Файл: Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине Информатика Выполнил студент гр.docx

Реферат

Метод левых прямоугольников, метод правых прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона.

Объектом исследования является численное интегрирование с применением языка C++ .

Цель работы состоит в разработке программы на языке C++ демонстрирующей интегрирование различными методами и получении результатов.

К полученным результатам относятся численные значения интеграла, вычисленного разными способами.

1.1. В результате выполнения курсового проекта было разработано приложение, вычисляющее определенный интеграл: ;

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Кафедра сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники (СВЧиКР)


"УТВЕРЖДАЮ"

Зав. каф. СВЧиКР

Шарангович С.Н. ""2018г.
ЗАДАНИЕ

На курсовую работу по дисциплине «Информатика» студенту группы з-17 Заочного и вечернего факультета Алейникову Александру Викторовичу

1. 
   Тема работы: Численные методы интегрирования (утверждено приказом по университету от2018г. №)
   
2. 
   Срок сдачи работы на кафедру:2018г.
   
3. 
   Цель работы: разработка приложения на языке C++, выполняющего интегрирование заданной функции в заданных интервалах.
   
4. 
   Исходные данные:
   
   1. 
      Функция задана в следующем виде:
      
   2. 
      Необходимо разработать приложение, вычисляющее определенный интеграл:
      
   3. 
      Приложение должно быть разработано на языке программирования C++.
      
5. 
   Вопросы, подлежащие разработке:
   
   1. 
      Провести аналитический обзор литературы по численным методам интегрирования.
      
   2. 
      Разработать алгоритм решения задачи, начертить блок-схему.
      
   3. 
      Реализовать разработанный алгоритм на языке C++. Приложение должно выводить на экран результат вычисления интеграла от заданной функции.
      
   4. 
      Провести отладку приложения на ПК.
      
   5. 
      Проверить работоспособность разработанного приложения путем сравнения результатов вычисления интеграла с аналогичными вычислениями в любом математическом пакете (предпочтительно: MathCAD , Matlab).
      
6. 
   Содержание пояснительной записки:
   
   1. 
      Титульныйлист.
      
   2. 
      Реферат.
      
   3. 
      Лист задания с подписью преподавателя.
      
   4. 
      Содержание.
      
   5. 
      Введение. Постановка задачи.
      
   6. 
      Аналитический обзор литературы.
      
   7. 
      Разработка алгоритма решения задачи (блок-схема алгоритма обязательна).
      
   8. 
      Описание исходного кода программы (описание работы функций, назначения переменных ит.д.).
      
   9. 
      Результаты отладки приложения на ПК (скриншоты окна работающего приложения).
      
   10. 
       Результаты проверки работоспособности приложения, сравнение результатов вычислений с математическими пакетами (описание кода математического пакета, скриншоты результатов вычислений).
       
   11. 
       Выводы по проделанной работе.
       
   12. 
       Список использованной литературы.
       
   13. 
       Приложения с исходным кодом программы.
       

---

8. 
   Рекомендуемая литература:
   
   1. 
      Язык программирования C++. Лекции и упражнения / С. Прата. – М.: ДиаСофт. – 2002. –896с.
      
   2. 
      Qt. Профессиональное программирование на C++ : Наиболее полное руководство / М. Шлее. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 544с.
      
   3. 
      Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль / А.Е. Мудров–Томск: МП "РАСКО", 1991. – 272с.
      
   4. 
      Дополнительную литературу студент ищет самостоятельно.
      

Дата выдачи задания""2018г.


Подпись руководителя// Подпись студента//

Содержание

Численное интегрирование 8

5. Заключение 15

Список используемых источников 20

1. 
   Введение
   

Необходимо рассчитать значение данного интеграла следующими методами:

1. 
   методом левых прямоугольников;
   
2. 
   методом правых прямоугольников;
   
3. 
   методом трапеций;
   
4. 
   методом Симпсона;
   
5. 
   методом «трехвосьмых».
   

2. 
   Постановка задачи Разрабатываемая программа должна обладать следующими
   

качествами:

1. 
   Производить интегрирование заданной функции методом прямоугольников, трапеций, парабол на основе входных данных и выводить результат;
   
2. 
   Иметь графический интерфейс, позволяющий вводить исходные данные, а также визуализировать результаты вычислений, выводя на экран график подынтегральной функции, значения вычисленных интегралов и погрешности их вычислений.
   
3. 
   При написании исходных текстов программы необходимым условием является использование основных принципов объектно- ориентированного программирования, обработки исключительных ситуаций, потоков выполнения, наличие подключаемых библиотек.
   

3. Алгоритм решения задачи

Данная курсовая работа посвящена разработке программы на языке C++, которая вычисляет определенный интеграл от функции, имеющей первообразную, которую можно вычислить с помощью той или иной приближённой формулы. Для решения задачи применяются методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).

---

Задача курсового проекта – разработать программу на языке C++, такую, чтобы при работе с этой программой пользователь имел возможность:

1. 
   Найти определенный интеграл выше упомянутыми методами от следующей функции:
   

б) увидеть на экране результаты вычислений интеграла от заданной функции




Ход работы

1. 
   Метод правых и левых прямоугольников
   

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под

графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах.

Если отрезок [a;b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по следующим формулам:

---

---

I = I * h;

cout<<"Ответ: " <
}

return0;

}

Результат выполнения программы (рисунок 2.1).


Рисунок 2.1 – Метод левых прямоугольников Код программы для метода правых прямоугольников:

#include #include using namespace std; intmain()

{

setlocale(LC_ALL, "RUSSIAN"); double a, b, h, n, x, I;

cout<<"Введите нижний предел: " <<endl; cin>>a;

cout<<"Введитеверхнийпредел: " <<endl; cin>>b; cout<<endl; for (inti = 0; i <4;i++)

{

cout<<"Введите количество разбиений: "; cin>>n; h = (b - a) /n;

cout<<"Шаг: " <
I = 0;

for(inti = 0; i <n;i++)

{

I += (x * cos(x)); x += h;

}

I = I * h;




cout<<"Ответ: " <
}

return0;

}

Результат выполнения программы (рисунок 2.2).




Рисунок 2.2 – Метод правых прямоугольников

2. 
   Методтрапеций
   

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную

функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольнымитрапециями.

Если отрезок [a;b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти поформуле:

b

f x dx

f a +f b

= b-a +E f ,

a ²

3

E f =-

12

b-a .

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования).

Кодпрограммы:

#include #include using namespace std; double fun(double x)

{

return(x * cos(x));

}

intmain()

{

setlocale(LC_ALL, "RUSSIAN"); double a, b, n, h, y, I;

cout<<"Введите нижний предел: " <<endl; cin>>a;

cout<<"Введитеверхнийпредел: " <<endl; cin>>b; cout<<endl; for (inti = 0; i <4;i++)

{

cout<<"Введите количество разбиений: "; cin>>n; h = (b - a) /n;

cout<<"Шаг: " <
for(inti = 1; i < n - 1;i++)

{

y += fun(a + h *i);

}

I = (((fun(a) + fun(b)) / 2) + y) * h; cout<<"I= " <<I <<endl<<endl;

}

return0;

}
Результат выполнения программы (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Метод трапеций

3. 
   МетодСимпсона
   

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a;b] интерполяционным многочленом второй степени, то есть приближение графика функции на отрезке параболой.

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a;b]:

b b

f x dx≈

a α

p2 x dx=^b-a

6

f a +4f

a+b

2

+f(b) ,где

f a ,f ^a+b

2

иf b -значенияфункциивсоответствующихточках(на

концах отрезка и в его середине).

Кодпрограммы:

#include #include using namespace std; double fun(double x)

{

return(x * cos(x));

}

intmain()

{

setlocale(LC_ALL, "RUSSIAN"); double a, b, h, n, y1, y2,I;

cout<<"Введите нижний предел: " <<endl; cin>>a;

cout<<"Введитеверхнийпредел: " <<endl; cin>>b; cout<<endl; for (inti = 0; i <4;i++)

{

cout<<"Введите количество разбиений: "; cin>>n; h = (b - a) /n;

cout<<"Шаг: " <
y1 = fun(a + h);

for(inti = 2; i <n; i +=2)

{

y1 += fun(a + (i + 1) * h); y2 += fun(a + i *h);

}

I = (fun(a) + 4 * y1 + 2 * y2) * h / 3; cout<<"I= " <<I <<endl<<endl;

}

return0;

}

Результат выполнения программы (рисунок 2.4).




Рисунок 2.4 – Метод Симпсона

4. 
   Метод трёхвосьмых
   

Метод основан на интерполяции функции на малом отрезке кубической параболой, проходящей через крайние и две равноотстоящие по "x" точки кривой f(x). Данный метод вычисляется по формуле:

b

f x dx≈^3h

a ⁸

y₀+y_3n+2 y₃+y₆+…+y_n-3 +3 y₁+y₂+…+y_n-2+y_n-1 ,

где h=^b-a.

n

Код программы:

#include #include using namespace std; double fun(double x)

{

return(x * cos(x));

}

intmain()

{

setlocale(LC_ALL, "RUSSIAN"); double a, b, h, I, n, y1,y2;

cout<<"Введите нижний предел: " <<endl; cin>>a;

cout<<"Введитеверхнийпредел: " <<endl; cin>>b; cout<<endl; for (inti = 0; i <4;i++)

{

cout<<"Введите количество разбиений: "; cin>>n; h = (b - a) /(n);

y1 = 0;

y2 = fun(a + h);

for(inti = 2; i <n;i++)

{

if(i % 3 == 0)

{

}

else

{
}

}

y1 += fun(a + i *h);


y2 += fun(a + (i * h));

I = (fun(a) + fun(b) + 2 * y1 + 3 * y2) * 3 * h / 8; cout<<"I= " <<I <<endl<<endl;

}

return0;

}

Результат выполнения программы (рисунок 2.5).

Рисунок 2.4 – Метод трёх восьмых

5. 
   Результатывычислений
   

Результаты вычислений (таблица 2.1).

Таблица 2.1 – Результаты вычислений

	n =12	n = 48	n =144	n = 600
Метод левых прямоугольников	-1.59566	-1.89301	-1.96084	-1.98679
Метод правых прямоугольников	-2.41729	-2.09842	-2.02931	-2.00322
Метод трапеций	-1.27926	-1.79504	-1.9271	-1.9786
Метод Симпсона	-1.72096	-1.92653	-1.97217	-1.98952
Метод трех восьмых	-1.99464	-1.995	-1.995	-1.995

2. 
   Заключение
   

В результате выполнения данной курсовой работы были получены навыки разработки программ, использующих в своей работе вычисление интеграла методами прямоугольников, Симпсона, трапеции и трех восьмых.

Список используемых источников

1. 
   Язык программирования C++. Лекции и упражнения / С. Прата. – М.: ДиаСофт. – 2002. –896с.
   
2. 
   Рено Н.Н.: Численные методы. - М.: КДУ, 2007-182с.
   
3. 
   Qt. Профессиональное программирование на C++ : Наиболее полное руководство / М. Шлее. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 544с.
   

---