Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

ДВУХТОЧЕЧНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗИНАТНЕ: РИГА 1973

П Р Е Д И С Л О В И Е

Теория нелинейных краевых задач является одной из наиболее актуальных и активно развивающихся обла­ стей математического анализа. Проистекающая из клас­ сических работ С. Н. Бернштейна, она в последние два десятилетия привлекает пристальное внимание многих исследователей. Несомненно, одна из наиболее глубоких причин заключается в том, что математика сейчас вплотную подошла к изучению разнообразных нелиней­ ных задач, возникающих в приложениях к механике, технике и другим областям, когда линейные приближе­ ния слишком грубы или вовсе невозможны. Это обстоя­ тельство повышает интерес и к чисто математическим методам исследования нелинейных задач, даже не име­ ющих непосредственной связи с приложениями, но все

же родственных им.

С другой стороны, современная математика предо­ ставляет в распоряжение исследователей мощный аппа­ рат, пригодный для изучения нелинейных краевых задач: теорию непрерывных отображений, нелинейный функциональный анализ, теорию ветвления, идею апри­ орных оценок и многое другое. Обширный арсенал методов в сочетании с разнообразием направлений и проблем теории нелинейных краевых задач — а мно­ гие проблемы здесь представляют значительные труд­ ности — придает этой теории дополнительный чисто математический интерес и привлекательность.

Вот уже более десяти лет группа рижских математи­ ков активно развивает одно из существенных направле­ ний общей теории нелинейных краевых задач для обык­ новенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений, связанное с априорными оценками и диффе­ ренциальными неравенствами. Методы, разработанные этой группой, дали возможность доказать теоремы о су­ ществовании решения, а при дополнительных предполо­ жениях — теоремы о единственности решения и о не­ прерывной зависимости его от данных задачи для широких классов краевых задач в наиболее общих из ныне известных условиях.

Значительная часть этих исследований систематизиро­ вана и изложена в данной книге. Здесь нет смысла опи­ сывать ее содержание, оно видно из оглавления и из предисловия авторов. Скажу только, что сравнение с ре­ зультатами других авторов показывает, что результаты, приводимые в этой книге, являются наиболее далекими в рассматриваемом направлении. Именно это может вызвать интерес специалистов, занимающихся дифферен­ циальными уравнениями и нелинейным анализом, а также всех, кто интересуется современным состоянием теории краевых задач.

Знакомство с книгой может также побудить читателя применить к данной области теорию конусов, вращение векторных полей и другой, не затронутый в ней, аппа­ рат. Думается, что при учете специфики решаемых задач это могло бы привести к упрощению и усилению отдельных формулировок. Но это, разумеется, является только гипотезой, так как слишком прямолинейный под­ ход тут вряд ли приведет к цели.

Я рад возможности рекомендовать эту книгу чита­ телю.

А. Д. Мышкис

12 мая 1972 г.

ОТ А В Т О Р О В

В последние годы наблюдается интенсивное изучение нелинейных краевых задач для обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений. Наиболее разработанной обла­ стью нелинейных краевых задач в настоящее время является теория двухточечных краевых задач. Изложе­ нию основ этой теории и посвящена настоящая моно­ графия, содержащая результаты, полученные авторами в последние годы. В книге рассматриваются существо­ вание, единственность, непрерывная зависимость от на­ чальных данных и априорная ограниченность решений краевых задач. В большинстве работ, посвященных этим вопросам, изучались краевые задачи для дифференци­ альных уравнений и систем дифференциальных уравне­ ний с непрерывными правыми частями и простейшими краевыми условиями. В монографии главным образом излагается теория нелинейных краевых задач в пред­ положении, что правые части дифференциальных урав­ нений и систем таких уравнений удовлетворяют усло­ вию Каратеодори, а краевые условия достаточно общие

инелинейные.

Вначале книги приводятся обозначения и основные определения. В первой главе рассматриваются краевые задачи для уравнения второго порядка. В основном раз­ бираются необходимые и достаточные условия существо­ вания решения. При этом сначала изучается простейшая двухточечная краевая задача с непрерывной правой

частью, затем — с разрывной и, наконец, общая двух­ точечная краевая задача.

Вторая глава посвящена краевым задачам для си­ стемы двух уравнений первого порядка. Особое внима­ ние уделено вопросам единственности решения. В тре­ тьей главе рассматриваются краевые задачи для систем уравнений второго порядка. Важное место отведено достаточным условиям существования решения. В чет­ вертой главе рассматриваются вопросы существования решения краевых задач для квазилинейных систем, непрерывная зависимость решения от начальных данных общих краевых задач, существование априорных оценок производных при наличии априорных оценок младших производных и решения для общих систем дифферен­ циальных уравнений.

Многие вопросы, затронутые в книге, освещались в курсах лекций, прочитанных в Латвийском ордена Трудового Красного Знамени государственном универ­ ситете им. П. Стучки, а также на научных семинарах в Вычислительном центре ЛГУ им. П. Стучки.

Авторы признательны А. Д. Мышкису и Л. Э. Рейзиню, сделавшим ряд замечаний, способствовавших улучшению изложения, а также благодарят всех членов семинара по обыкновенным дифференциальным уравне­ ниям при Вычислительном центре ЛГУ им. П. Стучки, принявших участие в обсуждении книги.

В В Е Д Е Н И Е

Предполагается, что читатель владеет основными по­ нятиями математического анализа и теории обыкновен­ ных дифференциальных уравнений. Ниже приводятся определения и обозначения, используемые на протяже­ нии всей книги.

АСп (Р) — множество абсолютно непрерывных на ин­

Если f:Rn^ R , то Dhf, &е{1, ..., n}, означает частную производную от функции f по k-му аргументу. Опреде­ лим функцию Ô, заданную на подмножестве из R3 и принимающую значения в R следующим образом:

X, у < х ^ г ;

ô(x, у, z) = у, xs^ys^z; Z, x ^ z < y .

Отметим, что эта функция будет часто использоваться для обрезки правых частей уравнений.

Будем говорить, что функция F:f0X R r'->-Rm, где /0 —

интервал из R, удовлетворяет условию Каратеодори на

прерывна на R n при фиксированном tŒl0 и для любого

Функция Fœ Car™ ( I x R n) удовлетворяет обобщенному локальному условию Липшица, если для любого ком­ пактного множества PczRn найдется функция gŒL(I), такая, что

l|E(f, Xi) - F(t, х2) ||HsSg(0 IUI - X2|IH

ПОЧТИ ДЛЯ всех tŒl И любых Х\, Х2^ Р . Будем говорить, что краевая задача

где Fœ Car” (l x R n); Ф :АСп (l)-^Rn,разрешима (имеет решение), и функцию y . I ^ R n называть решением крае­ вой задачи,если

Если Fœ CH( I X R n) , то под решением краевой задачи (*) понимаем функцию y:I-+Rn, удовлетворяющую усло­ виям:

1) Ï/œ C,” (/);

2)y ' ( t ) = F ( t , y ( t ) ) y t Πl ;

3)Ф (у) = 0.

Двухточечной краевой задачей будем называть задачу

x' = F(t, х), Ф (х(а), х(6))= 0,