Файл: Основные понятия теории моделирования и анализа информационных процессов (1 час).docx

Конечная цель анализа систем и процессов массового обслуживания заключается в разработке критериев (или показателей) эффективности функционирования СМО. В этой связи важно сразу же подчеркнуть одно важное обстоятельство: поскольку процесс массового обслуживания протекает во времени, то нас будет интересовать только стационарный процесс.

При выполнении условий стационарности нас будут интересовать следующие операционные характеристики СМО:

P_n- вероятность того, что в системе находится n клиентов (заявок на обслуживание);

L_s- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание);

L_q- среднее число клиентов очереди на обслуживание;

W_s - средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в системе;

W

_q - средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди.

По определению

М

ежду L_s и W_s (как и между L_q и W_q) существует строгая взаимосвязь, так что, зная числовые значения одной из этих величин, можно легко найти значение другой величины. В частности, если частота поступлений в систему заявок на обслуживание равняется  (интенсивность поступления требований), то мы имеем

Приведенные выше соотношения справедливы и при гораздо менее жестких предположениях, не налагающих никаких специальных ограничений ни на распределение моментов последовательных поступлений требований, ни на распределение продолжительностей обслуживания. Однако в тех случаях, когда частота поступлений заявок на обслуживание равняется , но не все заявки имеют возможность попасть в обслуживающую систему (например, из-за недостаточно большой вместимости блока ожидания), соотношения (1) необходимо видоизменить путем такого нового определения параметра , которое позволило бы учесть только действительно "допускаемые" в систему требования. Тогда, вводя в рассмотрение

Эффективная частота поступлений,

_ЭФФ = т.е. количество требований, действи-

тельно допущенных в блок ожидания

обслуживающей системы, в единицу

времени

будем иметь

В

общем случае

Это означает, что только часть поступающих заявок на обслуживание действительно "проникает" в систему. Но в любом случае можно установить зависимость _ЭФФ от L_S L_q следующим образом. По определению

Средняя продол- Средняя продолжи- Среднее время

жительность пре- = тельность пребы- + обслуживания.

бываний в системе вания требований

в очереди

Е

сли средняя скорость обслуживания равняется  и, следовательно, средняя продолжительность обслуживания равняется 1/, то справедливо следующее соотношение:

Умножая левую и правую части этого соотношения на , получаем

П

оследнее соотношение остается справедливым и в том случае, если  заменить на _ЭФФ. При этом для _ЭФФ можно записать

П

ри анализе всех рассматриваемых ниже моделей основное внимание будет сосредоточено на получении формул для р_n, поскольку, зная р_n, нетрудно определить значение всех основных операционных характеристик интересующего нас процесса массового обслуживания в указанном ниже порядке:

Отметим, что в большинстве случаев при вычислении значений р_n в рамках соответствующей математической модели особые трудности не встречаются. Что же касается распределений продолжительностей ожидания, то их численная оценка может оказаться далеко не простой. Таким образом, в большинстве случаев удобнее вычислять W_S и W_q через L_S и L_q_.
Система массового обслуживания типа (M/M/c):(GD//)

Процесс массового обслуживания, описываемый моделью (M/M/c):(GD//), характеризуется интенсивностью входного потока  и тем обстоятельством, что параллельно обслуживаются может не более с клиентов. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равняется 1/. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Конечная цель использования с параллельно включенных обслуживающих приборов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно с клиентов. Таким образом, если n=c, то интенсивность входного (выходного) потока равняется с. С другой стороны, если n

Таким образом, для анализа модели (M/M/c) требуется построить обобщенную одноканальную модель, в которой как интенсивность входного потока, так и скорость обслуживания зависели бы от n, так что вместо безиндексных параметров  и  нужно было бы использовать величины _n и _n. Нужно вывести формулу для вычисления стационарных значений значений р_n. Полагая _n =, а _n =n при n _n =с при nc, можно получить числовые оценки для функциональных характеристик системы, описываемой (М/М/с)- моделью. При заданных значениях _n и _n после нахождения значения р_n окажется также возможным получить результаты для СМО других типов.

Для модели (М/М/1):(GD//) справедливы следующие утверждения:

С учетом главного условия, которое заключается в том, что в интервале h может произойти максимум одно событие (поступление или выбытие), находим

ля стационарного режима, получим следующие уравнения:

Эти уравнения можно привести к следующему (более удобному) виду:

Р

ассматривая последовательно уравнения для р₁, р₂, р₃, … и рассуждая по обычной схеме, реализующей метод индукции, приходим к формулам:

Выражения для р₀ получено из условия р_n=1.

Т

аким образом, если СМО относится к типу (M/M/c):(GD//), то для оценки ее операционных характеристик мы исходим из того, что

И

з выражения для р_n,выведенного для модели (M_n/M_n/1):(GD//) при nc

В случае, когда nс, формула принимает следующий вид:

олагая , находим
где с<1 (или с<1).

Т

еперь нетрудно показать, что

П

ри приближенный методе нахождения р₀ и L_q получаем: при <<1 можно записать

Тогда как для значений /с, близких к единице,

Пример. В университете имеются два корпуса. Каждый из корпусов располагает двумя библиотеками, при этом обслуживание студентов, согласно имеющимся сведеньям, распределяются между корпусами поровну. Последнее утверждение подтверждается данными о том, что в обоих корпусах студенты приходят со средней частотой 10 студентов в час. Среднее время обслуживания студента составляет 11,5 мин. Посещение студентами библиотек распределено во времени по пуассоновскому закону, а продолжительность обслуживания одного студента - по экспоненциальному закону.

А

дминистрация университета разрешила посещение всеми студентами всех библиотек обоих корпусов. При раздельном использовании библиотек между корпусами, которыми они принадлежали, коэффициент загруженности равнялся 95,8%:действительно,

(Заметим, что в рассматриваемом случае библиотека с точки зрения ТМО является "обслуживающим прибором".) Мы видим, что коэффициент загруженности работников библиотек корпусов был большим. Возникает вопрос о целесообразности централизации управления библиотеками.

Для анализа задачи улучшения использования библиотек необходимо сравнение двух вариантов, а именно:

(а) варианта с независимыми обслуживающими системами типа (М/М/2): (GD//) при =10 студентов в час и =5,217 обслуживаний студентов в час

(б) варианта с одной очередью типа (М/М/4): (GD//) при =2*10=20 студентов в час и =5,217 обслуживаний студентов в час.

Заметим, что в обоих случаях  интерпретируется как среднее число обслуживания одного студента в час.

К

оэффициент загруженности во втором случае будет таким же, как и в первом случае, а именно

О

бъединение всех четырех библиотек в рамках одной системы не приводит на первый взгляд к эффекту. Если, однако, рассмотреть другие показатели, это первое впечатление не подтвердится. Вычислим W_q (среднее время ожидания студентом обслуживания от момента прихода в библиотеку до момента выдачи книг) в первом и втором случаях. Тогда для с=2 будем иметь

Таким образом,

С

другой стороны, для с=4 будем иметь =20/5,217=3,83 и

Следовательно,

Приведенные выше оценки показывают, что при централизации библиотек среднее время ожидания студентом заказанной книги сократится примерно вдвое. Значит, можно сделать вывод, что создание централизованной системы библиотек дает заметный операционный эффект, если его оценить с позиции потенциальных пользователей библиотек. Заметим, что этот результат получен в случае, когда коэффициент загруженности "обслуживающих приборов" (библиотек) в СМО весьма высок.
Индивидуальные задания:

На рис. приведены различные варианты Q-схем (систем массового обслуживания). Здесь использованы следующие обозначения: и - источник заявок; н - накопитель заявок; К - канал обслуживания; _i - интенсивность i-го потока заявок (потоки заявок в данной лабораторной работе считаются распределенными по пуассоновскому закону); _j - интенсивность обслуживания в j-м канале; l_k- емкость k-го накопителя.

Для расчета недостающих параметров системы необходимо воспользоваться аппаратом теории массового обслуживания. Ограничением является необходимость установления стационарного режима загрузки системы =/1.

1. Постройте модель варианта Q-схемы и обеспечьте сбор статистических данных о процессе функционирования исследуемого в работе варианта системы при условиях, задаваемых преподавателем.

2. Смоделировать обработку неоднородного потока заявок с помощью введения класса приоритетов.

3. Получение функции распределения времени обслуживания в первой фазе данной Q-схемы по каждому типу заявок отдельно.

4. Получение функции распределения времени обслуживания во второй фазе данной Q-схемы по каждому типу заявок отдельно.

5. Определение вероятностей переполнения накопителей Q-схемы.
1

)

2

)

3

)

4)

)

6)

)

8

)

9)

0)

Рис.1. Структуры вариантов Q-схем.

Лабораторное занятие № 3

Тема: «Исследование на имитационной модели процесса функционирования концентратора сети интегрального обслуживания» (2часа)
Задание к работе

Внести в текст исходной программы изменения, обеспечивающие выполнение индивидуального задания:

1) определение функции распределения числа повторных вызовов для завершенных разговоров;

2) получение графика вероятности прекращения вызова в зависимости от числа абонентов в подсети;

3) получение графика среднего числа попыток на вызов для приближенной функции настойчивости в зависимости от числа абонента в подсети;

4) определение функции распределения числа повторных вызовов для незавершенных разговоров;

Необходимо провести серию имитационных экспериментов, обеспечивающих получение полных и достоверных результатов.

1>1>

Задание 1

Постройте модель вариантов Q-схемы и обеспечить сбор статистических данных о процессе функционирования исследуемого в работе варианте системы при условиях, задаваемых преподавателем.

Смоделируйте процесс функционирования Q-схемы на интервале времени (0,Т), где Т=1000 единиц времени (ед. вр.).

Исходная GPSS программа для выполнения п1 задания приведена на рисунке 1.

SIMULATE

0001 EXPON FUNCTION RN1, C24

0,0/ .100,.104/ .200,.222/ .300,.355/ .400,.509

.500,.690/ .600,.915/ .700,1.200/.700,1.380

.800,1.600/ .840,1.830/ .880,2. 120/ .900,2.300

.920,2.520/ .940,2. 910/ .950,2.99/ .960,3.200

.970,3.500/ .980,3.900/ .990,4.600/ .950,5.300

.998,6.200/ .999,7/ 1,8

Рис 1 Текст исходной программы к заданию 1
Задание 2

Необходимо исследовать на машинной модели Q-схему, структура которой приведена на рисунке 2. Исследуемая система представляет собой двухфазную Q-схему с отказами. В качестве выходных потоков системы рассматривается: потоки обслуженных заявок NO и потерянных заявок двух типов N1 и N2. Предполагается, что интервалы времени между моментами поступления заявок из источников И1 и И2 имеет экспоненциальное распределение, а время обслуживания в каналах К1, К2 и К3 постоянно. Интенсивность поступления заявок из источников И1 и И2 соответственно равны

0,021/ ед. вр. и

0,041/ ед. вр., а емкости накопителей Н1, Н2, Н3 И Н4 – L1 = L3 = L4 = 10 и L2 = 20. Время обслуживания заявок в каналах К1, К2 и К3 задано в исходной программе. Заявки от источников И1 и И2 обслуживаются каналами К2 и КЗ соответственно.

Необходимо провести моделирование процесса функционирования данной Q-cxeмы на интервале времени (О, 1), Т= 1000ед.вр.

При выполнении конкретного варианта п. 2 задания необходимо (по указанию преподавателя) в исходную программу, текст которой приведен на рис. 3, внести изменения, обеспечивающие:

1) обработку в канале К1 заявок от источника И1 в течение 15 ед. вр., а от источника И2 - в течение 20 ед. вр.;

2) получение функции распределения времени обслуживания в первой фазе данной Q-cxeмы по каждому типу заявок отдельно;

3) получение функции распределения времени обслуживания во второй фазе данной Q-схемы по каждому типу заявок отдельно;

4) получение функции распределения полного времени обслуживания по каждому типу заявок отдельно;

5) определение вероятностей переполнения накопителей Q-схемы;

6) определение вероятностей отказа в обслуживании при переполнении накопителей по каждому типу заявок отдельно;

7) определение функций распределения длин очередей заявок в накопителях Q-схемы;

9) построение и вывод на печать графика изменения загрузки канала К1 на интервале времени моделирования (О, Т).

Рис 2 Структура Q-схемы к заданию 2

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями по выполнению данной лабораторной работы.

2. Получить варианты заданий 1 и 2 и провести необходимые предварительные аналитические расчеты.

3. Составить по заданному варианту блок-диаграмму GPSS и программу на языке GPSS/PC.

4. Провести имитационный эксперимент на ПЭВМ, получить результаты прогона модели и сравнить их с расчетными.

5. Разработать мероприятия по ликвидации «узких мест» исследуемой системы, представленной в виде Q-схемы.

Отчет о работе

Отчет должен содержать:

1) пункты 1 и 2 задания и исходные данные по вариантам;

2) краткое описание используемых для моделирования программных и технических средств;

3) обоснование выбора конкретных статистических объектов GPSS для реализации данного варианта задания;

4) обоснование принятых решений при выполнении заданий 1 и 2;

5) текст результирующих программ с внесенными изменениями и окончательные результаты моделирования системы.

Лабораторное занятие № 4

Тема: «Планирование машинных экспериментов с имитационными моделями систем массового обслуживания» (2часа)

Задание к работе

Провести анализ зависимости влияния экзогенных переменных модели системы, формализованной в виде Q-схемы, на эндогенные переменные с построением плана эксперимента при использовании метода наименьших квадратов и линейного регрессионного анализа.
Теоретические сведения

Эффективность машинных экспериментов с имитационными моделями систем массового обслуживания существенно зависят от выбора плана эксперимента, так как план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы и в целом влияет на эффективность использования ЭВМ при моделировании.