Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

ния теоремы 4.3.2.

Другими словами, в разложениях (4.3.2)

в

рассматриваемой ситуации будут участвовать только члены,

соответ­

ствующие четным

гь

. Надо лишь начало системы координат по­

Зафиксируем эту мысль.

Теорема 4.3,3. Пусть притягивающее тело &

таково, что

JO

,

Ч, (f,@) = 2 i

^

Р >^

4 ( Z Z = Z F

'с ) У J

(4.3.3)

р < £■

Именно такое разложение будет иметь,

например, потенциал

двухосного эллипсоида с симметричным распределением масс.

Б заключение заметим, что если тело обладает лишь одной плос­

костью симметрии,

то никаких видимых упрощений в формулах (4.1.8)

добиться нельзя.

Единственно можно поместить начало координат в

циального уравнения Лапласа

- 3 V

+ _ § v + _ a v

э х *

э у *

г г '

в некоторой пространственной области

по тем или иным

предельным условиям, которые должны выполняться

на границе &

рассматриваемой области. Границей области

^

обычно служит

замкнутая поверхность S 2

. В

зависимости от

того , является

ли рассматриваемая область

и )

внутренней

или внешней по

отношению к граничной поверхности

&

, краевые задачи назы­

ставится

всегда

условие, чтобы искомая гармоническая функция

V (X,

У, 2

) имела своим пределом 0

при неограниченном уда­

лении от граничной поверхности.

Характер краевых задач зависит от того , какие именно условия

должны выполняться на поверхности

О.

. Если

на / 2

зада­

ны значения искомой функции

V

, то

такая

задача называется

задачей Дирихле,

если же на поверхности 52

заданы значе­

ния не самой функции

V

, а именно ее нормальной производ-

ч

,

ной

(т.е. производной по направлению нормали к поверх­

ности Л

),

то задача носит имя Неймана.

В геодезии важное

п

задаются линейные комбинации искомой функции

V

и

о

„

„

3 U'

+

Q V

значетш ее нормальной производной

grTZ > т.е. о< V

,

где

с<

- константа.

Краевые задачи, в которых граничные

условия различны на разных участках граничной поверхности,

краевых задач потенциала в тех случаях,

когда

граничная поверх­

ность

есть сфера. Будем предполагать всегда, что кра­

евые условия непрерывны.

§2.

Первая краевая задача -

задача Дирихле

Пусть на сфере радиуса R.

с центром в начале координат

задана функция широты и долготы

£

(

О ,

А

). Требуется

найти вне сферы такую функцию

V”

пространственной точки

{ р

, 9 , А

), которая удовлетворяла бы уравнение Лапласа,

обращалась бы в ноль на бесконечности:

и совпадала бы

с функцией

\-

( 9

,

А

)

на поверхности

сферы

в том смысле, что

- 74 -

- f ( e . a ) •

( 5 .2 .1 )

Можно доказать существование и единственность

такого решения,

мой функции

V

( р ,

9

, Я

).

Мы приступаем к решению с позиции теории сферических функ­

ций.

Теорема 5 .2 .1 .

Решением внутренней

задачи Дирихле является

ряд

РО

р а

е , л ) -

и * ( & , л )

)

я -о

а решением внешней задачи -

ряд

V ( f t

Я )

~ У *

р --.Р

и С ~ (д , A )

Р > R,. ;

и «в

я

J

где

66 и.{

,

) -

сферические функции Лапласа ( 2 .4 .2 ) .

Доказательство.

Мы уже знаем, что

потенциал

\ЛМ

в любой

точке пространства М{ р

,

9

, Л ),

создаваемый любым притягива­

ющим телом,

всегда может быть описан рядами шаровых функций

( 4 .1 .8 ) .

Надо лишь соответствующим образом

подобрать сферичес­

кие функции Х„( & ,

Л )

и

(

&

,

Л

) .

Поэтому

и мы

будем

искать решение задачи Дирихле в виде

( 4 .1 .8 ) , подбирая функции

Xп.

и У*,

так ,

чтобы удовлетворить

краевое условие ( 5 .2 .1 ) .

Заметим, что

в

пределе

при

jo

— ■ &

шаровые функции

Л )

ц

р п- У* ( о , Л )

имеют в качестве области

определения сферическую поверхность

(радиуса К ) ,

а потому явля­

ются, по существу,

поверхностными сферическими функциями. Поэто­

му условие

(5 .2 .1 )

требует,

фактически, чтобы

¥(в,л) - 2р

R- ■

лj .

И*р

тis