ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
В каждой точке тела, таким образом, определяется 15 неизвестных компонентов: три компоненты перемещений
(и, V, ад), шесть компонентов |
напряжений |
(ст.ѵ, Oy, <xr, хХу, |
|||
Xyz, "Г») и шесть компонентов |
деформаций |
(еЛ-, ви, |
ех,уху, |
||
у У г , угх) • Поэтому для |
решения |
общей |
задачи |
нужно |
|
иметь 15 уравнений, которые |
можно было |
бы применить |
|||
к каждой точке внутри |
тела, |
и |
особые уравнения |
(гра |
ничные условия), справедливые для любой точки по верхности, ограничивающей тело. Совместное решение этих уравнений, в принципе, позволяет определить на пряженно-деформированное состояние данного тела при данных нагрузках, т. е. напряженно - деформированное состояние расчетной схемы реального объекта.
Приведем основные уравнения линейной теории упру
гости д л я решения задач при статическом |
воздействии |
||||||||||
нагрузок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
равновесия |
(уравнения |
статики) |
||||||||
ах |
|
' |
àу |
' |
dz |
1 г |
|
' |
|
|
|
дъух |
I |
да,і |
I dz, |
|
|
|
|
|
|
||
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрические уравнения |
(уравнения |
Коши) |
|||||||||
|
|
du |
|
|
du |
I |
du |
I |
|
|
|
s* |
|
~дх' |
I'v |
— 'dJ'T'dT' |
I |
|
|
||||
|
|
dv |
|
|
dv |
I |
dai |
I |
|
|
|
|
|
âw |
|
|
dw |
I |
du |
I |
|
|
|
S z — |
"35"' |
^zx~~dT^"dT |
|
|
) |
|
|
||||
Физические |
уравнения |
(обобщенный |
закон Гука) |
||||||||
о я |
= |
2Gex |
- ) - ЯѲ, |
tXy |
= |
G^xy] |
"J |
|
|||
oz |
= |
2Gez |
+ 26, |
X « = G y „ . |
I |
|
|||||
З д е с ь : G = 2 ( | E |
+ |
^ ; Я = у ^ ; Ѳ = 3 з с р ; s c p = - L ( £ : ( + e y + |
|||||||||
+ е г); P-X. ?У, |
pZ — проекции |
на |
|
осп x, y, z объемной |
|||||||
силы, приходящейся |
на |
единицу |
объема |
тела . |
7
В зависимости от принятого метода решения задач вместо геометрических уравнений (1—3) могут исполь зоваться уравнения неразрывности деформаций, полу ченные Сен-Венаном из
ô2l
ду |
дх2 |
дх•ду |
|
|
|
|
|
|
dz2 |
~І~ |
|
дуа'~'ду~дг' |
|
|
|
|
|
д х 1 |
' |
dz2 |
'àz-àx |
|
|
|
|
(1-5) |
|
|
-LEI'*. |
|
|
|
дЧ |
||
|
|
|
=2 |
|
|
|||
dz |
дх |
dz |
|
дх-ду |
|
|||
^ |
ду |
|
|
|
||||
_д_ |
|
|
|
|
-)=2 |
|
д2е |
|
дх |
ày |
|
dz |
дх |
|
ду-dz |
|
|
|
|
|
дх |
atz, |
= |
2 |
д-^у |
|
|
|
|
ду |
|
|
дг-дх |
|
Граничное условия могут быть заданы в виде компо нентов сил, приложенных на поверхности тела (статиче ские граничные условия):
рА .ѵ = |
з х |
cos {xv) |
-L хху |
cos (t/v) - f - ^« cos (zv); |
Ï |
|
||||
py, |
= |
tyS |
cos {xv) |
- f ay cos (yv) |
-f- xyz cos (zv); |
} |
( 1 " 6 ) |
|||
Р г ѵ = |
|
cos (л-ѵ) + Tz y cos (yv) 4 - az cos (zv). J |
|
|||||||
З д е с ь |
р д Ѵ |
p |
, |
p z w — проекции |
на |
оси л*, у, |
z внешней |
|||
силы, |
приходящейся |
на |
единицу |
площади поверхности |
||||||
тела; |
cos(xv), |
cos(yv), |
c o s ( z v ) — н а п р а в л я ю щ и е |
коси |
нусы, т. е. косинусы углов между нормалью к поверх ности тела и осями х, у, z в точке приложения силы.
Другим способом определения граничных условий является задание компонентов перемещений точек по верхности тела (кинематические граничные условия) . Возможно т а к ж е задание на одних участках поверхно сти компонентов перемещений точек, на других —- ком понентов сил (смешанные граничные условия) .
В зависимости от того, какие неизвестные компонен- ' ты прежде всего необходимо определить, применяют различные методы решения задач теории упругости.
Метод перемещений. Принимают за основные. неиз вестные перемещения точек упругого тела:
" = Ы*> у, z), v = f2(x, у, z), w = fs{x, у, z) .
Тогда необходимо в физические уравнения (1-4) под ставить геометрические уравнения (1-3), т. е. выразить напряжения через перемещения. Затем полученные вы ражения подставить в уравнения равновесия (1-2). Получается система трех уравнений с тремя неизвест ными компонентами перемещений. Метод перемещений
наиболее часто применяется при решении |
задач |
мето |
||||||||
дом конечных, элементов. |
|
|
|
|
|
|
||||
Метод сил. Принимают за основные неизвестные на |
||||||||||
пряжения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax = L(x, |
У, |
z), |
oy = fs(x, |
у, |
2 ) , |
az=zft(x, |
у, |
z), |
||
*ч/ = |
М * - |
У' |
z ) ' |
"cux = |
ft{x, |
У, |
z), |
Tzx = f0(x, у, |
z). |
|
Выразив |
в |
физических |
уравнениях |
(1-4) |
деформации |
через напряжения, подставляют их в уравнения нераз
рывности |
(1-5). |
З а т е м , |
используя |
преобразованные |
|
уравнения |
неразрывности |
и уравнения |
равновесия |
(1-2), |
|
получают |
шесть |
уравнений |
с шестью неизвестными |
ком |
|
понентами |
напряжений (уравнения БельтрамИ) . |
|
Смешанный метод. В этом случае за основные не известные принимаются некоторые из компонентов пе ремещений и напряжений .
Известно, что далеко не все задачи, представляю щие практический интерес, могут быть строго решены
методами классической теории |
упругости с доведением |
|
до относительно |
простых формул. Во многих случаях |
|
геометрическая |
конфигурация |
тела и граничные усло |
вия настолько сложны, что определение напряженно - деформированного состояния в замкнутом виде оказы вается крайне трудоемким, а иногда и невозможным. Это относится, в частности, ко многим задачам, с кото рыми приходится иметь дело инженеру. Например, имеется строгое решение методом классической теории упругости для плотины треугольного профиля, рассмат риваемой как бесконечный клин. Однако, строгое реше ние для треугольной контрфорсной плотины сложного сечения, работающей совместно с неоднородным осно ванием, в рамках классической теории упругости от сутствует.
В сложных случаях обычно прибегают к дальней шему упрощению расчетных схем, например, к замене единой системы «сооружение — основание» двумя от дельными системами «сооружение» и «основание» с за данием на границе между ними некоторого закона рас-
9
пределения |
напряжений |
или |
перемещении. |
Однако, и |
|
в этих случаях часто приходится вводить |
упрощающие |
||||
допущения |
и предположения |
и |
р а з р а б а т ы в а т ь прибли |
||
женные инженерные |
способы |
расчета. |
Стремление |
к наибольшему учету всех факторов, не поддающихся
расчету |
в рамках классической теории упругости, при |
|
вело в |
последние годы к развитию модельных исследо |
|
вании, |
например [6]. |
|
Развитие вычислительной техники с |
применением |
|
Э Ц В М |
способствовало широкому внедрению |
в практику |
инженерных расчетов приближенных способов решения уравнений теории упругости. Одним из них является
метод |
конечных элементов, который |
можно рассматри |
|||||||
вать |
как |
дальнейшее |
совершенствование |
вариационных |
|||||
способов решения задач теории |
упругости. |
|
|
||||||
§ 1.2. О |
В А Р И А Ц И О Н Н Ы Х |
СПОСОБАХ |
Р Е Ш Е Н И Я |
З А Д А Ч |
|||||
|
|
|
Т Е О Р И И УПРУГОСТИ |
|
|
|
|||
Подробное |
изложение |
применения |
вариационных |
||||||
принципов |
к |
решению |
задач |
теории |
упругости |
приво |
дится, например, в работах [1, 2, 9, 13]. Остановимся лишь на тех вопросах, которые будут полезны для обос нования построения метода конечных элементов. Сфор
мулируем принцип |
минимума |
для перемещений |
(прин |
||
цип Л а г р а н ж а ) : если некоторое упругое |
тело |
находится |
|||
в равновесии под |
действием |
внешних |
сил, |
то |
из всех |
мыслимых вариаций перемещений материальных точек этого тела действительными являются те, при которых потенциальная энергия системы (т. е. тела и приложен ных к нему сил) будет иметь стационарное (минималь ное) значение. Напомним, что в соответствии с теорией упругости потенциальная энергия системы может быть
записана |
в виде [2, 9]. |
|
|
|
|
|
|
|
Э = Э(и, |
V, w)—3(Q, |
Р), |
|
(1-7) |
где Э(и, |
V, |
w)—потенциальная |
энергия |
деформации |
||
|
|
тела; |
|
|
|
|
3(Q, |
|
Р)—потенциал |
внешних сил |
(работа внеш |
||
|
|
них сил, действующих на тело, на их |
||||
|
|
перемещениях) . |
|
|
|
|
Поясним сформулированное выше условие на сле |
||||||
дующем |
примере. Пусть имеется балка |
постоянного |
||||
сечения на двух опорах, |
нагруженная посредине |
силой Р |
||||
(рис. 1). |
В |
курсе сопротивления |
материалов |
доказы- |
10