Файл: Методические указания к проведению практических занятий по разделу математическая статистика дисциплины Основы системного анализа и математической статистики..pdf

8

Рис.1

Рис. 2

Рис. 3

9

Рис.4

Пример 2.

Построить эмпирическую функцию по данному распределению

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

10

График эмпирической функции представлен на рисунке 5: Рис. 5

.

Пример 3.

Построить график выборочной функции плотности распределения по данным примера 1.

Решение:

Значения выборочной функции плотности распределения записаны в последнем столбце таблицы 1, поэтому график будет иметь вид:

Рис.6

11

2. Вычисление точечных оценок параметров распределения Генеральной средней/выборочной средней x называется среднее арифметическое значение признака генеральной /выборочной

совокупности.

x x1 x2 ... xk n

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Генеральной выборочной дисперсией D называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной/выборочной совокупности от их среднего значения.

n

(xi x)2

D i 1

n

Генеральным выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из генеральной/ выборочной дисперсии.

D

Вычисление дисперсии, выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу:

D x2 (x)2

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой.

S 2 n n 1DB

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение

S S2

12

Пример 4.

Используя условие примера 1, найти числовые характеристики интервального вариационного ряда.

Решение:

За хi примем середины частичных интервалов. Находим

выборочное среднее: xB 1 k xi ni n i 1

x B 2001 (6,68 2 6,7 15 6,72 17 6,74 44 6,76 52 6,78 44

6,8 14 6,82 11 6,84 1) 6,7578

Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой

D x 2В (x B )2

x2В 2001 (6,682 2 6,72 15 6,722 17 6,742 44 6,762 52 6,782 446,82 14 6,822 11 6,842 1) 45,6688

Тогда выборочная дисперсия равна

DB 45,6688 (6,7578)2 0,001

Выборочное среднее квадратическое отклонение: 0,001 0,032

В качестве описательных характеристик вариационного ряда или полученного из него статистического распределения выборки используется медиана и мода.

Модой вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту.

Медианой непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством

P X M e (X ) P X M e (X ) .

13

Пример 5.

Найти моду и медиану вариационного ряда.

Решение:

Мода Мо* 4, медиана Мо* 5 28 6,5 (так как 2+7+4 = 6+5+2).

3. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Точечная оценка неизвестного параметра не позволяет непосредственно ответить на вопрос, какую ошибку мы совершаем, принимая вместо точного значения параметра его приближенное значение (оценку). Чтобы дать представление о точности и надежности оценки, в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки называют вероятность , с которой выполняется неравенство ~ .

который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью . Интервальной называется оценка параметра распределения, которая

определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

14

Построение доверительных интервалов

для параметров нормального распределения

Выборка Х извлечена из нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами a и : N (a; ). Необходимо построить доверительные интервалы для параметров распределения при заданной надежности .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания a при известном значении

функции Лапласа.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания a при неизвестном значении

По наблюдениям находят точечные оценки x и S математического ожидания μ и дисперсии σ .

Число t - значение функции распределения Стьюдента (t-распределения) ,

среднего квадратического отклонения

Р(max 0;s 1 q s 1 q )

где q – значение функции распределения Пирсона ( 2-распределения),