Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.10.2024
Просмотров: 34
Скачиваний: 0
Подставляя с учетом этих рассуждений (5 .3 .6 ) и (5 .3 .7 ) в ( 5 .3 .4 ) , убеждаемся в справедливости теоремы.
Итак,формальная процедура решения задач Неймана такая же, как и при решении задач Дирихле. Однако, если внешкян задача Неймана
решается однозначно и без дополнительных ограничений на заданную
функцию / ( 6 , Л ) , то внутренняя задача Неймана решается
лишь с точностью до произвольной константы и лишь при условии вы полнения дополнительного требования ( 5 .3 .3 ) .
Ряда ( 5 .3 .2 ) удается просуммировать. По этому поводу имеет
место следующая теорема.
Теорема 5 .3 ,2 . Решение внешней задачи Неймана может быть
выражено интегралом, |
носящим имя Диик |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 .3 .6 ) |
Решение внутренней задачи при условии |
выполнения |
(5 .3 .3 ) дается |
||||
с точностью до константы интегралом Дини вида |
|
|
||||
V.(t. |
|
|
|
|
|
|
S i |
р , Z |
|
|
|
|
|
Здесь обозначения R ., |
такие же, |
кал: |
и в |
(5 .2 .4 ), я |
||
соответствуют рис. 9 , |
с т р .76 . |
|
|
|
|
|
Доказательство опускаем. |
|
|
|
|
|
|
Замети*, что если т.М находится на еж ой |
сфере* |
т ;о 7 = г г ^ > г | - |
||||
и после преобразований формула |
(5 .3 .8 ) |
принимает вид |
||||
- 81 -
§4. Третья краевая задача
Эта задача представляет наибольший интерес для геодезии, и мы
рассмотрим ее более подробно, причем будем иметь ввиду лишь внеш
нюю задачу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Итак, |
требуется найти гармоническую и обращающуюся на беско |
|||||||||||
нечности |
в ноль функцию |
V M ( р , |
9 |
, |
Я ) пространственной |
||||||||
точки Ы ( |
р , |
9 , |
Л ) . |
В качестве краевого |
условия на сфере |
||||||||
-Г? |
радиуса R |
с |
центром в |
начале |
координат |
задана непрерыв |
|||||||
ная функция |
/ |
( |
& , |
' Я |
) , представляющая |
|
линейную |
||||||
комбинацию значений искомой функции |
|
V |
= |
|
V |
( R- , в , Я ) |
|||||||
и значений ее нормальной производной |
|
— |
|
|
я- |
на сфере, |
|||||||
т .е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л) - йъ[<Х- Vfp, |
|
S |
|
|
|
J |
, |
|
( 5 . 4 . 1) |
|||
где |
|
oi |
, J2> |
|
- некоторые константы. |
|
|
|
|||||
|
Теорема 5 .4 .1 . |
Если для всех целых |
|
гг |
|
соблюдается усло |
|||||||
вие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Х FL - j& ( ъ - и ) ф о j |
|
|
|
|
|
(5 .4 .2 ) |
|||||
то решение внешней третьей краевой задачи может быть описано ря дом шаровых функций
. . . |
, |
|
0 . у ft)"*1 и*(е,А) |
г |
|
|
|
|||
\/м(р,в,Я ) |
|
/L. [Р / |
cut -&(и-и) |
|
( 5 .4 .3 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
S C * * ') |
' |
|
||
где |
исЛ |
в |
, |
Я ) - |
сферические функции Лапласа |
( 3 . 4 . 2 |
) . |
|||
Доказательство. |
Согласно ( 4 .1 .8 ) , |
искомая функция |
V |
( р |
, |
|||||
9 , |
Л ) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||
VM(p, |
|
= |
Z |
р |
6 - |
- > |
|
|
( 5 .4 |
.4 ) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
*шО |
J |
|
|
|
|
|
|
- 82 -
где сферические функции X „. ( О , Л ) подлежат определению.
Составим с учетом ( 5 .3 .5 ) |
линейную комбинацию функции |
'/ |
и |
|
ее т р а л ь н о й производной |
Ър |
: |
|
|
Z j b M e- *) - Z77 Р |
= |
|
|
||
- g x . |
( * |
. » [ |
f * |
- |
■ |
В пределе при |
р •-»- |
R шаровые функции |
~ A f” * 1 |
/ |
( |
~p~*z |
Л п(в,Я) |
||||
имеют в качестве области определения сферическую поверхность, а
потому являются, по существу, поверхностным!! сферическими функ
циями. |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
условие |
( 5 .4 .1 ) требует, |
чтобы |
{ ( 9 ^ ) - Z _ T f I ^ t j o X J g r l ) |
|
|||
|
и -о |
|
|
|
Но |
/ ( в , Я ) |
всегда |
представимо в виде |
( 3 . 3 . Г ), т .е . |
f(e, Я) - £ |
|
|
^ |
и.ъ(е. Л) ~ |
||
|
4"* ~0 |
|
|
|
|
|
известные |
функции Лапласа |
( 3 . 4 . 2 ) . |
Поэтому краевое |
условие (5 .4 .1 ) |
||
равносильно требованию: |
|
|
|
|
|
|
Z U , ( |
а л ) - 1 |
■J t P |
- |
X1 . [в , |
л ). |
(5.1.5) |
Отсюда и находим искомые функции X „ |
( 9 , |
А ) : |
|
|||
|
fL |
|
|
|
|
|
Х и / Й |
Я) = ос/г. -j 3(*+i) Ял.*(в, л). |
( 5 .4 .6 ) |
||||
Подставляя ( 5 .4 .6 ) в ( 5 . 4 . 4 ) , мы и получим утверждение ( 5 . 4 . 3 ) .
|
|
- |
ъ з |
- |
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
Заметим, |
что формулы |
(5 .2 .2 ) |
и ( 5 .3 .2 ) для внешних задач Ди |
||
рихле и Неймана являются |
частными случаями выведенной формулы |
||||
( 5 .4 .3 ) . Так, |
при |
ос |
= I , |
J |
= 0 формула ( 5 .4 .3 ) принимает |
ввд ( 5 . 2 . 2 ) ; |
при |
= |
0 , |
|
= I формула ( 5 .4 .3 ) лринимает |
вид ( 5 . 3 . 2 ) . |
Это и понятно, т .к . |
при выбранных значениях ск |
|||
иJo сама внешняя третья краевая задача вырождается соответ
ственно во внешние задачи Дирихле или Неймана.
Однако дая геодезии особый интерес представляет третья задача
с< = |
|
^ |
у в - |
/ |
, |
При этих |
значениях констант: |
||
ЫЦ - |
j j |
+/) |
=- 2 |
- |
п. - / = |
/ - |
гг. |
|
|
л формула ( 5 .4 .6 ) |
принимает |
вид |
|
|
|
|
|
||
Х п ( е , л ) ~ |
И'**'- — |
|
|
. |
|
|
( 5 .4 .7 ) |
||
Поэтому найти однозначно сферическую функция I -ой степени |
|||||||||
Х,( Э , Я ) |
не удается. Формула |
(5 .4 .7 ) при |
гь |
- I может иметь |
|||||
какой-либо |
с и с л |
лишь при условии |
|
|
|
|
|||
|
|
U , (9, Я) - О . |
|
|
( 5 .4 .8 ) |
||||
При этом, разумеется, |
сферическая функция Хт ( |
9 , |
я ) может быть |
||||||
любой и, стало быть, решение задачи становится неоднозначным. Сфор мулируем эту мысль в виде следствия из теоремы 5 .4 .1 .
Следствие. Вели в (5 .4 .1 ) о( ^ и ~ 1, то третья
внешняя краевая задача может быть’-решена лишь с точностью до про
извольной |
сферической |
функции I -ой |
степени Х -( 0 , |
Я ) . Дяя этого |
|
необходимо |
выполнение |
следующего дополнительного условия на функ |
|||
цию |
f |
( в , /? ) |
|
|
|
|
|
{ / / Й А')- сы, у - d Q |
-- С, |
( 5 .4 .9 ) |
|
л