ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.03.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
направлений и специальностей технического вуза. Материалы этих книг полезны скорее тем читателям, которые уже владеют навыками работы в среде Mathcad, успешно применяют Mathcad в текущей работе и хотели бы углубить свои знания.
Для первичного знакомства и обретения навыков свободного владе- ния средствами Mathcad предлагается отличная от общепринятых техно- логия изучения. Читатель приглашается к работе с первых строк чтения учебного пособия и по мере освоения его разделов становится соавтором примеров его использования.
8
Для первичного знакомства и обретения навыков свободного владе- ния средствами Mathcad предлагается отличная от общепринятых техно- логия изучения. Читатель приглашается к работе с первых строк чтения учебного пособия и по мере освоения его разделов становится соавтором примеров его использования.
8
ЧАСТЬ 1. ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО С MATHCAD
Введение. Общие правила работы в среде Mathcad
Mathcad представляет собой среду (математический табличный процессор) для научных, инженерных и экономических расчетов.
Правила работы с Mathcad:
1. Вид экрана будет похож на школьную доску. Mathcad различает строчные и прописные литеры, для него они обозначают различные пе- ременные. Например, Mnim и mnim – идентификаторы разных перемен- ных (а во многих языках программирования, например, в Visual Basic, строчные и прописные не различаются).
Можно использовать и греческие символы. Для этого либо использу- ем панель из Меню View – Toolbar – Greek либо (быстрее) набираем по- хожую латинскую литеру (например <t>) и сразу после этого нажимаем
τ.
2. До начала вычислений по формулам нужно присвоить исходные
значения параметрам и переменным, входящим в эти формулы. При- сваивание осуществляется с помощью набора двоеточия, а на экране бу- дет выглядеть как знак := .
§1. Ваши первые примеры
1.1. Ввод данных, формул, вывод решения
Решим задачу. Пусть требуется рассчитать площадь круга заданного радиуса.
Шаг 1. Присваиваем радиусу требуемое значение – например, 5. На- бираем: R (двоеточие) 5, получится:
R := 5
Шаг 2. Записываем формулу площади круга, знакомую каждому.
Набираем: S (двоеточие) p (<Ctrl>+<g>)*R^2. Набор выглядит как абра- кадабра, но на экране получится читаемый образ формулы – такой:
S
πR
2
:=
Шаг 3. Читаем ответ. Он хранится в переменной S. Для чтения нуж- но набрать имя переменной и знак равенства. Увидим:
S = 78.54 9
1.2. Диапазоны данных, функции, вывод таблиц результатов
расчета
Усложним задачу. Пусть требуется рассчитать и построить график зависимости площади круга от значения радиуса, изменяющегося в диа- пазоне от 5 до 10 с шагом 0.5. Набираем: R (двоеточие) 5 (запятая) 5.5
(точка с запятой) 10. Увидим:
R := 5, 5.5.. 10
Теперь запишем формулу для площади круга – но не так, как выше, а в форме функции от радиуса. Набираем: S(R) (двоеточие) p (<Ctrl>+<g>)
*R^2. Увидим:
S R
( )
πR
2
:=
Выведем таблицу значений радиусов и соответствующих им значе- ний площадей круга. Для этого наберите R= (появится колонка цифр с заголовком R) и справа от нее наберите S(R)= Вы увидите столбец с цифрами, как показано на рис. 1.1.
R
5 5.5 6
6.5 7
7.5 8
8.5 9
9.5 10
=
S R
( )
78.54 95.033 113.097 132.732 153.938 176.715 201.062 226.98 254.469 283.529 314.159
=
Рис. 1.1. Вывод таблицы значений.
Разместите таблицы рядом, чтобы было видно соответствие радиу- сов и площадей. Для этого можно "обвести" таблицу мышью, появится контур. Если поместить указатель мыши у нижней его границы, указа- тель примет образ ладошки, тогда можно нажать левую кнопку мыши и протащить колонку с цифрами в нужное место.
1.3. Построение графика функции одной переменной
Более наглядно зависимость видна на графике. Построим его. Щелк-
10
ните левой кнопкой мышки где-нибудь ниже таблиц и нажмите
hift>+<2> (двойка в верхнем ряду левой части клавиатуры, – там, где коммерческий знак @). Появится заготовка для графика. В слотах на осях запишите переменные для абсциссы R и для ординаты S(R). Выведется график, причем масштабирование выполнит ЭВМ самостоятельно. Вид графика с опциями по умолчанию показан на рис. 1.2-а.
Рис. 1.2. Вывод графика: а) график с опциями по умолчанию; б) нанесение сетки значений; в) приведение к удобному размеру, «русское» расположение осей.
Приведите график к надлежащуму виду. Щелкните левой кнопкой мыши по его полю, появится панель форматирования графиков. На вкладке XY-axes (оси XY) включите линии сетки (Grid lines) на обеих осях, отключите автоматическое построение линий сетки (Auto grid) и поставьте число линий сетки (Number of grids) по 4 на каждой оси.
Включите «русский» вариант осей – перекрещивающиеся (Crossed).
Затем выберите вкладку Traces (линии графика) и для линии Trace 1 выберите толщину (Weight)–2. Получится так, как показано на рис. 1.2-б.
Теперь «охватите» график контуром (мышью) и растяните его вдоль оси абсцисс. Получится график, показанный на рис. 1.2-в.
1.4. Построение графика функции двух переменных
Научимся строить чертежи объемных фигур. Например, построим шар. Построение любой объемной фигуры начинается с того, что мы за-
5 10 0
200 400 5 6.25 7.5 8.75 10 100 200 300 400
S R
(
)
R
б)
S R
(
)
R
a)
5 6.25 7.5 8.75 10 100 200 300 400
S R
( )
R
в)
11
Рис. 1.2. Вывод графика: а) график с опциями по умолчанию; б) нанесение сетки значений; в) приведение к удобному размеру, «русское» расположение осей.
Приведите график к надлежащуму виду. Щелкните левой кнопкой мыши по его полю, появится панель форматирования графиков. На вкладке XY-axes (оси XY) включите линии сетки (Grid lines) на обеих осях, отключите автоматическое построение линий сетки (Auto grid) и поставьте число линий сетки (Number of grids) по 4 на каждой оси.
Включите «русский» вариант осей – перекрещивающиеся (Crossed).
Затем выберите вкладку Traces (линии графика) и для линии Trace 1 выберите толщину (Weight)–2. Получится так, как показано на рис. 1.2-б.
Теперь «охватите» график контуром (мышью) и растяните его вдоль оси абсцисс. Получится график, показанный на рис. 1.2-в.
1.4. Построение графика функции двух переменных
Научимся строить чертежи объемных фигур. Например, построим шар. Построение любой объемной фигуры начинается с того, что мы за-
5 10 0
200 400 5 6.25 7.5 8.75 10 100 200 300 400
S R
(
)
R
б)
S R
(
)
R
a)
5 6.25 7.5 8.75 10 100 200 300 400
S R
( )
R
в)
11
даем сетку значений на осях x и y.
1) Пусть на каждой оси будет по 25 значений. Наберите: N (двоето-
чие)
N := 25 2) Задайте размещение инде
0 до N на осях. Пусть по оси x
инде i := 0.. N
Аналогично наберите: j := 0.. N
Теперь рассчитайте значени
j к сечению шара плоскостью, пара
Вы у ии шара.
Обр
25, получится: ксов от кс будет обозначен i, а на оси y – обозначен j. Наберите: i (двоето-
чие) 0 (точка с запятой) N (по умолчанию шаг = 1, поэтому его и не за- писываем). Получится: я углов
ζ
ллельной координатной плоскости XOY, и в этом сечении
ϕi до пе- ресечения с поверхностью шара – как функции i и j. Наберите:
j (<Ctrl>+<g>) [ i (двоеточие) i*2*p (<Ctrl>+<g>)/ N. видите формулу, по которой вычисляется угол в сечен атите внимание: знак (квадратная скобка [ ) позволяет индексировать переменную, т. е. делать её функцией счетного индекса.
ϕ
i i 2
⋅
π
N
:=
Задайте радиус шара, например:
1
Аналогично наберите z (<Ctr
) [ j и т. д., как для
ϕ. Получится:
R :=
l>+<g>
ζ
j j 2
⋅
π
N
⋅
:=
Теперь рассчитайте координаты точки на шаре по формулам, кото- рые набирайте так: x [ i,j (двоеточие) R*sin(z (<Ctrl>+<g>) [ j)*cos(f
(<Crtl>+<g>) [ i). Аналогично наберите формулы для двух других коор- динат. Должно получиться: x
i j
,
R sin
ζ
( )
⋅
cos
ϕ
i j
( )
⋅
:=
y i j
,
R sin
ζ
j
( )
⋅
sin
ϕ
i
( )
⋅
:=
z i j
,
R cos
ζ
j
( )
⋅
:=
Сделайте "заготовку для чертежа. Для этого
ёлкните мышь на 3
ки наберите в скобках (через за- пяты
е: Mathcad различает строчные и прописные литеры, так что " щ
ю
–4 см ниже и нажмите <Ctrl>+<2> (двойка в верхнем ряду левой час- ти клавиатуры, – там, где "собачка" @ ).
В слот в нижнем левом углу заготов е) x , y , z.
Не забудьт
если Вы использовали прописные X, Y, Z в формулах, то так и наби- райте их в слотах. Получится замечательный рисунок (рис. 1.3).
12
1) Пусть на каждой оси будет по 25 значений. Наберите: N (двоето-
чие)
N := 25 2) Задайте размещение инде
0 до N на осях. Пусть по оси x
инде i := 0.. N
Аналогично наберите: j := 0.. N
Теперь рассчитайте значени
j к сечению шара плоскостью, пара
Вы у ии шара.
Обр
25, получится: ксов от кс будет обозначен i, а на оси y – обозначен j. Наберите: i (двоето-
чие) 0 (точка с запятой) N (по умолчанию шаг = 1, поэтому его и не за- писываем). Получится: я углов
ζ
ллельной координатной плоскости XOY, и в этом сечении
ϕi до пе- ресечения с поверхностью шара – как функции i и j. Наберите:
j (<Ctrl>+<g>) [ i (двоеточие) i*2*p (<Ctrl>+<g>)/ N. видите формулу, по которой вычисляется угол в сечен атите внимание: знак (квадратная скобка [ ) позволяет индексировать переменную, т. е. делать её функцией счетного индекса.
ϕ
i i 2
⋅
π
N
:=
Задайте радиус шара, например:
1
Аналогично наберите z (<Ctr
) [ j и т. д., как для
ϕ. Получится:
R :=
l>+<g>
ζ
j j 2
⋅
π
N
⋅
:=
Теперь рассчитайте координаты точки на шаре по формулам, кото- рые набирайте так: x [ i,j (двоеточие) R*sin(z (<Ctrl>+<g>) [ j)*cos(f
(<Crtl>+<g>) [ i). Аналогично наберите формулы для двух других коор- динат. Должно получиться: x
i j
,
R sin
ζ
( )
⋅
cos
ϕ
i j
( )
⋅
:=
y i j
,
R sin
ζ
j
( )
⋅
sin
ϕ
i
( )
⋅
:=
z i j
,
R cos
ζ
j
( )
⋅
:=
Сделайте "заготовку для чертежа. Для этого
ёлкните мышь на 3
ки наберите в скобках (через за- пяты
е: Mathcad различает строчные и прописные литеры, так что " щ
ю
–4 см ниже и нажмите <Ctrl>+<2> (двойка в верхнем ряду левой час- ти клавиатуры, – там, где "собачка" @ ).
В слот в нижнем левом углу заготов е) x , y , z.
Не забудьт
если Вы использовали прописные X, Y, Z в формулах, то так и наби- райте их в слотах. Получится замечательный рисунок (рис. 1.3).
12
Рис. 1.3. Двумерные графики: а) опции графика – по умолчан ance – Colormap – Fill Surface
Щёлкните вкладку
App
и те с опциями рисунка самостоятельно.
фика
диап я элементами, в которые впишем ко- орди
Затем вызовите всего клавишами
<Ct
ию; б) раскраска; опция Appear в) раскраска; опция Appearance – Colormap – Fill Contours. левой кнопкой мыши по нему, выберите
earance (появление, вид на экране) включите опцию Color (шар раскрасится, как арбуз).
Поэкспериментируй
1.5. Освоение функции CreateMesh для форматирования гра
В Mathcad имеется очень удобная функция, позволяющая задать азоны изменения аргументов и частоту нанесения сетки. Освоим ее на примере построения полусферы.
Шаг 1. Создадим вектор с трем наты точек сферы. Вектор создается так: Наберите имя вектора и знак присваивания – например, окошко для ввода матриц (проще
rl>+<M>), появится форма для ввода числа строк (Rows), туда введи- те 3, и столбцов (Columns), туда введите 1 – вот так (рис. 1.4):
Рис. 1.4. Окно для вставки матрицы.
(набирается двоеточием)
Sphere
ζ ϕ
,
( )
:=
13
В появившиеся с ируйте формулы, оп- реде лоты справа от формулы скоп ляющие координаты. Получится так:
Слоты для ввода формул
аг 2. Используйте функцию CreateMesh
:
Ш
для показа графика
Шаг 3. Выведите график (Заготовка <Ctrl>+<2>, в слот – я графика
H) и им потом поэкспериментируйте с пределами изменения аргументов, с ша- гами сетки, с цветом и другими опциями графика. Получится так (рис. 1.5):
Рис. 1.5. Примеры графиков, построенных с использованием функции CreateMes
Так должно получиться
h. после ввода координат
14
2>2>
§2. Решение уравнений
Пример. Найдем решение уравнения sin
φ
( )
2 0.6
−
φ
⋅
на интервале изме лить
запя
нения аргумента
ϕ от 0 до 3.5π.
2.1. Оценка числа корней и их приближенных значений (по графику)
Как Вас учили на уроках математики, сначала нужно грубо опреде-
, сколько корней имеет это уравнение и какие у них приблизительно значения. Лучше всего это сделать с помощью графика. Для этого зада- дим изменение аргумента с шагом, например, 0.1, и затем рассчитаем значения левой и правой частей уравнения как функции этого аргумента.
Наберите f (<Ctrl>+<g>) (двоеточие) 0,0.1*p (<Ctrl>+<g>) (точка с
той) 3.5*p (<Ctrl>+<g>). Получится:
φ
0 0.1
π
⋅
,
3.5
:=
π
⋅
Затем задайте функции левой и правой частей так:
x(f (<Ctrl>+<g>) ) (двоеточие) sin(f (<Ctrl>+<g>) )
y(f (<Ctrl>+<g>) ) (двоеточие) 2^-0.6*f (<Ctrl>+<g>)
Должно получиться так: x
φ
( )
sin
φ
( )
:=
y
φ
( )
2 0.6
−
φ
⋅
:=
графика (<Shift>
Сделайте заготовку для
), в слоте для абсциссы запи
- ниям x1=1; x2=3; x3= 6.5; x4=9.3.
+<2>
шите f (<Ctrl>+<g>), а в слот для ординаты внесите x(f (<Ctrl>+<g>) ).
Затем (клавишей ПРОБЕЛ или стрелочкой вверх-вниз) охватите обозна- чение в слоте синим прямоугольным обводом (это – признак выделения группы символов как единого объекта), нажмите клавишу (запятая).
Появится слот для ввода ординаты второй кривой, внесите в него y(f
(<Ctrl>+<g>) ). Щёлкните левой кнопкой мыши где-нибудь вне графика.
Появится график двух функций, приведите его "в порядок", как Вы уже делали раньше – чтобы он стал выглядеть примерно так, как на рис. 1.6.
Мы видим, что имеется 4 корня со следующими примерными значе и:
0 3
6 9
12 15 1
0.6 0.2 0.2 0.6 1
x
φ
( )
y
φ
( )
φ
Рис. 1.6. Определение числа корней уравнения по афику. гр
15
2.2. Нах
ка Given –
Find
Д
ождение корня уравнения. Операторная скоб
ля нахождения корня нужно сделать следующие шаги:
: f
Шаг 1: задать ориентировочное значение корня. Наберите
(<Ctrl>+<g>) (двоеточие) 1
φ
1
:=
Шаг 2. Ниже наберите так называемое служебное слово Given (опе- рато ора см. выше): рная скобка, обозначающая начало области решения уравнения).
Ниже слова наберите уравнение, ЗНАК РАВЕНСТВА НАБИРАЙТЕ
ПРИ НАЖАТОЙ КЛАВИШЕ
Должно получиться так (правила наб
Given sin
φ
( )
2 0.6
−
φ
⋅
Шаг 3. Закройте операторную скобку служебным словом Find, в его аргументе укажите – что найти, затем наберите обыкновенный знак ра- венства – так: Find(f (<Ctrl>+<g>) )= .
Получится уточненное значение первого корня:
Find
φ
( )
0.8
=
Найдите и другие корни. Для этого со рите (синим обхватом и кла- виш уточнение
6.35
§3. Учебная задача
на э наты трех точек. к
роходящей через эти точки, и т
ей backspace) значение ориентировочного корня (у нас =1) и замените его на x2 (равно 3, см. график).
Решение изменится, найдется уточненное значение 2.828.
Затем присвойте ориентировочное значение 6.5 (будет
4) и 9.3 (будет 9.405).
3.1. Постановка задачи
Построить чертеж плоскости, содержащей 3 точки, показать точки той плоскости.
ДАНО: коорди
Точка 1: x0:=1 y0:=2 z0:=3
Точка 2: x1:=2 y1:=1 z1:=2
Точка 3: x2:=3 y2:=3 z2:=1
ПОЛУЧИТЬ: уравнение плос ости, п построить ее чертеж с указанием положения этих точек. Диапазон изме- нения координат на чертеже: 0
≤ х ≤ 6, 0 ≤ у ≤ 6.
16
Решение проводим по этапам.
Этап 1. Проверить, не лежат ли точки на одной прямой. оена: мож-
Этап 2. щей через 3 точки.
Этап 4. ции, украшающие его.
.2. Выполнение этапа 1 «Проверка, не лежат ли точки на одной
прям
рса алгебры мы знаем, что для проверки нужно составить оп- реде едства Mathcad для вычисления определителя. ого ис- поль
Если да – ответ: плоскость не может быть постр но построить бесконечное число плоскостей, содержащих одну прямую. Конец расчета. Если нет:
Составить уравнение плоскости, проходя
Этап 3. Составить исходные данные для построения чертежа плос- кости и показа точек на чертеже.
Построить чертеж и установить оп
3
ой»
Из ку литель из координат точек. Если определитель равен 0 – точки лежат на одной прямой.
Используем ср
Шаг 1. Формируем шаблон матрицы размерности 3×3. Для эт зуем меню Insert Matrix или (быстрее) набираем <Ctrl>+<M> (мне- монически – Матрица), указываем число строк (rows) 3 и число столбцов
(columns) 3, затем нажимаем кнопку OK или (быстрее) клавишу Enter.
Получаем:
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Шаг 2. В слоты шаблона вводим координаты точек. От слота к слоту удобно перемещаться клавишей Tab (можно и мышью, но это дольше).
Получаем: x0
y0
z0
x1
y1
z1
x2
y2
z2
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Шаг 3. Охватываем матрицу синим ко уром (так образуется объект дейс y1
z1
x2
y2
z2
нт твий для Mathcad) и используем клавишу < | > для формирования оп- ределителя (клавиша – вверху клавиатуры, под клавишей F11, имеет вид вертикального пунктира). Получаем: x0 x1
⎛
⎞
⎜
⎟
y0
z0
⎜
⎟
⎝
⎠
17
Шаг 4. Теперь всё готово для вычислений. Набираем знак равенства и получаем ответ. z0
x1
z1
x2
z2
x0
⎛
⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
y0 y1 y2
⎝
⎠
12
=
Этап 1 завершен.
Поскольку определитель не равен 0, переходим к этапу 2.
3. Выполнение этапа 2 «Составлени уравнения плоскости,
прох
»
авляется с пом соотношения:
3.
е
одящей через 3 точки
Из курса алгебры мы знаем, что уравнение плоскости сост ощью x x0 y y0
−
z z0
−
−
⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
x1 x0
−
y1
y0
−
z1 z0
−
Определитель матрицы
⎝
⎠
x2 x0
−
y2
y0
−
z2 z0
−
Для составления уравнения используем символьные преобразования, встро итель (как описано в поясн пу 1).
Пол м:
равен 0.
енные в Mathcad.
Шаг 1. Формируем определ ениях к эта учае x x0
−
y y0
−
x1 x0
−
x2 x0
−
y1
y0
−
z1 z0
−
z z0
−
⎛
⎜
⎞
⎟
⎟
⎜
⎝
⎠
y2
y0
−
z2 z0
−
Шаг 2. Охватываем определитель синим контуром справа (переключе- ние контура слева направо и наоборот удобно делать клавишей Insert) и на- жимаем три клавиши, удерживая их одновременно: <
>+<Shift>+<точка>.
Так ся Mathcad-процессор "живых" символических преобразо-
вани
Ctrl
вызывает
й (т. е. таких, которые будут автоматически отслеживать изменение исходных данных).
Получаем:
Стрелка в Mathcad обозначает символьный знак равенства: сообщает
Mathcad’у, что нужно вывести формулу, а не результаты расчета. Если стереть слот, охваченный синим контуром или просто "щелкнуть" левой
18