Файл: Теория игр Что такое теория игр.pptx

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 47.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 48.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, в которой будет 48 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 меньше или равно S меньше или равно 47.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Два игрока, Паша и Вова, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или 10 камней. Например, имея кучу из 7 камней, за один ход можно получить кучу из 8 или 17 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 31. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 31 или больше камней.

---

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 30.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

• а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.

б) Укажите такое значение S. при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вова может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вовы.

• Укажите два значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём Паша не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вова. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Паши.
• Укажите значение S, при котором у Вовы есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, однако у Вовы нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вовы. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вовы (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.

Задание № 1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру.

Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 2 камня или добавить в кучу 3 камня или увеличить количество камней в куче в два раза.

Например, имея кучу из 8 камней, за один ход можно получить кучу из 10, 11, 16 камней. У

каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 51. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 51 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 50.

При каких минимальных значениях числа S Петя может выиграть первым ходом ?

Задание № 1. Решение

Распишем при каких значениях S первый игрок может выиграть сразу за один ход.

В ответ мы выберем значение 26, потому что оно самое маленькое.

Ответ: 26

---

ЕГЭ по информатике. Задание №19 - 21

Задание № 2

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру.

Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 47. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 47 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 46.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание № 2. Решение

Известно, что Ваня точно должен выиграть, после Петиного хода. S1 - количество каменей после первого хода.

Чтобы найти минимальное значение S, при котором будет выполняться ситуация, описанная в задаче, мы возьмём минимальное значение камней в куче после первого Петиного хода, когда Ваня будет точно выигрывать.

Т.е. первым ходом Петя должен получить 24 камня в куче. Как он это может сделать ?

Видим, что, если в куче было изначально 12 камней, то возможная ситуация, которая описана в задаче. Значит, ответ будет 12.

Ответ: 12

ЕГЭ по информатике. Задание №19 - 21

Задание № 3

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру.

Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза.

Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10,

5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 77 или больше камней.

---

В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задание № 3. Решение

Обозначим первую кучу за a, вторую кучу за b.

Блок 1

1. a + 1 + b (Добавляем камень к первой куче)

2. a + b + 1 (Добавляем камень ко второй куче)

3. 2 * a + b (Удваиваем первую кучу)

4. a + 2 * b (Удваиваем вторую кучу)

Распишем все комбинации для суммы двух куч для каждого хода:

Ⅰ ход Пети.

S0 - первоначальное количество камней во второй куче.

a=7, b=S0.

Находим a и b после хода Пети.

1. a = 8, b = S0 2. a = 7, b = S0 + 1 3. a = 14, b = S0 4. a = 7, b = 2 * S0

ЕГЭ по информатике. Задание №19 - 21

Задание № 3. Решение

II ход Вани.

Разберём все варианты.

1. a=8, b=S0

Снова подставляем a и b в блок 1.

8 + 1 + S0 => S0 + 9    + 8 + S0 + 1 => S0 + 9    + 2 * 8 + S0 => S0 + 16    + 8 + 2 * S0 => 2 * S0 + 8    +

2. a=7, b=S0+1

Подставляем a и b в блок 1.

7 + 1 + S0 + 1 => S0 + 9    + 7 + S0 + 1 + 1 => S0 + 9    + 2 * 7 + S0 + 1 => S0 + 15    + 7 + 2 * (S0 + 1) => 2 * S0 + 9    +

3. a=14, b=S0

Подставляем a и b в блок 1.

14 + 1 + S0 => S0 + 15    + 14 + S0 + 1 => S0 + 15    + 2 * 14 + S0 => S0 + 28    + 14 + 2 * S0 => 2 * S0 + 14    +

4. a=7, b=2*S0

Подставляем a и b в блок 1.

7 + 1 + 2 * S0 => 2 * S0 + 8    + 7 + 2 * S0 + 1 => 2 * S0 + 8    + 2 * 7 + 2 * S0 => 2 * S0 + 14    + 7 + 2 * 2 *S0 => 4 * S0 + 7    +

Теперь возле выражений, у которых коэффициент после переменной S0 равен единице, поставим синим цветом плюсик.

Возле выражений, у которых коэффициент после переменной S0 равен двойке, поставим оранжевым цветом плюсик.

Возле выражений, у которых коэффициент после переменной S0 равен 

---

четвёрки, поставим бордовым цветом плюсик.

Выберем из тех выражений, где стоят синие плюсы, то выражение, где к S0 прибавляется наибольшее число. Это выражение S0 + 28.

ЕГЭ по информатике. Задание №19 - 21

Задание № 3. Решение

Найдём при каком наименьшем S0 это выражение будет больше или равно 77.

S0 + 28 ≥ 77 S0 ≥ 77 - 28 = 49 S0 = 49

Аналогично для других цветов.

2*S0 + 14 ≥ 77 S0 ≥ (77 - 14) / 2 = 32 (округляем в большую сторону) S0 = 32

И для последнего выражения.

4*S0 + 7 ≥ 77 S0 ≥ (77 - 7) / 4 = 18 (округляем в большую сторону) S0 = 18

Берём меньшее число среди всех трёх значений. Получается число 18.

ЕГЭ по информатике. Задание №19 - 21

Задание № 4.

ЕГЭ по информатике. Задание №19 - 21

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, в которой будет 65 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней 1 ≤ S ≤ 64.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть за один ход; — Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Задание № 5.

ЕГЭ по информатике. Задание №19 - 21

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

---