Файл: Скорецкий, Э. С. Автоматизация отопительных систем.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.10.2024

Просмотров: 75

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В каждой точке тела, таким образом, определяется 15 неизвестных компонентов: три компоненты перемещений

(и, V, ад), шесть компонентов

напряжений

(ст.ѵ, Oy, <xr, хХу,

Xyz, "Г») и шесть компонентов

деформаций

Л-, ви,

ехху,

у У г , угх) • Поэтому для

решения

общей

задачи

нужно

иметь 15 уравнений, которые

можно было

бы применить

к каждой точке внутри

тела,

и

особые уравнения

(гра­

ничные условия), справедливые для любой точки по­ верхности, ограничивающей тело. Совместное решение этих уравнений, в принципе, позволяет определить на­ пряженно-деформированное состояние данного тела при данных нагрузках, т. е. напряженно - деформированное состояние расчетной схемы реального объекта.

Приведем основные уравнения линейной теории упру­

гости д л я решения задач при статическом

воздействии

нагрузок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения

равновесия

(уравнения

статики)

ах

 

'

àу

'

dz

1 г

 

'

 

 

 

дъух

I

да,і

I dz,

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрические уравнения

(уравнения

Коши)

 

 

du

 

 

du

I

du

I

 

 

s*

 

~дх'

I'v

— 'dJ'T'dT'

I

 

 

 

 

dv

 

 

dv

I

dai

I

 

 

 

 

âw

 

 

dw

I

du

I

 

 

S z

"35"'

^zx~~dT^"dT

 

 

)

 

 

Физические

уравнения

(обобщенный

закон Гука)

о я

=

2Gex

- ) - ЯѲ,

tXy

=

G^xy]

"J

 

oz

=

2Gez

+ 26,

X « = G y „ .

I

 

З д е с ь : G = 2 ( | E

+

^ ; Я = у ^ ; Ѳ = 3 з с р ; s c p = - L ( £ : ( + e y +

+ е г); P-X. ?У,

pZ — проекции

на

 

осп x, y, z объемной

силы, приходящейся

на

единицу

объема

тела .

7


геометрических уравнении:

В зависимости от принятого метода решения задач вместо геометрических уравнений (1—3) могут исполь­ зоваться уравнения неразрывности деформаций, полу­ ченные Сен-Венаном из

ô2l

ду

дх2

дх•ду

 

 

 

 

 

dz2

~І~

 

дуа'~'ду~дг'

 

 

 

 

 

д х 1

'

dz2

'àz-àx

 

 

 

 

(1-5)

 

 

-LEI'*.

 

 

 

дЧ

 

 

 

=2

 

 

dz

дх

dz

 

дх-ду

 

^

ду

 

 

 

_д_

 

 

 

 

-)=2

 

д2е

 

дх

ày

 

dz

дх

 

ду-dz

 

 

 

 

дх

atz,

=

2

д-^у

 

 

 

 

ду

 

 

дг-дх

 

Граничное условия могут быть заданы в виде компо­ нентов сил, приложенных на поверхности тела (статиче­ ские граничные условия):

рА .ѵ =

з х

cos {xv)

-L хху

cos (t/v) - f - ^« cos (zv);

Ï

 

py,

=

tyS

cos {xv)

- f ay cos (yv)

-f- xyz cos (zv);

}

( 1 " 6 )

Р г ѵ =

 

cos (л-ѵ) + Tz y cos (yv) 4 - az cos (zv). J

 

З д е с ь

р д Ѵ

p

,

p z w — проекции

на

оси л*, у,

z внешней

силы,

приходящейся

на

единицу

площади поверхности

тела;

cos(xv),

cos(yv),

c o s ( z v ) — н а п р а в л я ю щ и е

коси­

нусы, т. е. косинусы углов между нормалью к поверх­ ности тела и осями х, у, z в точке приложения силы.

Другим способом определения граничных условий является задание компонентов перемещений точек по­ верхности тела (кинематические граничные условия) . Возможно т а к ж е задание на одних участках поверхно­ сти компонентов перемещений точек, на других —- ком ­ понентов сил (смешанные граничные условия) .

В зависимости от того, какие неизвестные компонен- ' ты прежде всего необходимо определить, применяют различные методы решения задач теории упругости.

Метод перемещений. Принимают за основные. неиз­ вестные перемещения точек упругого тела:

" = Ы*> у, z), v = f2(x, у, z), w = fs{x, у, z) .


Тогда необходимо в физические уравнения (1-4) под­ ставить геометрические уравнения (1-3), т. е. выразить напряжения через перемещения. Затем полученные вы­ ражения подставить в уравнения равновесия (1-2). Получается система трех уравнений с тремя неизвест­ ными компонентами перемещений. Метод перемещений

наиболее часто применяется при решении

задач

мето­

дом конечных, элементов.

 

 

 

 

 

 

Метод сил. Принимают за основные неизвестные на­

пряжения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax = L(x,

У,

z),

oy = fs(x,

у,

2 ) ,

az=zft(x,

у,

z),

*ч/ =

М * -

У'

z ) '

"cux =

ft{x,

У,

z),

Tzx = f0(x, у,

z).

Выразив

в

физических

уравнениях

(1-4)

деформации

через напряжения, подставляют их в уравнения нераз­

рывности

(1-5).

З а т е м ,

используя

преобразованные

уравнения

неразрывности

и уравнения

равновесия

(1-2),

получают

шесть

уравнений

с шестью неизвестными

ком­

понентами

напряжений (уравнения БельтрамИ) .

 

Смешанный метод. В этом случае за основные не­ известные принимаются некоторые из компонентов пе­ ремещений и напряжений .

Известно, что далеко не все задачи, представляю­ щие практический интерес, могут быть строго решены

методами классической теории

упругости с доведением

до относительно

простых формул. Во многих случаях

геометрическая

конфигурация

тела и граничные усло­

вия настолько сложны, что определение напряженно - деформированного состояния в замкнутом виде оказы­ вается крайне трудоемким, а иногда и невозможным. Это относится, в частности, ко многим задачам, с кото­ рыми приходится иметь дело инженеру. Например, имеется строгое решение методом классической теории упругости для плотины треугольного профиля, рассмат­ риваемой как бесконечный клин. Однако, строгое реше­ ние для треугольной контрфорсной плотины сложного сечения, работающей совместно с неоднородным осно­ ванием, в рамках классической теории упругости от­ сутствует.

В сложных случаях обычно прибегают к дальней­ шему упрощению расчетных схем, например, к замене единой системы «сооружение — основание» двумя от­ дельными системами «сооружение» и «основание» с за­ данием на границе между ними некоторого закона рас-

9



пределения

напряжений

или

перемещении.

Однако, и

в этих случаях часто приходится вводить

упрощающие

допущения

и предположения

и

р а з р а б а т ы в а т ь прибли­

женные инженерные

способы

расчета.

Стремление

к наибольшему учету всех факторов, не поддающихся

расчету

в рамках классической теории упругости, при­

вело в

последние годы к развитию модельных исследо­

вании,

например [6].

 

Развитие вычислительной техники с

применением

Э Ц В М

способствовало широкому внедрению

в практику

инженерных расчетов приближенных способов решения уравнений теории упругости. Одним из них является

метод

конечных элементов, который

можно рассматри­

вать

как

дальнейшее

совершенствование

вариационных

способов решения задач теории

упругости.

 

 

§ 1.2. О

В А Р И А Ц И О Н Н Ы Х

СПОСОБАХ

Р Е Ш Е Н И Я

З А Д А Ч

 

 

 

Т Е О Р И И УПРУГОСТИ

 

 

 

Подробное

изложение

применения

вариационных

принципов

к

решению

задач

теории

упругости

приво­

дится, например, в работах [1, 2, 9, 13]. Остановимся лишь на тех вопросах, которые будут полезны для обос­ нования построения метода конечных элементов. Сфор­

мулируем принцип

минимума

для перемещений

(прин­

цип Л а г р а н ж а ) : если некоторое упругое

тело

находится

в равновесии под

действием

внешних

сил,

то

из всех

мыслимых вариаций перемещений материальных точек этого тела действительными являются те, при которых потенциальная энергия системы (т. е. тела и приложен­ ных к нему сил) будет иметь стационарное (минималь­ ное) значение. Напомним, что в соответствии с теорией упругости потенциальная энергия системы может быть

записана

в виде [2, 9].

 

 

 

 

 

 

Э = Э(и,

V, w)—3(Q,

Р),

 

(1-7)

где Э(и,

V,

w)—потенциальная

энергия

деформации

 

 

тела;

 

 

 

 

3(Q,

 

Р)—потенциал

внешних сил

(работа внеш­

 

 

них сил, действующих на тело, на их

 

 

перемещениях) .

 

 

 

Поясним сформулированное выше условие на сле­

дующем

примере. Пусть имеется балка

постоянного

сечения на двух опорах,

нагруженная посредине

силой Р

(рис. 1).

В

курсе сопротивления

материалов

доказы-

10