Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть ранг матрицы ||а^|| равен r \ r < m v г < р у Тогда условия разрешимости системы (V.61) и, следовательно, уравнения (V.51>

имеют

вид

 

 

 

Я р* (I -о)f t ,

ri)dldyi = 0, у = 1 , 2,..., r„ r t < p — г,

(V.62)

D

 

 

 

 

где pj — вполне определенные функции,

не зависящие от

функ­

ции /,

выражения

которых легко можно

выписать. При выполне­

нии условий (V.62) система (V.61) разрешима относительна

постоянных C

j сг . Учитывая

это

обстоятельство,

функцию'

p(s0) можем представить в

виде

 

 

 

 

 

 

 

v+p

 

Р ( s0) =

( s0) + ^

V 0

К ) +

2

(v -63>

 

j = r +1

 

i=v+l

 

где

 

 

 

 

 

 

 

F6 (s0) =

Я

Л^5 (s0, c,

-/})/(£,

v) dld-q,

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

Ns ( s0, I, Vj) — вполне определенная

функция, ^

( s0) =

f V * ( s0),

^ ( s0) (у =

г +

1,...,

—некоторые линейные комбинации функ­

ций ^

(s 0)

=

1,...,

/rtj); функции тj { s 0) (у = г +

1,..., /»j),

рг ( s0)

(г = v + 1

v + р ) ,

как

нетрудно

проверить,

линейно

неза­

висимы.

 

 

(V.63)

окончательное

выражение

функции

На

основании

Р * ( х ,

у) имеет вид

 

 

 

p+m.-r

 

 

 

 

 

 

р* (х, у) =

 

 

 

 

 

 

 

 

F* (JC, у) +

 

2

**Г (■*• У);

 

 

здесь

 

 

 

 

 

 

 

i—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F * (*,

у) = J ЛГ* (л, у,

s0) f * F 6(s0) ds0;

 

 

через

с\,

ср+т _ Г

обозначены постоянные а*+1,...,а*+ри сг+1,...

..., с

. В силу

(V.59)

функция т* (jc, у) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

__

m-~-q—z

 

 

 

 

 

 

т* (JC, y ) = F ( x , У) +

2

С1 ТГ (•*• У).

 

 

где

 

 

 

 

 

^

i= l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? (л ',у ) ^ j Г (л-, у, ^ F ^ d t ,

-1

■ *Г (^ ^ )= 5 Т(Х’ у’

149'

Далее, имеем

 

 

 

 

 

!А* (-к, У) +

** (•*, у) =

F *

(л*, у) + F (х, у) +

 

p + m t — г

 

m-\-q—G

 

+ 2

c* ^ ( - * » y ) + 2

с1х7 ( х ’ У)-

(v -64)

г= 1

 

 

г= 1

 

 

■Среди функций ^ , •••, V-p+mi-r > Ti

 

могут оказаться ли­

нейно зависимые между собой.

Пусть р х из этих функций,

кото­

рые мы обозначим

через 8Х(х,

у

)

°Pt(x, у), линейно незави­

симые, а остальные линейно зависят через них. (Если все функ­ ции р.. , т. линейно независимы, то, очевидно, некоторые из них

в формуле (V.64) могут иметь одинаковые коэффициенты. Сгруп­ пировав все такие слагаемые, получим сумму функций с разными

коэффициентами, которые и обозначим

через 8t ,..., 8

если

же

таких слагаемых не будет, то для

единообразия функции

р.*

я т.*можем обозначать

через 315...,

3 ,

р х = р + тх—r-\-m+q—а).

Тогда формула (V.64)

будет иметь вид

 

 

 

 

Р* (х, у) + т* (х, у) = F * (х, у) + F ( x , у) + 2 d i 3i {х, у ),

где

постоянные d l ,...,d pi выражаются

/ _1 .

(V.65)

через с *,...,с *+(П

, cv ...

■■■ ’

^ m + q —о"

подставляя в условия (V.49) вместо функции jj.* ( х ,

 

 

Теперь,

у )-| -

+ х * (х, у)

ее выражение из (V.65),

как и выше, приходим к сис­

теме алгебраических уравнений относительно d x , ... ,d . Предпо­ ложив ранг матрицы, составленной из коэффициентов этой систе­

мы, равным р (р < р х,

р < /г), для разрешимости

системы

полу­

чим условия

 

 

 

 

Л М ^ >

v)d^df] = 0, j =

1,....,n v nl < n — p,

(V.66)

D

 

 

 

 

 

*

*

 

 

не зависящие от

тде Uj ,...,

i|> — вполне определенные функции,

■функции /.

 

 

 

 

При выполнении условий (V.66)

полученная

нами алгебраи­

ческая система уравнений будет разрешима относительно dv ...,dp . Внеся в (V.65) найденные значения этих постоянных, получим

Р* (х, У) + х* {х, у) = F * (х, у) + У d t Ь* (х, у);

г=Р+1

здесь

(х, у) = j j N a (х, у; Е, т]) /(6, 1}) d.%dij,

150

N0 (х, у; £, 7j) — определенная

функция,

°г'(г =

р + 1,..., pt) — не­

которые линейные комбинации функций 8г U =

1

р 1 );

функ-

ции о. , очевидно, линейно независимы.

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, общее решение уравнения (V.47)

имеет

вид

и (х, у) = R * * f +

2

d iw i (*. У) + 2 a ilh (*, У),

(V.67)

г==Р+1

 

 

 

г=1

 

 

 

 

 

где через 7?** обозначен вполне

определенный

оператор;

так—

какие-либо частные решения уравнения

 

 

 

 

 

 

К*и = 8* (х, у), 1 = Р + 1,..., p v

 

 

 

 

 

Все функции wt (x, у) (i =

р +

1,...,

и и.(х, у)

(i =

1,

2 ,..., га),

как легко видеть, линейно независимы.

 

 

 

 

 

 

Выше нами были введены га +

/? +

/га

произвольные

постоян­

ные: a t ( i = 1, 2,..., /г), а* (г =

v +

1 , . . . ,

v +

р), с. (г = 1 , . . . , /га); дру­

гие постоянные, входящие в предыдущие формулы, выражаются

через них. В силу условий (V.58), (V.62)

и

(V.66)

из

этих

п + /? + т постоянных совершенно

произвольными остались

п-\- р -\- т — р — г — <j = k.

 

 

 

 

Обозначим их через

C v . . . , Сп+р+т

г_з. Тогда

общее

решение

уравнения (V.49) примет вид

 

 

 

 

 

га (*,

у) = /?**/+ 2

Сг“ог (*. У).

 

 

(V.68)

 

2=1

 

 

 

 

 

где ищ— некоторые

линейные комбинации

функций

w t

и и.;

функции га0., очевидно, линейно независимы. Из формулы (V.68)

в силу эквивалентности задачи Л* и уравнения (V.47) заключа­

ем, что однородная (/ = 0 ) задачи Л* имеет конечное число k

линейно независимых решений. Если теперь обозначим число условий (V.58), (V.62) и (V.66) вместо взятых через d , то, рас­ суждая так же, как и в случае задачи Л0, приходим к равенству

k' = d — k.

Этим и завершается доказательство нашей теоремы.

Теорема, аналогичная теореме 2, справедлива и в случае за­ дачи Л* [15].

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и, кро­ ме того,

b (—1, 0) = b (1, 0) = 0 и Ь1 — Ьх — су < 0 при у = 0.

Тогда решение задачи Л^ единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Б а б е н к о

К. И. К

теории уравнений

смешанного

типа, Докт. днсс.,

М.,

 

1952.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Б ж и х а т л о в X.

Г.,

Н а х у ш е в

А. М. Об одной краевой

задаче

для

 

уравнения смешанного

параболо-гиперболического

типа,

 

ДАН

СССР,

 

т. 183, 1968, № 2.

 

 

смешанного

типа,

М.,

Изд-во

АН

СССР,

3. Б и ц а д з е

А. В.

Уравнения

 

1959.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Б и ц а д з е

А. В. Об уравнениях смешанно-составного типа, В сб. «Неко­

 

торые

проблемы

математики

и

механики

(к шестидесятилетию

акад.

 

М. А. Лаврентьева)», Новосибирск, Изд-во СО АН СССР, 1961.

 

 

 

5. Б и ц а д з е

А. В.,

С а л а х и т д и н о в М. С. К теории уравнений смешанно­

 

составного типа «Сиб. мат. ж.», т. II, 1961, № 1.

 

 

 

типа,

«Диф­

6. В р а г о в

В. Н.

Об одном уравнении смешанно-составного

 

7.

ференциальные уравнения», т. IX, 1973, № 1.

физико-математической

лите­

Г а х о в

Ф. Д. Краевые

задачи,

 

М., Изд-во

 

ратуры, 1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Г а х о в

Ф. Д., Ч и б р и к о в а Л. И. О некоторых типах сингулярных

инте­

 

гральных

уравнений, разрешаемых

в замкнутой

форме,

«Матем. сб.»,

 

т. 35 (77), 1954, № 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Д ж у р а е в

А. Системы уравнений составного типа, М., «Наука», 1972.

 

10.

Д ж у р а ев Т. Д. Об одной краевой

задаче

для

уравнения

составного

 

типа, ДАН УзССР,

1962, № 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Д ж у р а е в

Т. Д.

Об одной краевой

задаче

для

уравнения

—— Дц=0,

 

В сб.

«Исследование

по дифференциальным

уравнениям»,

ох

 

 

 

Ташкент,

 

Изд-во АН УзССР, 1963.

 

смешанно-составного

типа,

 

«Изв. АН

12. Д ж у р а е в

Т. Д. Об уравнениях

 

 

УзССР»,

сер. физ.-мат. наук, 1961, № 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Д ж у р а е в

Т. Д. О некоторых краевых задачах для уравнения смешанно­

 

составного типа, «Сиб. мат. ж.», т. IV, 1963, № 4.

 

 

 

 

 

 

 

14. Д ж у р а е в

Т. Д. Об единственности и существовании решений некоторых

 

краевых задач для уравнений составного типа, «Изв. АН УзССР», сер.

 

физ.-мат. наук, 1967, № 3.

 

 

 

 

некоторых

краевых

задач

15. Д ж у р а е в

Т. Д. Об единственности решения

 

для одного класса уравнений составного типа, «Изв. АН УзССР», сер.

 

физ.-мат. наук, 1967, № 4.

У. Об одной

краевой

задаче

для уравне­

16. Д ж у р а е в

Т. Д.,

Р а х м а н о в

 

ния эллиптико-параболического типа, «Изв.

АН

УзССР»,

сер.

физ.-мат.

 

наук,

1972, № 4.

Р а х м а н о в

У. О

корректных

краевых

задачах

 

для

17. Д ж у р а е в

Т. Д.,

 

 

уравнений смешанно-составного типа,

«Дифференциальные

уравнения»,

 

т. IX,

1973, № 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

152

Смотрите также файлы