Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.10.2024

Просмотров: 36

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

 

-

18 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка в

 

t6 n .(x ,

у ,

2

)

 

значений

и>ъЛ, ^ 0 -

■be* Я и

с^ь& ш есто

соответственно

X,

 

У и

Z

эквивалентна

делению всех

переменных х ,

у ,

2

 

 

многочлена

^ п .( х ,

у ,

2 )

на

р

 

 

, т .к .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-£би.0ОЗ Я

~

~JT }

 

 

 

— —jg—

,

 

& ~

ЯрГ

 

 

а

потому

в

силу

 

гъ -го

порядка однородности

U .n(x, у ,

2

)

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LCn^U.*.Q (л>А Л,

-S^n.0-

Я ,

 

 

— - jp г

£ £ * ^ х , у, 7^ ),

 

 

Отсюда ясно,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ £ . / х , Ч , Ъ ) = р ' и * ( к * 9 - ъ * Л .

 

 

 

А ^ ф р ' и ^ , , $ (2 .3 .2 )

Подчеркнем,

 

что

 

если

U ^ ( x ,

у ,

2

)

является многочленом

 

 

относительно

X,

 

У,

2

 

, то р "

U„ (в, А ) относительно новых

переменных

р ,

в ,

Я

многочленом уже не

является, поскольку

 

заранее

видно,

что переменные

&

 

ж

Я.

входят под

зна­

ком трансцендентных функций синуса и косинуса. Поэтому р " U„(e, Я)

принято называть сферической функцией (а не многочленом!), в

частности, объемной сферической функцией, поскольку областью ее

определения служит

все

трехмерное

пространство.

Таким образом,

объемная сферическая функция

/2.

-г о порядка р ” U „ ( в , Я )

ничем, в принципе,

не

отличается

от

известного

нагл многочлена

П-ой степени. Более того , это и есть сферический многочлен с

областью определения в виде всего трейлерного пространства, но

только выраженный через сферические координаты. Объемную сфери­

ческую функцию называют шаровой. Она естественным образом разби­

лась на два сомножителя, один из которых зависит

только от

ради­

уса р

, а второй есть функция только широты

и долгты

& и

Л.

- 19 -

Особый интерес представляет второй сомножитель - IL* (<9,2J ,

который принято называть поверхностной сферической функцией или

просто сферической функцией гъ -го порядка, поскольку ее

областью определения служит единичная сфера.

Таким образом, можно сказать, что областью возможных значе­

ний сферической функции

LL« ( 9 , /^ является совокупность зна­

чений, которые сферический многочлен

у ,

? )

принима­

ет на сфере радиуса

р = I с центром в

начале

координат.

Итак,

т закончили с

определением понятия сферической функ­

ции и переходим теперь к изучению ее структуры.

 

 

 

Теорема 2 .3 .1 .

Всякая общая сферическая функция

П.

-го

порядка

U « ( & ,

Я )

дажет быть представлена в

виде линейной

комбинации^ tb + i ) основных сферических функций,

каждая из

кото­

рых есть

многочлен относительно синусов и косинусов углов

&

иЛ , причем одночлены этого многочлена есть произведение

функции только

одного

6

на функцию только

одного

Я

 

 

Доказательство.

Прежде в се го ,

поскольку

СС~,(х,

у,

~Zj

- многочлен, то, в силу

формул ( 2 .3 .1 ) и ( 2 .3 .2 )

можно сказать,

что

сферическая функция

 

( 9 ,? . ) есть

тоже многочлен,

но

только относительно синусов и косинусов углов

&

и

Л

,

т .е .

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

т , ,

т

т

3 _ любые натуральные числа такие,

что их

сумма равна

степени

г ъ

 

. Например,

 

 

 

 

 

U ^ 9 , 2 ) ^ a .

 

 

 

Ч- а ,

, г9- U- ^ Л Ч- 6U

 

 

■+

+ CLt

 

‘- ' - А

ч-

а „ и . ъ в - и * 9 - ь * Л + а ; * * В - м 9 М ь Л .

- 20

Существенно, что каждый член таких многочленов есть произве­ дение функции только одного & на функцию только одного Л •

Теперь вспомним, что каждый сферический многочлен степени

Пможно представить в виде линейной комбинации {2 Гъ + i j

основных сферических многочленов в той же степени

ги (2 .3 .2 ),

Но каждому

основному сферическому многочлену по формуле (2 .3 .2 )

ставится в

соответствие определенная сферическая функция Lin(Q,H\

которую также будем называть основной сферической функцией.

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

Следупцая теорема еще больше уточняет структуру основных, а ,

следовательно, и общих сферических функций.

 

 

 

 

Теорема 2 .3 .2 .

При любом

п .

набором основных сферических

функций

П.

-г о

порядка могут

служить следующие 2 гъ + I функ-

 

 

 

р ^ ( и , д в ) - Р } х>С ^ в ) -

 

 

 

где

Р с*’[ и>ъ &J

— есть

либо

многочлен

/г

-й степени относи­

тельно

М

в

, либо многочлен

 

( п .- 1)-ой

степени

относительно

со4

9

, помноженный на

&■ .

 

 

 

 

 

^яяяталт,с»рво. Прежде всего',

заметим,

что мы пока Не претен­

дуем на конкретный вид основных сферических функций, в частности

Р ^ к ) ( Со* 9 ) , к =

О, Г , 2

,

. . . . П, , а пытаемся

лишь выяснить

их общую структуру.

Согласно

 

теореме 2 .3 .1 . каждый

одночлен, из

которых складывается сферическая функция, представляет произведение вида

О о * Г * о ) - f a

Л ■

■

 

 

-

21 -

 

 

 

 

 

Рассмотрим пока лишь сомножители,

содержащие только

Я ,

т .е .

ОолГ' Я •

 

>

где

/тг. +

/ъ . До­

пустим, что т .^

есть

число четное.

Тогда

 

 

Co'S

■S-Сйг. Я

~ ~

Я )

г '

 

 

 

есть

некоторый многочлен степени

tn, + m t

относительно со i /£.

Из тригонометрии известно, что любую степень

и,л л

можно

представить в виде тригонометрического многочлена относительно

только косинусов целых кратностей

Л

.

Так,

 

 

 

 

 

Со Я л = х / / +■ и> j 2 Л ); ьуЬ*Л =

 

 

з , ? -г- 3

,? J ;

Со } 7 /? = ~«r f C o b 4 Л *- 4

 

л + 3 )

 

 

 

и .т .д .

 

 

Поскольку для различных одночленов одной и той же сферичес­

кой функции степень

Ш,

+

пьг.

принимает целые

значения

от

0 до

FL

,

то

число

членов с

косинусами

различных кратнос­

тей

угла

Л

 

в

правой

части ( 2 .3 .2 )

будет

 

П +

I , т .е .

Cc i

H./J ,

Со h (н- о л , -

v

Co-J 2 Л ,

Co b A j

Со'Ь О .

 

Аналогично доказывается,

что

среда всех

одночленов

правой

части

( 2 .3 .3 ) , у которых

Шз.

число четное,

будет ровно

 

гь

членов

с синусами

различных кратностей углов

 

Л

,

т .е .

 

 

 

 

ЬЛст, и. Л у

 

 

f a

- 1)

Л )

■ ■

■ >

 

 

2. Л. ,

Pt-'к. Л .

 

Таким образом,

число различных тригонометрических одночленов в

правой

части

( 2 .3 .3 ) ,

каждый из которых содержит либо

только ко­

синус, .либо только синус целой кратности угла

Л

,

равно

 

П + I + гь

 

= 2

/г + I , т .е . как раз

числу

основных сферичес­

ких функций

tb -го порядка. Сделав

в

правой части ( 2 .3 .3 ) при­

ведение

подобных

членов

относительно

синусов

и косинусов

целых

кратностей

 

Л

,

да сведем (2 .3 .3 )

к

такому

виду

 

 

 

Смотрите также файлы