Министерство образования Оренбургской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Орский машиностроительный колледж» г. Орска Оренбургской области

Специальность: 22.02.03 «Литейное производство черных и цветных металлов»



ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

на тему:

Способы решения задач на переливание

по дисциплине

Математика

Председатель ПЦК			Е. Л. Абрамова
	(подпись)		(И.О. Фамилия)
Руководитель проекта			У. С. Яковлева
	(подпись)		(И.О. Фамилия)
Студент			А. С. Шалабаев
	(подпись)		(И.О. Фамилия)

Орск, 2023

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ 5

1.1 Из истории задач на переливание 5

1.2 Типы и методы решения задач на переливание

РАЗДЕЛ II.

2.1

2.2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без задач о переливании жидкостей из сосуда в сосуд. Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

---

Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач. Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании отдельных таблиц, в которые заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Задачи на переливание относят к логическим задачам, решение которых не только очень увлекательный, но и полезный способ времяпрепровождения, как для школьников, так и для взрослых.

Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что основная проблема разностороннего изучения математики в школе является нехватка времени на решение логических задач, в частности задач на переливание. К сожалению, в учебниках математики не рассматриваются способы решения задач на переливания и не многие учащиеся умеют их решать.

Целью написания индивидуального проекта является изучение способов решения задач на переливание.

Согласно цели, можно выдвинуть следующие задачи:

• 
  изучить историю происхождения задач на переливание;
  
• 
  рассмотреть основные типы задач на переливание и алгоритмы их решения;
  
• 
  привести примеры решения задач на переливание.
  

Объектом исследования являются задачи на переливание.

Предметом исследования способы решения задач на переливание.

Информационная база представлена научными трудами Е.П.Коляда, Я.И.Перельман, В.Н.Русанов.

Объем и структура индивидуального проекта – объем ___ страниц, введение, 2 главы, заключение, список литературы.
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ
1.1 Из истории задач на переливание
Задачи на переливание – один из видов старинных задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес.

Непросто определить, в каком трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей. В одном средневековом сочинении, относящемуся к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача:

«Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» – спрашивает второй слуга. «8 мер», – отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», –заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

---

Широкой публике эта задача стала известна после выхода книги «Игры и задачи, основанные на математике» французского ученого Клода Гаспара Баше (1581-1638). На русский язык эта работа К. Баше была переведена в XIX веке.

Одной из наиболее известных старинных задач на переливание является так называемая «Задача Пуассона».

Симеон Дени Пуассон (рисунок 1) (1781-1840) – французский математик и физик, работавший над статистикой, комплексным анализом, уравнениями в частных производных, вариационным исчислением, аналитической механикой, электричеством и магнетизмом, термодинамикой, упругостью и механикой жидкостей.

Существует мнение, что выбор будущей профессии был сделан им именно после решения задачи на переливание, которую в последствии и назвали его именем.



Рисунок 1. Симеон Дени Пуассон

Знаменитая задача Пуассона (рисунок 2) имела следующее условие: «Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,586 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом в 8 и 5 пинт. Сможет ли он разделить вино?» В современном виде условие звучит так: «Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?»



Рисунок 2. Иллюстрация к задаче Пуассона
Блестяще справившись с решением этой задачи и еще нескольких подобных, Пуассон окончательно определился с выбором профессии.

В наши дни задачи на переливание – это популярный вид логических задач, которые часто предлагаются в качестве олимпиадных на различных состязаниях.

1.2 Типы и методы решения задач на переливание







Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

• 
  «Водолей» – задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.
  
• 
  «Переливашка» – задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.
  

---

В задачах на переливание разрешены следующие операции:

• 
  заполнение жидкостью одного сосуда до краев;
  
• 
  переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;
  

При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

• 
  разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;
  
• 
  разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;
  
• 
  разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.
  

Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

а) начать переливания с большего сосуда;

б) начать переливания с меньшего сосуда.

Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм:

1. 
   Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.
   
2. 
   Перелить из большей емкости в меньшую емкость.
   
3. 
   Вылить жидкость из меньшей емкости.
   
4. 
   Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.
   

При решении задач второго типа («Переливашка») можно использовать следующий алгоритм:

1. 
   Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.
   
2. 
   Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.
   
3. 
   Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
   
4. 
   Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.
   
5. 
   Если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.
   

Примеры задач на переливание, где участвуют два сосуда, воду наливают из водопроводного крана (реки), лишнюю воду выливают

1. Как, имея два ведра: емкостью 5 и 9 литров, набрать из реки ровно 3 литра воды?

Решение:

1шаг - набираем 9л и переливаем в 5литровую, остается 4л 
2шаг - 5литровую выливаем и переливаем туда эти 4л 

---

3 шаг - теперь снова набираем 9л и доливаем из нее в 5литровую, тогда останется 8л 
4 шаг - 5литровую выливаем и отливаем 5л от 8л, останется 3л

Задача решена. В 9-литровом сосуде получили ровно 3л.
2. Как с помощью 2-литровой и 5-литровой банок отмерить ровно 1 литр? 

Решение:



Задача решена. В 5-литровом сосуде получили ровно 1л.

3. Есть два кувшина емкостью 5 л и 9 л. Нужно набрать из источника 7 л воды, если можно пользоваться только кувшинами.

а) Решим задачу, наполнив первым действием 5-литровый кувшин. 


б) Решим задачу иначе. Наполним первым действием 9-литровый кувшин.



Задача решена. В 9-литровом кувшине получили ровно 7л.

4.Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана? 

Решение:



Задача решена. В 5-литровом сосуде получили ровно 1л.

5. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?Решение:



Задача решена. Во фляге получили ровно 4л.

6. Имеются два сосуда вместимостью 3л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

 Решение:

3 л	0	3	0	2	2	3
5 л	5	2	2	0	5	4

Задача решена. В 5-литровом сосуде останется ровно 4л.

7. Имеются два сосуда вместимостью 8л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7л воды?

---

Смотрите также файлы

• Программа среднего профессионального образования 44. 02. 02 Преподавание в начальных классах Дисциплина Иностранный язык ( немецкий) Практическое занятие 8.docx

• Сынатан ткізу.docx

• 2. Перечислите особенности административного процесса.docx

• Программа среднего профессионального образования 44. 02. 02 Преподавание в начальных классах Дисциплина Культурология.docx

• Занятие 1 Выполнил обучающийся Аминова Айсылу Гамировна Преподаватель Суспицына Александра Андреевна Пенза2020.docx