Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf

ничейную отрезком А (— 1,0) 5(1,0) оси х-ов и гладкой кривой о. лежащей в полуплоскости у > 0 и опирающейся на ось х-ов в точ­ ках А и В. Предположим, что каждая прямая у —с, O^cC/z, пересе­ кается с кривой а в других точках, а прямая y = h имеет единствен­ ную общую точку N (точку касания) с а.

Пусть D2 обозначает область, ограниченную отрезком АВ оси х-ов и двумя характеристиками АС и ВС уравнения (6), выходящи-

'т + 2 |2,Л1+Г

ми из точки С 0, - ( ^ )

Через D будем обозначать совокупность областей D i и D2 вмес­ те с открытым отрезком АВ. Под ОСi и ОС2 будем понимать харак­ теристики уравнения (6), исходящие из точки О и пересекающиеся

сВС, АС в точках С] и С2 соответственно.

За д а ч а С. Требуется определить в области D регулярное ре­ шение уравнения (6), удовлетворяющее краевым условиям

И|а+ЛС ~ />

ди

дп NAC ?•

I— ,1 —

и\ос, ~ Фр и\ос, — V2« дп

ОС,

Кроме этих смешанных задач, в каждой из областей D, н D2 по­ ставлено и изучено по две граничные задачи. Решения задач, рас­ смотренных в области найдены в явном виде.

Единственность решения задач С, С* и поставленных в области D\ задач доказывается с помощью известных принципов экстрему­ ма Заремба — Жиро и задачи Трикоми. Доказательство существо­ вания решения этих задач проводится методом сингулярных инте­ гральных уравнений. При этом используются с некоторыми допол­ нениями и обобщениями результаты теорем существования реше­ ний как самой задачи Трикоми, так и ее обобщения в постановке Геллерстедта. Следует заметить, что характеристические части по­ лученных сингулярных (эквивалентных рассматриваемым задачам) интегральных уравнений отличаются от характеристической части обычных сингулярных уравнений. Это обстоятельство вызвано на­ личием неподвижной особенности первого порядка в точке А. По­ этому из-за сложности ядер этих уравнений значительные затруд­ нения возникают при выделении именно такой особенности. После того как уже выделена эта особенность, для регуляризации полу­ ченных сингулярных интегральных уравнений применяется метод

8

Карлемана — Векуа (указывается также, что можно воспользовать­ ся методом, основанным на теории автоморфных функций) с не­

большим видоизменением.

В конце гл. III указывается на возможность исследования изу­ ченных выше задач в различных обобщенных постановках и иссле­ дуется одна смешанная задача для уравнения (6) в случае беско­

нечной области.

В четвертой главе рассматривается краевая задача для уравне­ ния смешанно-составного типа с двумя линиями вырождения

Пусть Q — область плоскости переменных х, у, ограниченная глад­ кой кривой а с концами в точках А (1,0) и .6 (0,1), которая располо­ жена в области х > 0, у > 0, и характеристиками ВС:х—у = — 1,

CD:x + y = 0, AD:x—у = 1 уравнения (7); СО — отрезок----- ^

характеристики CD.

Краевая задача дС, изученная в этой главе, заключается в на­ хождении регулярного решения уравнения (7) в области Q (при хф О , у =j=0), удовлетворяющего условиям

В этой же главе исследована краевая задача, аналогичная задаче V для уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа,.

В гл. V рассматриваются в области Di главным образом две краевые задачи Л0 и Л* для общего уравнения третьего порядка

составного типа, вырождающегося на части границы области,

где коэффициенты а, Ь, с, а и Ь\ и С] — заданные функции,зависящие от переменных х и у. Задача Ло состоит в следующем: требуется

9-

Г л а в а I

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

СЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

§1. Канонические виды уравнений третьего порядка с двумя

независимыми переменными

Рассмотрим в области G плоскости переменных х, у уравнение третьего порядка с двумя независимыми переменными, линейное относительно производных третьего порядка:

решение и два комплексных, то (1.1) называется уравнением сос­ тавного типа.

Пусть в области G коэффициенты А, В, С и D уравнения (1.1) непрерывны вместе со своими производными первого порядка. Тог­ да, как уже было сказано во введении, с помощью неособого дейст­ вительного преобразования независимых переменных £= £(лг, у), t]= ti(x, у) главную дифференциальную часть уравнения (1.1) мож­ но привести « каноническому виду

Если в рассматриваемой области уравнение (1.1) всюду гипербо­ лического или параболического типа, то и в этих случаях существу­ ют неособые преобразования независимых переменных, приводящих главную часть уравнения (1.1) к простым видам [52], [55]. Напри­ мер,

“ ее, + Р (& . иьт- % , •

Пусть теперь коэффициенты А, В, С и D являются действительны­ ми аналитическими функциями переменных х, у в области G и урав-

11

иение (1.1) принадлежит смешанно-составному типу, т. е. в одной части области G оно составного, а в другой гиперболического типа с параболическим вырождением на общей границе этих двух частей-

Уравнение (1.1) перепишем в виде

где функции а, Ь, с, А\ и В\ определяются из системы уравнений

А\а=А, 2/1 \Ь-(-В\а = В, A\C-j-2B\b~C, B\C— D,

причем за А\ (или В\) можно выбрать произвольную, отличную от нуля аналитическую функцию в области G. Точки параболичиоств уравнения (1.3) характеризуются равенством

Предположим, что множество точек области G, которое описывает­ ся уравнением (1.4), является простой (аналитической) кривой о.

Пусть все частные производные функции А(х, у) до (п— 1)-го порядка (включительно) равны нулю вдоль дуги а, а из производ­ ных п-го порядка хотя бы одна отлична от нуля. В этом случае, как известно [3], [58], всегда можно найти неособое действительное пре­ образование независимых переменных

в окрестности выбранной точки линии вырождения к одному из сле­ дующих видов:

12