Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.10.2024
Просмотров: 35
Скачиваний: 0
|
|
- |
9 - |
|
|
|
ентов разложения сохраняется. |
|
|
|
|||
Наоборот, если для какой-либо функция |
/ ( М ) |
известны |
||||
коэффициенты разложения |
Л |
по определенной полной |
системе |
|||
( I . 2 . 1 ) , то |
/ ( |
М ) |
можно считать полностью известной. |
|||
В теоретической |
геодезии |
часто приходится иметь дело |
с функ |
|||
ция!®, заданными на поверхности сферы единичного радиуса, хотя, со гласно физическому смыслу, их область определения более обширна,
скажем, все трехмерное пространство. Как правило, эти функции очень сложны и потому важнейшим средством их описания являются функцио нальные ряды. При этом наиболее удобно использовать ряда по так на зываемым сферическим функциям, составляющим полную ортогональную систему на поверхности единичной сфере. К изучению таких функций
ш и переходим.
Ш ВА П. ОБЩИЕ СВЩ ЗШ О СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
|
§1. |
Постановка задачи |
|
|
|
|
|
|
Мы уже |
знаем из |
предыдущей главы, |
что |
наша цель теперь |
состоит |
|||
в получении системы |
функций трех переменных |
/, ( х , у , |
н |
) , |
||||
f i (х . У» |
2 ) , . . . , |
/ « .( х , у , 2 |
) , |
. . . , |
определенной во |
всем |
||
трехмерном пространстве и обладающей свойством полноты а ортогональ ности на поверхности сферы единичного радиуса с центром в начале координат. Как ее найти? Не имея никакой дополнительной информа ции, сделать это очень трудно. Поэтому мы заранее скажем, что ин тересующие нас функции надо искать среди т е х , которые являются одновременно и однородным* фунмфями, и гармоническими.
|
|
|
|
|
|
- |
10 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напомним, |
что произвольная функция трех переменных |
|
|
|
||||||||||||||
f |
(х , у , |
г |
) |
называется однородной функцией |
п |
-г о |
порядка |
||||||||||||
относительно |
переменных х , |
у , |
Е |
|
, |
если |
при любом числе |
|
К |
|
|||||||||
справедливо тождество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
£ (кх , ку, к а ) = к п - $ (х , у , Z |
) ; |
гг = О, I ,' 2 , . . . |
|
|||||||||||||||
|
Например, |
|
/ (х , у , г |
) = — |
х |
|
-------- |
|
есть |
однородная |
|||||||||
функция нулевого |
порядка, |
|
т .к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
к К ■ |
|
|
/С г |
|
|
|
|
|
|
|
|||
функция вида |
/ |
(х , |
у , |
г |
) = |
х3 |
- |
5 ху г |
+ у 3 |
- |
2 3 |
+ |
Зх2у |
|
|||||
есть , очевидно, однородная функция (а именно, полином 3-ей сте |
|
||||||||||||||||||
пени) порядка три. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Далее, |
дважды дифференцируемая функция |
/ |
(х , |
у , г |
) |
|
||||||||||||
называется гармонической, |
|
если |
суш а ее |
вторых частных произ |
|
||||||||||||||
водных равна нулю, т .е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 l L + X L ^ X ± = п |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Э / 1 |
|
' Ы |
|
|
|
U • |
|
(2 .1 ,1 ) |
|
|
|
||||
Дифференциальное уравнение ( 2 . I . I ) |
|
носит имя Лапласа. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
функция называется сферической |
(в частности - |
объемной |
|
сфе |
|
|||||||||||||
рической. или, что то же самое, шаровой) |
|
гг |
-го |
порядка, |
|
||||||||||||||
если она гармоническая и однородная |
П - |
го порядка. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Пусть |
LL |
= |
/ |
(х , |
у , |
Z |
) |
есть одна из таких объемных |
|
|||||||||
сферических (шаровых) функций |
|
|
п. -то порядка. |
Если ее |
|
выра |
|
||||||||||||
зить |
через |
пространственные полярные координаты |
f i > 6 |
А. |
» |
||||||||||||||
- II -
связь которых с прямоугольными такова
X = _р -i-Clrz- Q Co'S Л
У = Р Vb. в S-c-w-я
z = р СоЛ Q |
|
|
|
|
|
о s? б> ^ 7 Г ; |
о ^ Я ‘= 2 л г ; <р ^ о ; |
|
|
||
то в силу однородности порядка |
гь |
функции |
UL |
, будем |
|
иметь всегда |
/ (х , у , z ) |
= р " |
< f(6 . Л ) |
■ |
|
Таким образом, объемная сферическая (шаровая) функция, выра |
|||||
женная в полярных координатах, |
всегда представляется в |
виде про |
|||
изведения двух сомножителей. Второй из этих сомножителей можно
рассматривать, очевидно, |
как функцию точки |
сферической поверх |
||
ности единичного |
радиуса |
р |
= 1 . Такого |
рода функцию У(в, л ) |
принято называть |
поверхностной |
сферической |
или просто сфери |
|
ческой функцией.
Интересующие нас функции следует искать именно среди класса сферических функций. Дело в том, что для любых двух функций
/(х , у , ? ) и f (х , у , Z ) , гармонических в некоторой
пространственной области |
, внешней или внутренней отно |
|
сительно замкнутой поверхности |
S2 |
, справедлива формула |
г р “ : |
|
SI |
|
|
|
J - t |
и |
A L |
где |
|
|
по нормали |
J |
к |
|
|
= |
|
|
- производные функций f |
• |
? |
||
поверхности |
ЛП |
. Поэтому, |
если |
/ |
и^ есть к тому же однородные функции порядков соответ
ственно |
At |
и |
tn. , п. |
^ «-г- |
, а |
-S2^"2 |
есть |
сфери |
|
ческая |
поверхность |
единичного |
радиуса, |
то |
/ |
(х , у , |
г |
)= |
|
-12 -
=p ' c f i e . A ) . $(Х , 7 , Z ) • f ” у ( б > , л ) , a
производные функций / |
и |
f |
|
по нормалям совпадут с произ |
водными по направлению радиуса |
|
р |
. В эрой ситуации форму |
|
ла Грива дает |
|
|
|
|
J [ p n У ( 9 , Л ) ^ р ~ ~ ' у ( д , Л ) - p ~ V ( 9 , d ) n p n "- |
||||
<f(e.A)l*LSi =Jp " ~ " |
У(9.Ю- V(Q, Л) ('— " ) U-Q= 0. |
|
Поэтому |
Д к -л и. ) J- |
Л.) У Р о , Я ) сС Р 2 — О . |
Отсюда и следует нужная нам ортогональность поверхностных сфери
ческих функций различных порядков |
гь |
и |
т . ( п , ± |
т _ ) . |
В дальнейшем мы уточним все участвующие |
здесь понятия, |
а |
||
пока лишь примем к сведению целесообразность внимательного зна комства со сферическими функциями.
§2. Однородные гармонические многочлены
Нас, в основном, будут интересовать не произвольные однород
ные функции, а лишь однородные многочлены. |
|
|
Легко видеть, что показатель степени |
п . |
однородного |
многочлена трех переменных всегда совпадает |
с показателем его |
|
однородности, в поэтому мы не будем больше делать различий меж
ду |
этими друяя понятиями, а любой однородный многочлен трех пере |
||
менных степени |
п , |
будем обозначать LL*. ( х , у, 1 ) . |
|
|
Так, например, U ± (x ,y ,l)= C L 0X :L+U,y*'+CL1. p t'->Cki xy+cx*xi*(A^:lj |
||
где |
Ol . , |
|
Cl г - произвольные действительные |
коэффициенты. |
|
|
|