Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 54
Скачиваний: 0
— yiD24>(t, u(t))u'(t) S s
^ (M+yiD2(p(t, u(t)))(y(t, |
u(t)) —u' ( t ) ) >0 . |
Неравенство (1.8) доказано. |
|
Докажем оценку (1.6). Пусть |
уі = 1, тогда а(а)= Л = |
= и(а). Следовательно, |
|
и'{а) ^ а ' ( а ) ^ ф (а , а(а))=ср(а, и(а)).
Теперь допустим, t0Œ(a, b] такое, что
u'(t0)<<p(to, и (t0)).
Тогда существуют t\Œ[a, to) и t2Œ(tь /0], такие, что
и'(t\) = ф(^1, u(tі))
и
ф(/, u(t)) - ls^u'(t)<<f(t, u(t)) y t |
Π( t u f2]. |
Следовательно, существует tŒ(t\, /2], для |
которого |
но это противоречит неравенству |
(1.8). |
|
|
Таким образом, при уі = 1 справедлива |
оценка |
||
ф(t, ll(t)) s<ll'(t) |
ytŒl . |
|
|
Пусть Yi = —1, тогда |
ß(ö) — B = ti(b) . Поэтому |
||
u'(b) ^ ß '( 6) ^ |
ф(6, Р(6) ) = ф(&, |
ii(b)). |
|
Допустим, t0Œ[a, b) такое, что и'(to) <q>(t0, u(t0)).
Тогда, как и выше, существует tŒ[a, b), для которого
u"(t)^-^jj(f(t, u(t)), |
ф (t, u ( t ) ) ~ l^u'(t)<(p(t, |
«(/)), |
|
но это противоречит неравенствам |
(1.7) и (1.8). |
|
|
Итак, при любом |
у і^ { —1, |
1} доказана |
оценка |
Ф (t, u(t)) ^ и ' (t) |
ytŒl . |
|
|
Аналогично может быть доказана оценка |
|
||
и'(t) sSoKC u(t) ) |
y t Πl |
|
|
ДЛЯ любого У2^ { —1, 1}- |
|
|
|
2 - 3 8 3
Таким образом, на интервале / справедлива оценка (1.3), следовательно, и — решение краевой задачи (1.1) — (1.2). ■
§2. РАЗРЫВНЫЙ СЛУЧАЙ
Вэтом параграфе приводятся необходимые и доста точные условия разрешимости краевой задачи
x" = f(t, |
X, х'); |
(2.1) |
х(а)=А, |
х(Ь)=В, |
(2.2) |
где /еЕСаг(/ХЯ2); A, B œ R.
Достаточные условия разрешимости этой задачи были получены Ю. А. Клоковым [2, 6], а необходимые и до
статочные — В. В. Гудковым и А. Я- Лепиным |
[1]. |
|
Теорема |
2.1 настоящего параграфа сформулирована |
|
в терминах |
нижних и верхних решений а и р |
уравне |
ния (2.1) и в терминах функций ѵ и w. Функции ѵ и w, называемые в дальнейшем соответственно нижним и верхним фильтрами, появились в процессе развития обобщенных условий Бернштейна (см. работу А. Я. Ле пина [1]). Эти функции играют важную роль при до казательстве априорных оценок производных решений краевых задач. В теореме 2.1 они описываются усло виями 4—8. Более детальное их определение дается в § 5, где показывается, что для широкого класса пра вых частей уравнения (2.1) функции ѵ и w могут быть эффективно построены.
Остановимся на схеме доказательства теоремы 2.1. Так же, как в непрерывном случае, вместо краевой за
дачи (2.1)— (2.2) рассматривается краевая задача |
|
x"=F(t, X, х'), х(а)=А, х{Ь)=В, |
(2.3) |
где функция F получается в результате обрезки функ ции f. Следующий этап доказательства, характерный для разрывного случая, заключается в построении последо вательности краевых задач, аппроксимирующих задачу (2.3). Аппроксимирующие краевые задачи строятся та-
киы образом, чтобы для любого их решения существо вала априорная оценка вида
a(t) s^x(t) |
v(t, i) s^x' (/) |
(/, /) |
(2.4) |
на интервале /. Затем, выбирая подпоследовательность краевых задач, устанавливаем существование решения л: задачи (2.3), удовлетворяющего оценке (2.4), что в силу построения функции F завершает доказательство.
Для дальнейшего потребуются две леммы — сравне ния и аппроксимации. При этом лемма сравнения, пред ставляющая собой одно из возможных обобщений пер вой теоремы сравнения Дж. Сапсоне (см. [1], стр. 83), является частным случаем теоремы сравнения, приве денной в работе В. М. Алексеева [1].
Лемма 2.1 (лемма сравнения).
Пусть X, yŒAC([c, cl]), c<d, /іеС аг([с, d]XR), h(t, X) удовлетворяет обобщенному локальному условию Липшица по X и, кроме того,
1) x'(t) ^ h ( t , x(t)) pytŒ[c, d]\
2)y'(t)=h{t, y(t)) pyi<=[c,d]\
3)x { c ) ^ y ( c ) .
Тогда x { i ) ^ y ( t ) y /e f c , d].
Доказательство. Пусть
A4 = max{max (хД) [, max|«/(tf) |}.
[c, d] |
[c, d] |
Тогда найдется функция Gœ L(I), такая, что |
|
Ih(t, Xi) —h(t, |
x2) I =£= |
^ G ( t ) |*i —x2| V (t> Xu X2) |
œ [C, d] X [ ~ M , M]2. |
П р е д п о л о ж и м (c, d] такое, что x(t0) <y(t0) . Поэтому существует t\^[c, t0), для которого
x{U) =y{t\), x(t)<y(t) yt<=(tu t0].
Далее, |
найдутся |
/2е (/ь /0] и /Зе (/ь 12], такие, что |
и |
|
|
f |
G(t)dt< 1; |
max(y(t) —x(l)) =y(t3) — x(ts) >0. |
i, |
|
[O, fd |
Следовательно,
Із
y(t3) - x ( t 3) = f ( y ' ( t ) - x ' ( t ) ) d t ^ tx
H
^ J |
{h(t, y (t)) ~h(t, x ( t ) ) ) d t ^ |
|
11 |
|
|
|
U |
|
^ |
f G (t) ( y ( t ) - x ( t ) ) d l ^ |
|
|
tx |
із |
|
|
|
^ (y(t3) - x ( t a)) f |
G(t)dt<y(t3) - x ( t 3), |
|
|
и |
|
что невозможно. ■ |
|
|
Лемма 2.2 (лемма аппроксимации). |
||
Пусть |
|
|
F ^ C a r ( I x R 2), |
г, S œ CI (I), gŒL(I) |
|
и, кроме того, |
|
|
1) r(t) <s(t) |
у t^î-, |
|
2)X, x') | s£g(0 Y (t, X, X')œ I X R2.
Тогда |
существуют функции FnŒCar(IXR2) и Gn<= |
||||||
^ L ( I ) , |
такие, что для всех Hœ {1,2,...} |
|
|||||
3) |
\Fn (t, x, x ' ) \ ^ g ( î ) |
y (t, x, |
x ' ) e s I x R 2; |
||||
4) |
lim Fn (t, x, x')=F(t, |
x, x') |
Y |
(t, x, |
x ' ) ^ I X R 2‘, |
||
|
n-> oo |
|
|
|
|
|
|
5) |
Fn (t, u(t), u'(t))=F(t, |
u(t), |
u'(i)) |
YtEBl, |
|||
|
Yu<={r, s}; |
|
|
|
|
|
|
6) |
IFn (t, u(t), y i ) - F n (t, |
u(t), |
y2) \ ^ G n (t)\yl- y 2\ |
||||
|
V (t, Ух, y 2) ^ I X R \ |
Y « e { r , s } . |
|
||||
Доказательство. |
Для |
фиксированного |
п е { 1, 2, ...} |
||||
и для любого Ä e Z = { ...-2 , |
—1, 0, 1, 2, |
...} |
определим |
||||
функции yh\IXR-^R, полагая |
|
|
|
|
|||
X) = s ( t ) - r ( t ) |
|
r' (t )s(t ) -s' (t )r(t ) |
|||||
|
|
s ( t ) - r ( t ) |
|
||||
У к { t , x ) - t j k - l ( t , |
\_ |
|
|
||||
X ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
Отсюда видно, что y h ^ C ( l X R ) |
для всех te Z . |
||||||
Фиксируем точку |
(t, |
x, |
x ' ) ^ l X R 2. Тогда |
существует |
|||
f e Z , такое, что yh-\{t, |
x) < x ' s ^ y h(t, x). |
|
|
||||
Положим |
Fn (t, x, |
x') = |
|
|
|||
|
|
|
|||||
= n(F(t, x, уь-і) (yk- x ' ) +F(t, x, yh) ( x ' - y k^ ) ) ,
откуда
\Fn (t, x, x ' ) - F ( t , x, x') I = n\F(t, x, yk- l)(yk- x ' ) +
+ F(t, x, yk) { x ' - y h- X) - F ( t , x, x') (Ук-Ук-і) I ^ ^ \ F ( t , x, yk-i) - (F(t, x, x') I + \F(t, x, yk) -
- F ( t , x , x ' ) \ , |
(2.5) |
a учитывая условие 2, получаем
\Fn (t, x, x') I s^n\F(t, x, yh- 1) I (yh- x ') +
+ n\F(t, x, yk) I ( х ' - у к - і ) (2.6)
Далее, для фиксированного tŒ.1 положим
Gn (t) = max{sup n\F(t, r, yh{t, /•))- hç=Z
— F(t, r, yh-i(t, r ) ) |, supn|T'(;, s, yk{t, s ) ) - h<=Z
— F{t, s, yh-\{t, s)) |}.
Покажем, что функции Fn и Gn являются искомыми. Действительно, непрерывность Fn (t, х, х') по х, х’ при фиксированном t очевидна, измеримость по t при фик сированных x, х' можно показать обычными рассужде ниями. Присоединяя сюда неравенство (2.6), получим,