Файл: Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
для детерминированных а |
|
М*|афМ х) = Ф(а)- |
О5) |
Поскольку Ма Мх | а = Мха, то имеет |
место также |
соотношение |
|
М М . Ф* (х) = М Ф(а). |
|
Принимая |
|
Ф*х(х) = я|д) + ф*(х) или ф*х(х) = ^п>ф*(х).
находим:
^ = М Ф ( а ) - М и Ф *(х);
_ |
Afe ®(«) |
(16) |
|
||
Лп |
Мха Ф* (х) • |
|
Из выражения (16) следует, что параметрические
функции я}*' и Я|;> связаны между собой соотноше
ниями |
|
|
|
|
до |
'М ш Ф* ( x ) ^ |
- 1]; |
||
1 |
< ‘ > |
|
|
|
|
|
,(•) _ |
> (•) |
|
|
|
лю |
(х) |
|
|
|
= 1+ |
Мха Ф* |
|
Наличие указанных соотношений позволяет осущест влять переход от мультипликативной структуры к адди тивной и обратно. Учитывая вопросы реализации соот ветствующих структур, следует отдавать предпочтение аддитивной структуре, однако не во всех случаях.
Для детерминированных Ф(а) параметрические функции я!*’ и Я|;> в общем случае зависят от оцениваемых
параметров Ф(а), интерес представляет определение
условий, при которых Я<;} и я{;> не зависят от Ф(а). |
|
|
Из анализа (16) вытекают условия |
|
|
Ф* (х) = |
Ф(а) — р; |
(17) |
а Ф*(х) = |
Тф (*), |
(18) |
где р и у — произвольные постоянные, не зависящие |
от |
|
Ф (а). |
|
|
40
Таким образом, параметрические функции и Ап’ не зависят от Ф (а), если математические ожидания предвари
тельных |
оценок в первом случае (для |
) имеют адди |
тивную |
структуру (17) и во втором случае |
(для яЦ’ ) — |
мультипликативную структуру (18). При этом соответст вующие параметрические функции принимают вид:
я<;> = 1/т.
Если же вопреки условиям (17) и (18) воспользоваться
впервом случае мультипликативной параметрической
оценкой, а во втором — аддитивной, то получим соот ношения для я{^ и Я^ , зависящие от Ф(а):
1 (•) _ |
Ф(«) . |
ч |
Ф Н —г С = (1 - т ) ф (« ) . |
Таким образом, прежде чем выбирать ту или иную структуру параметрических оценок, целесообразно про вести анализ структуры условного математического ожи дания предварительной оценки Ф*(х). Указанные струк туры по возможности должны соответствовать друг другу.
Полученные выше результаты сведены в табл. 1.
Таблица 1
Общий вид параметрических функций
Структура услов ного математиче
ского ожидания
«X |г ф*<х>
Аддитивная
Мх[* ф *(х ) =
=Ф ( « ) - Р
Мультиплика тивная
Структура оценки Ф»^ (х)
Аддитивная |
Мультипликативная |
|||
Ф*Х (х) = |
+ Ф* (х) |
Ф\ (х)= |
(х) |
|
Мо* = |
? |
Х(.) |
(а) — р |
|
|
|
Л11 |
ф |
|
Х( 0 ____L
М х \ Л Ф* (*) = |
Лч _ Ч |
= уф (<*) |
|
41
Средние квадраты ошибок оценок Ф*у имеют следую
щий вид:
1.При использовании я}^
Л(Я<;> ) = Мха [Ф ^а) — Я^ — Ф* (х)]2 =
=МаМх , . [Ф (*) — Ф* (х)]2— \МаФ(а) — МхФ* (X)]2=
= & - |
1ф («) - ф * (X)]}2 = 4 |
- 4 |
= d = ЯФ 2 (X), |
|
где D — символ дисперсии-; |
= |
{Ж |
[Ф (а)— Ф* (х)]}2 — |
|
квадрат |
ошибки смещения; |
з^ш — дисперсия ошибки. |
||
Таким образом, применение Я,*'1 обеспечивает не
только несмещенность оценки, но также и уменьшение
среднего квадрата ошибки на величину г^м (или, что то
же самое, сохранение уровня дисперсии ошибок).
2. При использовании Я^
«(*{!’ ) = Л ^ [ ф ( а ) - * ! ! ’ Ф*(Х)Г =
= |
- а (2 - а ) М хл [Ф* (х)]2 + 2аМхл [Ф* (х) Ф (а)], |
где
,М аФ{ *)
а~' Мхл Ф*(х)-
Отсюда следует, что мультипликативная корректи рующая поправка может как улучшить, так и ухудшить первоначальную оценку.
Параметрические функции в соответствии с выраже ниями (16) могут быть подсчитаны заранее по априор ной информации. Особенно простыми эти соотношения оказываются для оценок Ф*(х), обладающих свойст вами
М ха Ф* (х) = Ж а Ф (а) 0 М аСа Ф (а),
где С а — некоторый известный оператор; © — некоторая
арифметическая операция.
42
Так, |
если |
|
|
|
м ы Ф* (х) = М ЛФ (а) - М С Ф (а), |
||
то |
|
|
|
|
С = М « Ф («) - |
Ф* (X) =Л* с Ф (а). |
|
Для детерминированных характеристик а и Ф(а) вы |
|||
ражения (16) принимают вид: |
|
|
|
* ш = Ф ( а ) - ^ |а Ф*(х); ,(») — |
ф (а) |
||
поскольку |
11 |
Мх ЫФ* (х)’ |
|
|
|
||
|
Жа Ф(а) = Ф(а). |
|
|
Самостоятельный интерес представляет случай, когда |
|||
|
Ф (a) ==jа и а* (л:) = |
А В хх (т;), |
|
где А |
— заданный линейный оператор; |
— некоторый |
|
оператор (в общем случае нелинейный), удовлетворяю щий условию
|
Mx]aB iX(t) = a(t). |
|
|
|
||
Примерами оператора |
являются: |
|
|
|||
1) |
В (Р x ( t ) = x 2a{t). Этот оператор |
используется при |
||||
оценках дисперсии, так |
как |
|
|
|
|
|
|
м „ . - в ; ‘’ х ( о = л 1 . |. х - ( о = |
|
||||
|
= M ,u [ X ( 0 - m ( 0 r = DX = |
rf; |
|
|||
2) |
В (2) x{t) — x 0{t)x0(t ± i ) . |
Этот |
оператор |
исполь |
||
зуется |
при оценках корреляционных функций, поскольку |
|||||
М х 1К Щ™ X ( t ) = M x l R [ X ( t ) - m ( i ) ] \ X { t ± z ) - |
||||||
|
— т (t dz т)] = |
R (t, t ± |
t). |
|
|
|
С учетом введенных |
операторов А ^ |
и Вх |
соотно |
|||
шения (16) можно записать в виде |
|
|
|
|||
|
а Ц ) - А ^ М л а(х); |
|
|
|||
|
,(0 |
Л[{)Ма а (х) • |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
||
43
Для детерминированных функций а (t) имеем:
(•) |
= а ( 0 — |
|
<*(т); |
(« |
|
|
Яю |
|
1 |
A{f) а (т)' |
|||
Введем обозначение |
М а a (t) = |
<р (i). |
|
|
||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
<Р(0 = |
ЯсЛ‘° <р(т), |
|
|
||
где Яс— собственные значения оператора |
; <f(t)—со |
|||||
ответствующие им собственные функции. |
|
|||||
С учетом |
последнего |
замечания |
параметрические |
|||
функции принимают вид: |
|
|
|
|
||
1(е) |
? (0 - ^ |
= |
? (0 |
Яе- |
|
— |
|
|
|
||||
10 = |
|
|
|
|||
В качестве примера рассмотрим широко используе мый в задачах сглаживания оператор текущего сред него
t + T/ 2
S[t ) x ( x ) = - Y - f X{z)dz.
t —T/2
В табл. 2 приведены собственные функции и пара
метрические константы Я<;> , Я^ для оператора S[{) .
Из табл. 2 следует, что для линейных функций
<?(t) = а0 aj параметрические функции я{’’ и я[*' соот
ветственно равны:
•>(•> — о я(,) = 1
Обратим внимание на то обстоятельство, что приме нительно к детерминированным (неслучайным) функци ям Ф(а) или а (0 на пути использования метода пара метрических функций появляется возможность создания новых алгоритмов статистической обработки. Это обу словливается определением вместо истинных оптималь ных параметрических функций соответствующих оценок.
Рассмотрим пример. Используется аддитивная струк-
44