Файл: 3290. 46Рейтингruvds comVdsvpsхостинг. Скидка 10% по коду habr10.pdf

первоначальную фигуру длиной около тридцати футов и высотой от фута до полутора футов. Его высота постепенно уменьшалась, и после погони в одну- две мили (3 км) я потерял его в извивах канала.
Эта странная волна вела себя не так, как обычная волна на поверхности океана.
Волны на море (и многие другие знакомые виды волн) движутся со скоростью,
зависящей от длины их волн. Это явление называется дисперсией. Возмущение,
подобное тому, которое возникло перед баржей Рассела, можно представить как суперпозицию чисто синусоидальных волн, каждая из которых имеет свою длину волны. Однако если на поверхности открытого океана образуется компактное возмущение, то каждая из составляющих его волн будет двигаться с разной скоростью. В результате начальное возмущение не сохранит свою форму. Вместо этого такая волна станет растянутой и искажённой.
Обладая пытливым умом, Рассел продолжил своё случайное открытие с помощью контролируемых лабораторных экспериментов и количественно описал открытое им явление в публикации 1844 года. Там он показал, например, что уединённые волны большой амплитуды в канале движутся быстрее, чем малые — нелинейный эффект.
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
12 of 30 15.10.2021, 19:52

В 1830-х годах инженер Джон Скотт Рассел наблюдал странную волну на
Юнион-канале в Шотландии, которая не рассеивалась обычным образом, а
сохраняла свою форму по мере продвижения по каналу. Потребовалось более
века, чтобы это явление было понято как результат нелинейных эффектов,
компенсирующих ожидаемую дисперсию. Один из авторов (Забуски) и покойный
Мартин Крускал придумали термин солитон для описания такой волны,
которая может возникать в различных физических системах. На этой
фотографии 1995 года изображена частично успешная попытка воссоздать
волну Рассела на канале Юнион. (Фотография любезно предоставлена Крисом
Эйлбеком, Университет Хериот-Ватт).
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
13 of 30 15.10.2021, 19:52

В 1895 году голландский физик
Дидерик Кортевег и его студент
Густав де Врис
(де
Фриз) вывели нелинейное дифференциальное уравнение, известное сегодня как уравнение Кортевега-де Фриза
(КдФ), которое, по их мнению, может описать результаты экспериментов Рассела. Это уравнение показывает, что скорость изменения во времени высоты волны определяется суммой двух членов:
нелинейного (который приводит к амплитудно-зависимым скоростям) и линейного
(который вызывает дисперсию, зависящую от длины волны). В частности,
Кортевег и де Фриз нашли решение для одиночной волны, которое соответствовало странной волне, за которой Рассел следовал верхом на лошади.
Это решение возникает в результате баланса между нелинейностью и дисперсией.
Голландские физики также нашли периодическое решение своего уравнения, но они не смогли получить общие решения.
Их работа и наблюдения Рассела канули в безвестность и были проигнорированы математиками, физиками и инженерами, изучающими водные волны, до начала
1960-х годов, когда один из авторов данной статьи (Забуски) и ныне покойный
Мартин Крускал из Принстонского университета приступили к изучению цепочки
ФПУ. Они начали с классической модели ФПУ, но использовали, по сути,
бесконечно малые пружины и массы, чтобы представить непрерывную линию деформируемого материала, а не серию дискретных масс. Этот подход позволил им изучить ситуации с большими длинами волн и получить дифференциальное уравнение, которое соответствовало обычному уравнению, описывающему линейные волны, за исключением изменённой дисперсии. Чтобы представить прогрессирующие волны в системе, Крускал вывел из этого уравнения то, что он и
Забуски позже признали как уравнение КдФ. Это казалось неразрешимой аналитической задачей, поэтому они (с помощью Гэри Дима, который в то время работал в Bell Telephone Laboratories) использовали численное моделирование,
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
14 of 30 15.10.2021, 19:52

чтобы наблюдать почти полное повторение начальных условий. Для описания своих решений уравнения КдФ они придумали термин, который стал широко использоваться для обозначения явления уединённой волны: солитон.
На реке Северн в Англии можно заниматься сёрфингом, поскольку широкое
устье периодически направляет исключительно высокие паводковые приливы
вверх по реке, образуя так называемые приливные боры. Волны, которые
следуют за начальным натиском, сохраняют свою форму на протяжении
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
15 of 30 15.10.2021, 19:52

многих километров, позволяя совершать рекордные заезды для сёрфинга.
Такие недисперсионные волны возникают во многих физических системах,
включая, казалось бы, простую систему масс и пружин
Они обнаружили, что солитоны развиваются из начального состояния и затем перемещаются влево и вправо, пока не поменяют свои относительные позиции и не сфокусируются почти точно в другой точке пространства. Эта работа (и работа многих последующих исследователей) способствовала огромному количеству аналитических, теоретических и экспериментальных достижений в огромном количестве областей математики и физики.
Система, подобная той, которую моделировали Ферми, Паста и Улам, но с 256
массами (слева), легко порождает солитоны, которые могут
распространяться в любом направлении, обмениваться позициями и в конечном
счёте возвращать систему к чему-то, напоминающему её начальную
конфигурацию. Движение солитонов здесь можно увидеть, следуя линиям
горячего цвета, которые обозначают большие смещения масс. Горизонтальная
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
16 of 30 15.10.2021, 19:52

ось соответствует положению вдоль ряда пружин и масс. Вертикальная ось
соответствует времени, которое начинается снизу и продвигается вверх.
Возникновение распространяющихся солитонов не требует, чтобы массы
были дискретными: они также возникают в непрерывном аналоге системы
ФПУ (справа)
Пока Забуски, Крускал и Дим были заняты проблемой ФПУ, японский математический физик
Морикадзу Тода исследовал похожую нелинейную систему и математически доказал, что в ней никогда не может быть хаоса. В цепочке ФПУ
явно было что-то особенно тонкое.
▍
Приспешники Хаоса?
Уединённые волны действительно могут создавать удивительно регулярное поведение, но движение системы ФПУ также может быть довольно хаотичным.
Действительно, даже очень простые динамические системы обычно поддерживают сложную смесь регулярного и хаотического поведения.
Здесь мы используем слово "хаотичный" в его научном смысле. Мы не имеем в виду случайность. Исход в задаче ФПУ регулируется законами Ньютона, которые точно определяют всё будущее движение — здесь нет случайных событий.
Однако через некоторое время движения действительно могут показаться очень беспорядочными и неустойчивыми. Более того, состояние системы пружин и масс
ФПУ через определённое время очень чувствительно к её начальной настройке:
измените хоть немного начальные условия, и через некоторое время результат будет совершенно другим. Многие системы, включая атмосферные колебания,
которые приводят к изменению погоды, демонстрируют это свойство и поэтому
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
17 of 30 15.10.2021, 19:52

считаются хаотичными, даже если их движение в течение короткого периода времени может казаться достаточно регулярным. На самом деле, как показывает сама проблема ФПУ, движение в течение даже очень длительных периодов времени может быть довольно регулярным!
Чтобы определить, является ли движение данной системы регулярным или хаотичным (при определённых начальных условиях) в долгосрочной перспективе,
полезно построить график изменения конфигурации системы во времени.
Проблема в том, что даже простая на первый взгляд динамическая система,
состоящая всего лишь из одной массы, имеет шесть переменных для построения графика: координаты и скорости в x, y и z.
Построение всех шести значений для точечной массы в зависимости от времени обычно приводит к визуальному беспорядку, который очень трудно интерпретировать. Однако, построение графика с разумным выбором подмножества точек (которые удовлетворяют определённому, физически мотивированному условию, например, когда определённая переменная скорости равна нулю) облегчает интерпретацию происходящего. Такие участки называются отрезками Пуанкаре, в честь французского физика и математика
Жюля Анри
Пуанкаре
Регулярные траектории так же предсказуемы, как орбиты планет вокруг Солнца или распорядок дня жителя пригорода. Они могут быть отслежены во времени с большой точностью. С другой стороны, хаотические траектории крайне нерегулярны. Они склонны блуждать, как пьяные матросы, и ограничены только количеством доступной им энергии. Хаос важен для проблемы ФПУ, поскольку,
если он достаточно силен, он будет перемешивать энергию между модами
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
18 of 30 15.10.2021, 19:52

колебаний. То есть, хаос может привести к разделению энергии в такой системе.
Хотя ни ФПУ, ни Тук и Мензел не обнаружили равнораспределения, в своём исследовании 1967 года Забуски и Дим сделали это, проведя моделирование системы ФПУ, для которой начальные движения масс имели короткую длину волны большой амплитуды. К 2006 году другие исследователи подтвердили это равенство с помощью более комплексного моделирования и анализа.
Хаотические взаимодействия помогли бы привести к разделению энергии,
которое ожидали увидеть Ферми, Паста и Улам. Но эти исследователи не
вкладывали в свою систему достаточно энергии, чтобы привести к
равнораспределению. Связь с хаосом можно проиллюстрировать на примере
системы, математически эквивалентной трехмассовой цепи ФПУ, которую
астрономы Мишель Энон и Карл Хайлес изучали в 1963 году. Поведение
системы Энона-Хейлеса лучше всего рассматривать с помощью графиков
Пуанкаре, которые показывают точки пересечения многомерных траекторий
системы с одной выбранной плоскостью. Увеличение энергии в системе дает
прогрессию от регулярных траекторий (слева), к траекториям, которые
отражают как регулярное, так и хаотическое поведение (в середине), и к
траекториям, которые в основном хаотичны (справа).
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
19 of 30 15.10.2021, 19:52

Основываясь на исследованиях хаоса и равнораспределения, проведенных в конце 1960-х годов Борисом Чириковым, Эдди Коэн из Рокфеллеровского университета и несколько его коллег недавно исследовали систему ФПУ при высоких энергиях. Исследуя этот вопрос систематически, они продемонстрировали существование двух порогов (как функции энергии на осциллятор) в динамике системы ФПУ. На первом пороге движение переходит от полностью регулярного к слабо хаотическому — есть некоторое хаотическое поведение, но в подавляющем большинстве случаев всё остаётся очень регулярным. При превышении второго, более высокого порога возникает сильный хаос, позволяющий быстро распределять энергию между режимами.
Коэн и соавторы также обнаружили, что термализация происходит быстрее, когда масс больше. Когда число нелинейных осцилляторов становится бесконечным (то есть в реальных ситуациях, которые пытались смоделировать ФПУ),
равнораспределение действительно возникает для любого уровня вводимой энергии. Начальные условия, которые ФПУ использовали в своих численных симуляциях, были, однако, ниже порога хаоса, что не позволило им увидеть равнораспределение энергии между различными режимами колебаний. Троица из
Лос Аламоса могла бы наблюдать это равенство, если бы использовала либо более высокие значения нелинейности (дающие более сильное взаимодействие между различными модами), либо начальные импульсы с большей энергией. Мы должны быть благодарны за то, что они этого не сделали, учитывая, сколько интереса и понимания возникло в результате.
Один из примеров можно увидеть в исследованиях теплопроводности. (Тема теплопроводности была ключевым мотивом для исследования ФПУ). В начале 19
века французский математик
Ж. Б. Жозеф Фурье ввёл простой
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
20 of 30 15.10.2021, 19:52

феноменологический закон для описания потока тепла в твёрдых телах. Однако за два столетия, прошедших с тех пор, учёные так и не смогли вывести этот закон напрямую, используя первые принципы. Попытки сделать это предпринимались еще в 1914 году, когда
Петер Дебай изучал теплопроводность в диэлектрических кристаллах. Он предположил, что конечная проводимость таких кристаллов возникает из-за нелинейных взаимодействий в колебаниях их решётки — именно то явление, для исследования которого был разработан подход ФПУ.
С тех пор было проделано много работы по изучению теплопроводности с использованием моделей, подобных ФПУ, в которых каждый конец цепи заземлён на «тепловой ванне» (один конец горячий, а другой холодный), а каждая точечная масса испытывает силы в дополнение к тем, которые исходят от её соседей.
Например, эти модели использовались для изучения того, как теплопроводность зависит от количества масс и степени хаоса в системе. Хотя было получено много важных выводов, полный набор необходимых и достаточных условий для справедливости закона Фурье остается неизвестным. Физики были бы очень рады разрешить эту неловкую ситуацию.
▍
Каждый твой вздох
Спустя десятилетия парадокс ФПУ продолжает вдохновлять на изучение многих других увлекательных нелинейных систем, таких как атомные решётки в физике твёрдого тела. До конца 1980-х годов считалось само собой разумеющимся, что колебания этих решёток должны распространяться на расстояния, которые очень велики по сравнению с расстоянием между атомами. Единственными признанными исключениями были те, которые возникали из-за дефектов,
разрушающих регулярное расположение атомов в решётке — например, из-за
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
21 of 30 15.10.2021, 19:52

загрязнений или нарушений в чистом кристалле. Принято считать, что только такие неровности могут вызвать локализацию вибраций (хотя более ранние работы Забуски и Дима намекали на обратное).
Эта перспектива была вывернута наизнанку открытием локализованных мод колебаний в идеальных решётках. Такие моды, известные как внутренние локализованные моды (ВЛМ) или дискретные бризеры, могут возникать в сильно нелинейных, пространственно протяжённых решётках и (грубо говоря) играют роль, аналогичную солитонам в непрерывных физических системах. Однако, в отличие от солитонов, ВЛМ не нужно распространяться: они могут просто вибрировать на месте. В настоящее время физики экспериментально наблюдают бризеры в различных физических системах, включая твёрдые тела с переносом заряда, решётки джозефсоновских переходов, фотонные кристаллы, решётки микромеханических осцилляторов и конденсаты Бозе-Эйнштейна.
В течение многих лет физики считали, что колебания регулярной решётки,
скажем, атомов в идеальном кристалле, должны быть распределены в
пространстве. Но в конце 1980-х годов физики и математики поняли, что
нелинейные системы могут поддерживать пространственно локализованные
колебания. Такие внутренние локализованные моды или дискретные бризеры с
тех пор наблюдались экспериментально в ряде физических систем. Одна из
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
22 of 30 15.10.2021, 19:52

таких систем состоит из ряда микромеханических балок (слева). Вибрация луча
вызывает уменьшение отражаемого им света, как видно на изображении
(справа), где прослеживается эволюция системы. Через несколько десятков
миллисекунд вибрация становится локализованной в массиве лучей, что
приводит к появлению тёмной горизонтальной линии
Как нелинейность может вызвать локализованный режим колебаний в решётке?
Чтобы понять это, рассмотрим два нелинейных осциллятора, которые могут слабо взаимодействовать. Напомним, что поскольку эти осцилляторы нелинейны,
частота их колебаний зависит от их энергии. Представьте, что один осциллятор запускается сильным возбуждением, а другой — слабым, так что большая часть энергии системы сначала локализована в первом осцилляторе. В принципе,
можно выбрать эти начальные возбуждения так, чтобы их колебания были несоизмеримы (что делает отношение частот их колебаний иррациональным числом).
Следовательно, после запуска обоих осцилляторов на максимальной амплитуде они никогда больше не синхронизируются. Это не позволяет колебаниям первого осциллятора (или любой из его гармоник) резонировать с любой из мод второго осциллятора, что очень затрудняет передачу энергии между двумя осцилляторами.
Теперь рассмотрим цепочку с большим количеством осцилляторов. Установим,
что один из них вибрирует с относительно большой амплитудой и с частотой,
несоизмеримой с частотой меньших колебаний, которые совершают другие осцилляторы. Этот особый осциллятор теперь с трудом передаёт энергию своим соседям. Таким образом, этот осциллятор и, возможно, небольшое число
Парадокс, положивший начало научным вычислениям / Хабр https://habr.com/ru/company/ruvds/blog/583120/
23 of 30 15.10.2021, 19:52