Файл: Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов.pdf

Скачать файл (4,75Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

x -j- (a — 1) Zj

+ a -

Сравнение оценок Т*ь и Т*а показывает, что всегда соблюдается

неравенство	ТЛтнь <	Т*ь,

т. е. оценка	Т*отяЪ оказывается более осторожной.
Пример	32. В условиях примера 28 найдем оценки для пара
метра X. Итак,
	f a p ( X ) = f “^ y ^-а ' е
	Р(пг \|Х) =	-X,
		от! е •

Требуется найти fps(X), Х*ь, Х*0ТиЬ.

1. В соответствии с определением имеем:

^a-i e- rpl ^те-

Us W :

^m + a—I ^—(Р+ т) X

Т Л“- ‘ е~& Х™е~и dX J Хт+а- 1							х dX
о			о
;я замену переменных в интеграле
	ОО
/ =	J Хт +“- 1<?-<Р+ ")Х		вида х =		(Р +		х) X,
получаем:
	Г	,		Г	( о т	+	а)
(Р + *У		х	e~x d x - T		T	^	~ '
откуда окончательно имеем:
г ,+к- , (?- ( ^ ( р + т)т + я				( р Т ^ , _					Р'*
/р» W —					—>»' - 1			6	Р'*
/р» W —	Г ( о т +	а )		Г (а'Р				6
т. е. гамма-распределение есть сопряженное распределение									по отно
шению к закону Пуассону.

2.Оценка К*охнЬ определяется соотношением

оооо

j x f p,(X)dX

§Xa' - 2 e - ? ' x dX

Г ( а ' —	1 ) ( Р ' ) Я ' ~ 2	a ' —	2	a +	о т — 2 1
(Р')"' ~	1 Г (а' — 2)	Р'	~	*	+ Р

162

Вводя оценку zx =		т/х,	получаем:
			2
— + z\ — —				о— 2	, х
х	'	*	т	о— 2	, х	=	Х° + X‘zi.
Х*отнЬ —	^	- Г		т+ р	х+р	=	Х° + X‘zi.
	^	- Г
де			а — 2.	,	х
			а — 2.	,	х
		Х„ = :	_ I о- 1 X,		Х+ Г
			х + Г	Л*"	Х+ Г
3. Оценка Х*ь определяется соотношением
	ОО			, 00
Х *ь =	j U p . (X) Л =			J	Х“ '	Л	=
	о			о

	(Р')“'	г (а' + 1)	а '	а +	т
	Г(а')	(p/)«' +l	(П	х +	р
или
Х *„	х'+У "*■х + р 2> =Хо6) + х16) zx •

Сравнение Х*отнЬ и Х*ь показывает, что они отличаются только

постоянными Х0 и МЬ ) . а именно:

х» =	^ = Т ^ р т. е. Х<» > Х 0.

Значит, и в данном случае оценка Х*01нЬ более осторожная. Полу ченные результаты сведены в табл. 7.

						Т а б л и ц а 7
1	Г*	ь	I	X*	1	ОТВЬ	I
Аь	1	ь	Т*Ъ	ОТНЬ	* ОТНЬ	ОТВЬ	Т*
			Т*Ъ		* ОТНЬ		ОТНЬ
а + т	*+р		а + т —1	а + т —2	Т + Р	*+р	<X+ m + 1
а + т	а +m — I		х+р	T +ji	а + т —2	а + т + 1	■«+Р

23. СВЯЗЬ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С РЕГРЕССИОННЫМ АНАЛИЗОМ

Покажем, что для случайного оцениваемого парамет ра и (характеризуемого априорным распределением ве роятности) метод параметрических функций в ряде слу чаев переходит в классический регрессионный анализ.

11*

163

Для этого остановимся на сущности регрессионного ана

лиза.

Пусть X и У две случайные величины, определяемые совместной плотностью распределения f(x, у).

Введем условные математические ожидания:

M (jj\x)= .§yf (y\x)dy-

		М (х\у)= j" xf (x\y)dx,
		s*
где	f(u\x) и	f i x \ц) — условные	плотности		вероятности
		случайных величин У и X
		при данных X и У соот
		ветственно.			математиче
			Условное		математиче
		ское ожидание				У	при
		фиксированном				X	носит
		название		регрессии			У на
		X	и	соответственно
Рис.	36. График	авторегрессион М {х\у) — регрессии					X
ной зависимости.		на	У.		физический
			Каков		физический
		смысл регрессии?

Если в процессе некоторого эксперимента фиксиро вать результаты наблюдений в виде пары чисел, то на плоскости будем иметь некоторую область, заполненную точками с координатами (рис. 36).

Если затем при каждом значении х отыскивать уср—

П
= —	yi	(при х	фиксированном),	то	получим кривую
1=1
(на рис.	36	сплошная линия), которая			и является оцен
кой линии регрессии У на X.
Регрессионный анализ широко используется в раз
личных задачах.			оценки случайных параметров			а роль
Так,	в задачах		оценки случайных параметров			а роль
У выполняет а, т.			е. /У =а. При этом	в качестве		оценки

а* и выбирается регрессия а на наблюдаемый процесс

X, т. е.

а*г = М [а|х] = I" а/ (а|х) da,

164

где функция f(a\x) носит название апостериорной плот ности вероятности оцениваемого параметра а.

В задачах оптимальной статистической фильтрации роль У выполняет некоторая полезная функция W:

У = W = X —N,

где N — некоторый мешающий сигнал.

В задачах прогнозирования роль У выполняет обыч но сама наблюдаемая функция, сдвинутая на некоторый прогнозируемый отрезок времени Y ( t) = X ( t+ т).

Условные математические ожидания обладают заме чательным свойством, используемым как в практике по строения оценок, так и оптимальной статистической

фильтрации:	среди возможных оценок а*	регрессия
ф (х)= М (а\|х)	является оптимальной оценкой	в классе

произвольных функций ф(х) по минимуму среднеквадра тической ошибки.

Докажем это утверждение. Средний риск

аг2— М \ а — а*(л)]2=		J	J [а — а* (сс)]2 f (a, x)dadx =
		ва	9х
—	§ f(x )d x	j [а — a*(x)]2f (a\x)da.
		®а
Поскольку	f ( x ) ^ 0,	то условие о ^ = ш т

равносильно условию

Q (а*) = J [а — а* (х)]2 f (а|л:) da. = min,

откуда требование &Q (а*)/да* = 0 приводит к уравнению

J [а — а* (л;)]2 f (<х|лг)da = О

или
J af(a\x)da=		J а* (х) f (а\х) da =
йа		9-а
= а*(х)	J	f (a\x)da=^a*(x),
так как	£За
так как
J	f {a\x)da — 1.

165

Итак, окончательно получаем:

а* (х ) = J а/ (а|х) da = M (а|х),

о»

т. е. регрессии а на х. Если

<х*х (х) = Я10+ Япа* (х) = М [а\а* (х)],

то можно говорить о том, что параметрическая оценка ах(х) есть линейная регрессия а относительно оценки

а* (х).

При этом

24. СВЯЗЬ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С МЕТОДОМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Прежде всего рассмотрим сущность метода стохасти

ческой аппроксимации.						статистика	и	M(z\a)
Пусть	2 = ф (х )— некоторая
соответственно регрессия z					на оцениваемый параметр а.
Для	определения			нулей		неизвестной	регрессии
Re(2 \|a) Роббинс и Монро [Л.						18] предложили		следую
щую итерационную процедуру:
	a *n ==			1 "Н Тп^{Хт a * n -i)'
Пример	33. Пусть		a — неизвестное математическое					ожидание
случайной величины		X с	неизвестной плотностью /(х \|а ),					т. е.
					00
	а	= М х \| а		Х =	^ xf ( X \| a ) dx.