Файл: Методические указания к проведению практических занятий по разделу математическая статистика дисциплины Основы системного анализа и математической статистики..pdf

15

Интервальная оценка вероятности события

При рассмотрении точечных оценок было показано, что "хорошей" оценкой вероятности события является частость w = m / n, где m – число испытаний, в которых произошло событие А, а n – общее число независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью q = 1 – р (т.е. последовательность испытаний Бернулли).

Построение доверительного интервала для вероятности в этом случае (при больших значениях n 100) осуществляется по формуле:

P w t w 1n w p w t w 1n w 2 t ,

где t – значение стандартной нормальной величины, соответствующее надежности Ф t γ/2, а Ф t – функция Лапласа

Пример 6.

Произведено 5 независимых испытаний. С. в. Х ~ N (a; 20). Результаты наблюдений: х1 25, х2 34,х3 20,х4 10,х5 21. Найти оценку для математического ожидания а и построить для него 95% доверительный интервал.

Решение:

Находим x 1n ( 25 34 20 10 21) 4.

По условию 0,95 , следовательно Ф(t) 2 0,295 0,475.

По таблице значений функции Лапласа находим t t 1,96.

Тогда 1,96 20 17,5.

5

Доверительный интервал имеет вид: (4 17,5; 4 17,5) или ( 13,5; 21,5).

16

Пример 7.

По условию примера 6, считая, что случайная величина X ~ N (а, ), построить доверительный интервал для неизвестного с надежностью.

0,95 .

Решение:

Воспользуемся результатом примера 6: x 4. Находим значение:

2 14 (( 25 4)2 (34 4)2 ( 20 4)2 (10 4)2 (21 4)2 660,5

Доверительный интервал: ( 27,9; 35,9)

Пример 8.

Измерения твердости 16 образцов легированной стали (в условных единицах) дали следующие результаты:

распределенной генеральной совокупности, найти доверительные интервалы для среднего и дисперсии при доверительной вероятности 0,95.

Решение:

Математическое ожидание а неизвестно, по выборке найдем

17

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

Пример 9

Найти минимальный объем выборки, на основании которой можно было бы оценить математическое ожидание времени исполнения некоторой технической операции с ошибкой, не превышающей 10с и надежностью 0,95, если предположить, что время исполнения этой операции имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 50.

Решение:

Погрешность оценки математического ожидания при известной дисперсии выражается формулой:

n U 2

18

По таблицам функции Лапласа при доверительной вероятности 1 0,95 находим квантиль U 2 U0,25 1,96.

Тогда n ≥ 96 и nmin = 9.

4. Методы статистической проверки гипотез.

Критерии согласия Стьюдента, Фишера, Пирсона, Колмогорова

Статистическая гипотеза называется параметрической, если предположения касаются значений параметров распределения, и – непараметрической, если содержит предположения о виде закона распределения.

4.1. Т - критерий Стьюдента для несвязных выборок

нормальному закону. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

В общем случае формула для расчета наблюдаемого значения критерия tэмп по t - критерию Стьюдента для несвязных выборок такова:

Для равночисленных выборок с объемами n n1 n2 выражение для Sd имеет вид:

Для неравночисленных выборок n1 n2 , выражение будет вычисляться следующим образом:

19

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле: k (n1 1) (n2 1) n1 n2 2

Пример 10.

Представлены результаты измерения времени сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в группе X , состоящей из 9 спортсменов высокой квалификации и в группе Y , состоящей из 8 человек, активно не занимающихся спортом. С помощью t - критерия Стьюдента проверить гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде таблицы 6, в которой произведем ряд необходимых расчетов.

20

Решение:

Среднее арифметическое в экспериментальной группе X 47349 526.

Среднее арифметическое в контрольной группе Y 51048 638.

Разница по абсолютной величине между средними

X Y 526 638 112.

Число степеней свободы k 9 8 2 15. Для данного числа степеней свободы и 0,001находимtкр 4,07.

Таким образом, при 0,001, средняя скорость сложной

сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно

выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом делаем

вывод: на 0,1% уровне значимости принимается гипотеза о различии

между группами.

4.2Т - критерий Стьюдента для связных выборок.

Вслучае связных выборок с равным числом измерений в каждой

можно использовать более простую формулу t - критерия Стьюдента: