Файл: Планирование и анализ сельскохозяйственного производства с использованием математических методов и ЭВМ сб. науч. тр.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 44

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА СССР

О Д Е С С К И Й СЕ Л Ь С К О Х О ЗЯ Й С Т В Е Н Н Ы Й ИНСТИТУТ

ПЛАНИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И ЭВМ

(сборник научных трудов)

Одесса — 1974

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА СССР

О Д Е С С К И Й С ЕЛ Ь СК О Х О ЗЯ Й СТ В ЕН Н Ы Й ИНСТИТУТ

ПЛАНИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И ЭВМ

(сборник научных трудов)

ОДЕССА — Ю74

Гр°- и наѵчно-> бивпмо > а

W - / # &

4 ?

Wг

>

V

РЕДА'К'ЦИО'Н'ВАЯ КОЛЛЕГИЯ:

Профессор Браславец М. Е. — ответственный редактор; доцент Сухору- . ков В. Ф., доцент Журженко А. В.,: доцент Ушачев И. Г.; старший мето­

дист Зарембовская Т. П. — ответственный секретарь.

9

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

ЛУЩУК в. О., КАЛЕНОВ О. С.

В условиях социалистического ведения хозяйства научно обоснованное прогнозирование приобретает все большее зна­ чение. В связи с этим в настоящее время, естественно, воз­ никает целый ряд вопросов о предпосылках, принципах, фор­ мах и методах научного предвидения будущих состояний.

Сложность проблемы экономического предвидения, разно­ образие факторов, обусловливающих экономические процес­ сы, вызывают необходимость применения различных методов, от выбора которых в значительной мере зависит достовер1 ность конечных результатов [1].

Множество методик и приемов, используемых при разра­ ботке прогнозов, все более настойчиво требует их системати­ зации, построения общих принципов и методов прогнозиро­ вания, обобщения накопленного опыта и создания научно обоснованной методики, позволяющей выбирать методы в за­ висимости от сроков прогнозирования, прогнозируемого объ­ екта, условий и задач данного прогноза, позволяющей доста­ точно точно оценить достоверность получаемых результатов.

Таким образом, изучение существующих методов научно обоснованного прогнозирования, а также разработка новых, более совершенных и теоретически обоснованных, представ­ ляет определенный интерес.

При экономическом прогнозировании широко используют­ ся методы математической статистики, экспертных оценок, экстраполяции и интерполяции, эвристического прогнозирова­ ния, экономико-математического моделирования и др.

Наиболее простым и часто используемым является' метод экстраполяции по формуле линейного тренда. В более общем случае строят экстраполяцию с помощью цепного тренда, об­ ладающего довольно «удобными» для анализа свойствами.

3


Каждый метод прогнозирования достаточно эффективен в условиях ограниченной области его применения.

В этой связи нами делается попытка разработать более общий метод, позволяющий формулировать предвидения на основании сравнительно небольшого объема исходной инфор­ мации'. Суть предлагаемого метода заключается в примене­ нии теории подобия к семейству кривых, описывающих изу-' чаемый объект.

Известно, что любой прогнозируемый объект в экономиче­ ском смысле характеризуется системой некоторых показате­ лей, зависимость между которыми в общем случае имеет вид:

Г (хі, х2,..., х „)= 0

( 1)

Практика показывает, что для описания одного и того же экономического объекта разными исследователями использу­ ется различный (в количественном и качественном отноше­ нии) набор экономических показателей. Это приводит к то­ му, что конкретный вид зависимости (1), описывающей один и тот же объект, оказывается неодинаковым. Между тем, сле­ дует считать, что функция Г (хь хг,..., х„) имеет одну и ту же форму, независимо от того, какие и в каком количестве пока­ затели, обозначенные хь Х2,..., х„, использованы исследова-

-телями. Иначе говоря, зависимости, описывающие одинако­ вые экономические объекты, подобны, а кривые, соответству­ ющие им, геометрически родственны.

Такие кривые характеризуются определенной системой постоянных подобия. Это означает, что для любых двух со­

ответственных точек с координатами (х/,

х2',...,

хп') и (х/',

х2" .......х„") имеют место равенства:

 

 

 

 

(2)

где Ci, С2,..., с„ — так называемые константы подобия.

Подобие кривых в указанном смысле

можно

использо­

вать для экономического прогнозирования.

 

 

С этой целью разложим уравнения кривых (1) в ряд Тей­ лора в окрестностях соответственных точек и запишем для них условия цодобия. В результате получим уравнения, свя­ зывающие производные одного и того же порядка от функ­ ций, описывающих различные кривые. Эти уравнения можно интерпретировать как условия, которым должны удовлетво­ рять коэффициенты аппроксимационных полиномов, состав-

4


ленные на основании статистических данных. Такие аппрок-' симациониые полиномы могут быть отождествлены с рядами Тейлора для соответствующих кривых, что позволяет полу­ чить уравнения указанных кривых в замкнутой форме.

Далее, применяя указанные операции по отношению к каждому из факториальных показателей, описывающих дан­ ный экономический объект, получим уравнение связи резуль­ тативного показателя со всей совокупностью факториальных в явном и замкнутом виде. Это дает возможность предсказы­ вать значения результативного показателя для любого набо­ ра факториальных показателей.

Рассмотрим теперь последовательное изложение предла­ гаемого метода, ограничиваясь, для простоты, случаем зави­ симости результативного показателя z только от двух факто­ риальных показателей х и у.

Уравнение связи в самом общем случае имеет вид:

 

z = f (х,

у).

(3)

Изображая зависимость (3)

на плоскости (у, г),

полу­

чим однопараметрическое семейство кривых. Каждая кривая семейства описывает изменение результативного признака при постоянном значении одного из' факториальных призна­ ков. .

Уравнения каких-либо двух кривых рассматриваемого се­

мейства,

например,.і-й и j-й,

имеют вид:

 

 

 

 

 

 

z = z (х ,,

у) ,

 

 

 

 

(4)

 

 

 

z = z (ху,

у).

 

 

 

 

- (5)

Разложим

функций

z(x,,

у) и z(xy-,

у)

в ряды Тейлора

в окрестностях точек yt

и уу-

соответственно, [2].

 

z(x„ y )= z(x „

у,) + --у -dZ^

1J 1/

у—У/) f

 

 

У;)

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

(y-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

2!

dy2

 

 

1 б"г(хг, :h ) (

Уй Т — -Г n!

v

 

dy"

 

 

 

Z(Ху, y)=z(Xy,

 

1 , dz(xy, .уу)

(yу-—Уу)+

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

1 d2z(xy, уj)

 

1

d"z(xy, Уу)

 

( У -У у Г + И / у ) .

+ 2Г —

 

(у—Уу)2+ * " + і т г —

 

Зуй—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.5


Будем считать основной ту кривую рассматриваемого семей­

ства, которая соответствует

х = 0 .

Тогда,

поскольку

измене­

ние X от 0 до X,,

или изменение х от 0 до х у эквивалентно со­

ответствующему

изменению

у и z,

можно

считать,

что все

кривые семейства есть основная кривая, рассматриваемая в различных системах координат. Введем поэтому координаты (y', z'= u ) — для і-й кривой и координаты (у", z"= v) — для

j -й кривой, по формулам:

 

 

 

Z(X;,

У)=и(Х„

у 'Ж / I

(8)

У = У

Ч С /

г

 

z(X/, У)=ѵ(Ху,

у"Ж у I

(9)

 

У = У " + С /

 

{'

Вследствие того, что

У — У ( = У /— У / .

dfz(Xf,

у) _

dfu(xf.

у')

dyz

 

dy"

(1=1, 2,..., n);

У - У у= У '- У / .

d'z(xy, у)

d'v(xy, у")

dyz — dy'"

(1=1, 2,..., n),

разложения (6) и (7) приобретают вид:.

и(Х/і y')= u (x„ у / )+ -у|- du^ y / ' } (y'—У/) +

(10)

( И )

(12)

J - d M x ^ y /)

и

/)2g_

"

1

dnu(x„ у/)

(y'—y/r+R/y'),

г 2!

dy'2

Уі ’ '

п!

dy fix

 

 

 

 

 

 

1

dv(x.-, у/)

 

 

v(xy, y ")= v (x ., y f ) + Tl

 

V dyy/r - 4 y,/- y / ) +

 

 

1

d2v(x/, y/)

 

 

(13)

 

+ 2Г

 

 

V

 

- y / ) a+ - +

 

 

1 d"y(x.-, y/')

 

 

 

 

+

ГГ —

dy

(y"-y/')n4-R/y").

 

 

n!

 

 

 

 

 

6


Последние два выражения можно переписать следующим образом:

п 1

где ст = 2

к=т k!

і „ = І 1 k—mk!

u(x„ y ') = 2 c'«y,ni-

 

 

 

m—0

v(xy, y " ) - 2 d-y',m,

 

 

 

/n=0

d*u(x„ a)

k

k_m

dy'*

 

 

dftv(x/,

b)

rk-m\-,k-m

v 1

'

dy"*

 

*

 

а = - У / ',

b = y / .

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Преобразование основной кривой семейства в другие кри­ вые представляет собой, в общем случае, не только перенос, но и сжатие или растяжение. Поэтому для нахождения тех условий, которые обеспечивают совпадение і-й и j-й кривой, введем координаты

*

U

y'

*

У'

(19)

u

17’

*

V

(20)

*

v

 

y"

 

v =

i ?

y'

 

V

 

% Так как разложения в ряды Тейлора должны осущест­

вляться в окрестностях соответствующих точек, то последние соотношения могут быть переписаны в виде:

и* =

и (х „у ')

’ у'

у'

(21)

и(х„ у/)

у

а

£

*

>

II

* >

II

 

 

(22)

В координатах (21) и (22) уравнения (14) и (15) запасываются следующим образом:

u*u(x/t у / )= 2 1 стуг*т у/я‘.

(23)

v*v(xy, y / ) = i d my / my/m-

(24)

т

 

7