Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Аналогично, если N(p) — дробно-рациональная функция от р,

•означает, что имеет место'следующее дифференциальное уравнение

современной литературе по автоматическому регулированию (см. ]1,47]). В то же время-специалисты в области теории цепей, теоре­ тической радиотехники и электросвязи используют такую форму за­ писи сравнительно редко, особенно применительно к нелинейным цепям. В данной книге используется почти исключительно указан­ ная форма записи, причем можно утверждать, что это обстоятельст­ во оказалось решающим при получении многих основных результа­ тов книги.

Пусть электрическая цепь состоит из последовательно соединен­ ных линейного двухполюсника и источника напряжения u(t). Для ■составления уравнения относительно тока i(t) в цепи найдем со­

Решение i(t) этого уравнения, конечно, отличается от оригинала то­

где 1(р) и U(p) ■— изображения по Лапласу функций i(t) и u(t) со­ ответственно. Различие состоит в том, что ур-ние (1.6) соответст­ вует дифференциальному уравнению для i(t) при любых начальных условиях, а ур-ние (1.7) — при нулевых начальных условиях в цепи.

Пусть теперь последовательно с линейным двухполюсником включен нелинейный резистор с вольтамперной характеристикой Ы= Ф(О- Тогда вместо (1.6) приходим к уравнению

9

помощью (1.1) и (1.3), то (1.8) означает дифференциальное урав­ нение, которое по аналогии с (1.5) можно записать

Переходя к общему случаю, положим, что исследуемая цепь представлена в виде, показанном на рис. 1.2. Будем считать, что матрица z(p) — (zu,(p)) (7, /е = 1, 2,..., п) линейного многополюсника существует и что соотношение между токами ii(t), in(t) и напряжениями u„i(t)', ull2(t),..., uan(t) на клеммах нелинейного многополюсника задано с помощью следующей нелинейной векторфункции:

вид, подобный ур-нию (1.9).

Иногда мы будем считать, что параметры нелинейной подсхемы на рис. 1.2 зависят в явном виде еще и от времени. Тогда каждая

записи уравнений цепи и будем применять эту форму на протяже­ нии всей книги.

Таким образом, процесс составления уравнений в основной матричной форме сводится к определению элементов матрицы ли­ нейного многополюсника и заданию зависимостей между напряже­ ниями и токами нелинейной части цепи. Процедура составления, уравнений для транзисторной цепи иллюстрируется примером 3.2.

Для некоторых цепей может оказаться, что матрица сопротивглений z(p) не существует. Однако и в этом случае запись уравне-

10

ний в форме (1.11) и (1.13) будет возможной, если существует матрица проводимостей у(р) линейного многополюсника. Тогда уравнения вида (1.11) и (1.13) составляются на дуальной основе — вместо z(p) подставляется у(р), вместо i(t) — вектор-функция не­ известных напряжений на клеммах линейного многополюсника; вольтамперные характеристики заменяются ампервольтовыми, а не­ зависимые источники напряжения преобразуются в источники тока. Если же матрица у(р) не существует, то может существовать матрица, при которой часть неизвестных являются токами, а часть — напряжениями, и уравнения составляются относительно этих неизвестных.

Формальные свойства уравнений, записанных в основной матричной форме

'Связь между ур-ниями (1.8) и (1.9) позволяет легко обосновать ряд полезных свойств ур-ния (1.8) (а вместе с ним и матричных ур-ний (1.11) и (1.13)), которыми мы будем широко пользоваться.

1) Если fe и fe — константы, то

2 (р) [fefri (f) -f- feia (/)] = fez (p) ii (/) -j- fez [p) i-2 (/).

■2) [zi (p) + z3 (/?)] i (0 = zi (p) i (t) + zo (p) i (t).

3) Если

s(p) = zx (p)z2(p),

то

з (р) i(t) = Ziip) [z* (p) i (/)] = z* (p) [zi (p) i (/)].

4) Обе части ур-ния (1.8) можно формально умножить на про­ извольную дробно-рациональную функцию от р. ,

5) Значительная часть книги посвящена исследованию перио­ дических режимов. Поэтому существенный интерес представляют свойства ур-ний (1.8), (1.11) и (1.13) в том случае, когда правые

нейный, а ср(1, t) как нелинейный операторы, переводящие векторфункции из пространства периодических вектор-функций в векторфункции того же пространства. Для обозначения указанного линей­ ного оператора естественно применять запись з (ico).

Пусть Zife(io)) — элемент матрицы z(im) и пусть f(t) — произ* вольная Г-периодическая функция, разложение которой в ряд Фурье имеет вид

00

Тогда, на основе метода комплексных амплитуд, Г-периодическую

11

функцию = Z i ft(ico)/0O можно найти по следующему правилу:

(1.14)

Конечно, вид функции zih(p) должен быть таким, чтобы обеспечить сходимость суммы в ,(1.14) и необращение в бесконечность слагае­ мых этой суммы. Для этого достаточно, например, чтобы полюса Zih(p) лежали в левой полуплоскости и степень числителя не пре­ вышала степени знаменателя.

Таким образом, если имеется матричное уравнение

сматривать, как операторное уравнение в пространстве Г-периоди- ческих функций. При этом нелинейный оператор ср(i, t) определяет­

дробно-рациональными. Это соответствует описанию цепей с сосре­ доточенными параметрами. Хотя в книге изучаются только такие цепи, однако при изложении методов расчета периодических режи­ мов в гл. 3 вводятся экспоненциальные функции от р, т. е. функции

вида е“р и их дробно-линейные комбинации. Если смысл дробно­

—— определяется следующим образом.. Пусть f(t) — произволь- dt

ная функция. Тогда [42]

12