Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
n + p - r - [. |
С А ( Х , У). |
|
И (А ',У )= ^ |
(V .41) |
Таким образом, в силу линейной независимости функций и\ (х, \>)
согласно формуле (V.41) заключаем, что однородная задача Аа имеет конечное число k = п-\-р — г — р линейно независимых решений. Если теперь обозначим число условий (V.25) и (V.34) вместо взятых через d, то согласно предыдущим рассуждениям придем к неравенству
k! < d < k. |
(V.42) |
Обратившись теперь к сопряженной задаче А0, получим |
совер |
шенно аналогичный результат |
|
k < d' < k ’, |
(V.43) |
где через d' обозначено число условий типа (V.25) и (V.34) для сопряженной задачи А0.
Сравнивая неравенства (V.42) и (V.43), получаем
k = d = d.' = k'.
Это равенство и доказывает нашу теорему.
3. Единственность решения задачи А0. При некоторых огр ничениях на коэффициенты уравнения (V-1) справедлива теорема единственности [15].
|
Теорема 2. |
Если коэффициенты уравнения (V-1) в области D |
||
удовлетворяют |
следующим условиям: 1) квадратичная форма |
|||
аа? + Ья$ + с?2 |
положительно определена; 2) яХ1.-г £,..у -Ь су}, — |
|||
~ |
а \х ~ Ь\у + 2^1 < 0, то |
решение задачи А0 единственно. |
|
|
. . |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим однородную (/ = 0 ) |
зада |
|
чу Аь. Воспользуемся тождеством
где
. I
^ y ,nb +
140
Интегрируя это тождество |
по области D и предполагая, |
что |
||
к полученным интегралам можно применять |
формулу Грина, |
на |
||
основании условий |
(V.2) имеем |
|
|
|
J |их L udxdy + J J |
Гаи х2 + Ьих и + |
сi f -f |
|
|
D |
D |
'■ |
|
|
+ { ^ x + ~ T b y ) U U x + ( " F b x + S ) U U y +
+ [a u + biy — c1)ti2 + [axu,x + b,uy) гг] dxdy = 0.
Теперь преобразуем первое слагаемое предыдущего равенства, которое обозначим через /:
7“ | j Ludxd'l“ , = -1-j j J A
|
+ у ( * й " у ) } ^ |
= т |
j |
( Ут1ш |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а-| -А 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
_ да |
ди |
, |
|
|
|
|
|
|
|
- Ш |
1 d y ~ 2 W d f d x - |
|
|
|
|||||||
Интегралы |
по ot и АВ в силу |
условий |
(V.2) исчезают. Далее, |
|||||||||||
так как |
гг |
п |
|
да |
= |
0, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
° ’ Т 01 Г |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
да |
_да |
dx |
’ |
да |
__ да |
dy |
На °2' |
|
|
|||
|
|
дх |
|
дп |
dn |
ду |
|
ду |
dn |
|
|
|||
На основании этих |
соотношений, используя известные |
равенства |
||||||||||||
|
|
|
|
dx |
dy |
d x |
|
dy |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ds |
dn |
’ |
dn |
|
|
ds |
’ |
|
|
|
получаем |
|
|
|
du'2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
* ■ (£ ) |
+ (Sr) |
dy > |
0. |
(V.44) |
|||||
|
|
|
|
|
dn |
|
||||||||
Учитывая тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a x~\- |
T |
y ) tLUx |
+ |
[ i |
r b x + |
c > |
r |
гггг., = |
2 |
|
|
+ |
||
~ |
y - |
(a x + |
- T b y ) u* JA* |
|||||||||||
~o~b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ T |
— b x + S 1 ^ |
|
— ~ 2 [ a x x + b x y + c y y ) “ 2> |
||||||||||
a i t l l l x |
“b b \U U y |
~ |
~2~ { а \и 2 ) х |
“ |
(^1 “2)y |
2~ |
|
*ly) U > |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
141 |
*11
окончательно |
имеем |
|
|
/ + |j {аи\ + |
bux иу + cuzy ^ d x d y — |
- 4 " J J |
К - + Ь * у + |
с уу ~ a u - “ Ь ' у + 2 c i ) а Ч х Л У = ° - |
D
Отсюда на основании (V.44) и в силу условий теоремы заклю чаем, что и = 0 в области D.
§ 3. Задача Л *
Метод исследования задачи А^ аналогичен методу исследова
ния задачи А0, но задача А* сводится не к уравнению типа
(V.13), а к нагруженному интегро-дифференциальному уравне нию. Поэтому, не вдаваясь в подробности, остановимся на до полнительных моментах, возникающих при рассмотрении урав
нения, эквивалентного задаче А0 . Рассмотрим сначала, как и в.
предыдущем случае, задачу А* для уравнения (V.4).
Функция
Д*
£о (Е, 45 х , у ) = — j y (Е, '/); t, у) dt, - 1
очевидно, удовлетворяет уравнению (V.7), где g* (5, % t, у) — фундаментальное решение уравнения (III.11), приведенного в § 3 гл. III. На основании этого легко заключаем [62], что функция
«о (■*. У) = |
JJffo |
(*• |
Ч х ’ У)/(Е. v)dtdri |
|
|
D |
|
|
|
является решением уравнения (V.4). |
|
|||
Решение задачи (V.4), (V.3) |
ищем в виде |
|
||
И («К, у) = W (х, у) + и0 (х, у). |
|
|||
Тогда функция w (х, у) |
удовлетворяет уравнению (V.7) и |
крае |
||
вым условиям |
|
|
|
|
w\ = — и, |
dw |
= |
0, dw |
(V.45) |
Ос' |
ду АВ |
|
дп |
|
На основании результатов § 3 гл. III убеждаемся, что существу ет единственное решение задачи (V.7), (V.45), которое пред ставимо в виде
«»(■*, У ) = Я М ( * . У; Е, Ч)/(Е, ч) 4 Ы у1,
D
где JN (х, |
у; |
Е, у) — вполне |
определенная |
функция, |
выражение |
||||||
которой |
можно |
выписать. |
Следовательно, |
решение |
задачи |
||||||
А*0 для уравнения |
(V.4) запишется так: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
и (х, у) = J J |
Nt (х, у; |
Е, ч)/(Е, |
т,)Л d % |
|
(V.46) |
||||
здесь |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ni (X, у; |
Е, 7]) = |
N (х, у; |
Е, tj) +g*0 (Е, |
■>?; х, у). |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
Перейдем |
к рассмотрению задачи А*0 для уравнения |
(V.1). |
В |
||||||||
силу (V.46) |
и (V.3) задача |
Лд для уравнения |
(V.1) |
сводится |
к |
||||||
следующему нагруженному интегро-дифференциальному урав нению:
К *и = и (х, у) — |
|
(х, у; Е, г,) и (Е, т?) d; dy = |
|
|
||||||||||
= |Л/*(х, у; |
s) у (s)ds + |
|
у; Е)т(Е)йЕ + ^ ( * , |
у), |
(V.47) |
|||||||||
Со |
|
|
|
|
—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А * |
{х, |
у; |
Е, у}) |
— (a i^ i)e+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N* (x, |
y; |
s) = |
N t (x, у; E(s), |
r, (5)) [flwj/2(s) |
- |
|
|
|||||||
|
|
|
~b\'{s)-n' (s) + |
cE'2(s)], |
|
|
|
|
||||||
T { x t у; |
E) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/ \ |
|
du |
> T (E) — м (E, 0), |
|
|
|
|
||||
|
|
^ s) = |
^ r |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F ( x , |
y) = j J |
N±(x, у; |
E, |
ri) jf(E, yf) dE flfy. |
|
|
|
|||||||
Отметим полную эквивалентность |
задачи Лд и уравнения (V.47). |
|||||||||||||
З а д а ч а Лд. Требуется определить |
|
регулярное в области D |
||||||||||||
решение v ( x , y ) уравнения |
(V.14), |
удовлетворяющее |
краевым |
|||||||||||
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
= 0 |
* L |
= 0, |
|
= 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
и’ |
ду |
АВ |
|
дп |
|
|
|
|
|
||
Задачу Л0 будем |
называть сопряженной задачей к |
задаче |
Л0 |
|||||||||||
Для задачи Лд справедлива следующая теорема, |
аналогичная |
|||||||||||||
доказанной в предыдущем параграфе. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема 3. Задача Л* |
для уравнения (V.1) |
является |
задачей |
|||||||||||
фредгольмового |
типа, т. |
|
е- |
однородная (/ = 0 ) |
задача Л* |
имеет |
||||||||
143,