
— ui (0 Uol |
(5.26) |
|
г» (р) i[(0 + |
z22 (р) i'2 {t) + |
Р |
(102+ |
i2) = (0 — U0i |
||
|
||||||
В этих уравнениях правые части уже не содержат постоянных составляющих. Переходя от (5.26) к уравнениям, подобным (5.23), толькосо сдвинутыми на /ш и Iог вольтамперными характеристи ками, придем на основе теоремы 2.9 к -выводу о существовании, единственности и независимости от начальных условий Г-лериоди-
ческих решений i'\(t) и i'2 {t), и следовательно, |
и решений i(t) |
и |
£2(Т). Теорема полностью доказана. |
|
|
Следствие. |
5.2 и матрица |
z |
Если цепь удовлетворяет условиям теоремы |
ее линейной части удовлетворяет условию а теоремы 5.10, то при- Г-периодических источниках напряжения в цепи существует, и при том единственный, Г-периодический режим, не зависящий от на^ чальных условий.
П Р И М Е Р 5.5.
На рис. 5.14 изображена цепь с одним нелинейным элементом. Сопротивле ние линейной части цепи
R
г (р) = pL +
1 + R C p ’
129