Файл: Е. Г. Крушель, А. Э. Панфилов осваиваем mathcad.pdf

кнопкой мыши вне формулы, получится "заготовка" для уравнения плос- кости: x x0
−
y y0
z z0
−
y1
y0
−
y2
y0
−
−
z1 z0
−
z2 z0
−
⎛
⎞
⎜
⎜
⎝
x1 x0
−
x2 x0
−
⎟
⎟
⎠
3 x
⋅
12
−
3 z
⋅
+
→
А теперь представьте себе, что Вы раскрываете определитель вруч- ную, делая много ошибок, и оцените мощность научной базы Mathcad, позволяющей автоматизировать символьные преобразования!
(Не так давно символьные преобразования считались предметом чисто интеллекту- альной работы, доступной только человеку).
Шаг 3. Составление уравнения плоскости. Для этого нужно прирав- нять нулю определитель, сформированный на шаге 2, и решить получен- ное уравнение относительно одной из координат (обычно относительно аппликаты z).
Последовательность действий: а) Копируем результат символьного вычисления определителя. Для этого мышью выделяем его, затем клавишами <Ctrl>+<C> заносим в бу- фер, затем устанавливаем курсор на свободное место и извлекаем копию из буфера (<Ctrl>+<V>). Получаем:
3·x – 12 + 3·z б) Приравниваем полученное выражение нулю и решаем полученное уравнение относительно z в символах. Для того чтобы это можно было сделать средствами символьной математики, знак равенства используется
СПЕЦИАЛЬНЫЙ, так называемый ЖИРНЫЙ. Его набирают клавиша- ми <Ctrl>+< = >. Получаем: в) Вызываем символьный процессор (<Ctrl>+<Shift>+<точка>) и в появившийся слот вписываем директиву solve,z (означает команду "реши
19

относительно z"). Получаем: г) Щелкаем левой кнопкой мыши вне формулы и получаем искомое уравнение:
3 x 12
−
3 z
⋅
⋅
+
0 solve z x
−
4
,
+
→
зуем функцию CreateMesh, описанную в п. 1.5. x y
,
y
Это уравнение имеет форму z(x,y) := – x + 4 ( z(x,y) := нужно набрать, а формулу скопировать и вставить в слот после знака присваивания).
Этап 2 завершен.
3.4. Выполнение этапа 3 «Составление исходных данных для
построения чертежа плоскости и показа точек на чертеже»
Исполь
Шаг 1. Строим 3-мерные вектора (<Ctrl>+<M>, rows 3, columns 1) и вписываем в них координаты для плоскости Plane и точек T1, T2, T3: x
x0
⎛
x1
⎛
Plane(
)
z x y
,
(
)
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:=
y0
z0
T1 x y
,
(
)
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:=
y1
z1
T2 x y
,
(
)
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:=
z2
T3 x y
,
(
)
x2
y2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
:=
ар- гуме
Шаг 2. Пользуясь исходными данными для диапазона изменения нтов плоскости ( 0
≤ х ≤ 6, 0 ≤ у ≤ 6 ) и задаваясь числом линий сетки по осям (например, 7 по оси x и 6 по оси y), определяем функцию
CreateMesh для вывода чертежа:
P
CreateMesh Plane 0
, 6
, 0
, 6
, 7
, 6
,
(
)
:=
Этап 3 завершен. из меню Insert Graph Surface Plot), в слот вписываем им P и через запятую идентификаторы точек. Получаем изоб за- гото
-
3.5. Выполнение этапа 4 «Построение чертежа и установка
опций, украшающих его»
Шаг 1. Вызываем шаблон графи- ка двух переменных (<Ctrl>+<2> или
Рис. 1.7. я ражение, показанное на рис. 1.7.
Шаг 2. Щелкните левой кнопкой мыш ите и вне графика, и Вы увид вку: черно-белый чертеж плоско- сти, точки на нем не видны. Вначале покажите точки. Для этого щелкните по графику 2 раза левой кнопкой мы- ши (появится окно опций графика).
Выберите вкладку Appearance (внеш-
ний вид) и для графиков 2, 3, 4 (вклад
20

ки P
lot 2, Plot 3, Plot 4) включите кнопку Draw Points (рисовать точки), укажите размер (size) 2 (иначе их будет плохо видно) и задайте разные цвета (щелчком по кнопке Solid Color). Окно опций будет выглядеть так
(рис. 1.8):
Рис. 1.8. Окно задания цвета для точек графика.
Шаг 3. После появления точек выберите цветные опции для плоско- сти (вкладка Plot1), см. рис. 1.9.
Рис. 1.9.
Этап 4 завершен, решение задачизакончено.
21

§4. Индивидуальные задания по части 1
Вариант № 1:
Составьте уравнение и выведите на тот же чертеж, который получился при выполнении учебной задачи, от- резок прямой, соединяющей точки
(x0,y0,z0) и (x1,y1,z1) (координаты заданы в условиях учебной задачи).
Должно получиться так, как пока- зано на рис. 1.
Рис. 1
Вариант № 2:
Составьте уравнение и выведите ж, который получился при выполнении учебной задачи, чер- теж плоскости, параллельной опи- санной в учебной задаче, и проходя- щей через точку с координатами x3:= 3 y3:=3 z3:=8.
Диапазон изменения аргументов – такой же, как в учебной задаче.
Должно получиться так, как пока- зано на рис. 2.
Рис. 2
Вариант № 3: на тот же черте
Рис. 3
Составьте уравнение и выведите на тот же чертеж, который получился при выполнении учебной задачи, чер- теж плоскости, проходящей через две точки (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) перпен- дикулярно к плоскости, построенной в учебной задаче. Точки также покажи- те на чертеже. Координаты (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) заданы в условиях учеб- ной задачи. Диапазон изменения ар- гументов:
–1
≤ x ≤ 6; –1 ≤ y≤ 6.
Обязательно сделайте проверку по условию перпендикулярности плоско- стей.
Должно получиться так, как пока- зано на рис. 3.
22

Вариант № 4:
Постройте чертеж плоскости, араллельной координатной плоско- сти
- каз п
и расположенной на высоте, рав- ной 4. Постройте на том же чертеже плоскость, перпендикулярную коор- динатной плоскости и отсекающую на осях x и y отрезки, равные 5.
Должно получиться так, как по ано на рис. 4.
Рис. 4
Вариант № 5:
Выведите уравнения (аналогич- но выводу уравнения шара) для кону- са и постройте чертеж половины ко- нуса, как показано на рис. 5.
Высота конуса равна 4, угол при верш
/ 3. ине конуса равен
π
Рис. 5
Вариант № 6:
Выведите уравнения (аналогич- но выводу уравнения шара) для ци- линдра и постройте чертеж одной третьей части цилиндра, как показано на рис. 6.
Высота цилиндра равна 4.
Рис. 6 23

Вариант № 7:
Выведите уравнения (аналогич- но выводу уравнения шара) для ци- линдра и постройте чертеж его сече- ния плоскостью, расположенной па- раллельно координатной плоскости на высоте, равной 2.
Высота цилиндра равна 4.
Вариант № 8:
Должно получиться так, как по- казано на рис. 7.
Рис. 7
Выведите уравнения (аналогич- но выводу уравнения шара) для ци- линд еру того же радиуса R = 2, что и радиус осно- вания цилиндра.
Высота цилиндра равна 4.
Должно получиться так, как по- азано на рис. 8.
Рис. 8
Вариант № 9: ра, постройте чертеж его поло- вины, «обнимающей» полусф к
Постройте чертеж
¼
сферы, на- крытой плоскостью, как показано
9. Радиус сферы равен 2. на рис.
Плос- кост должна быть параллельна ко- орди атной плоскости XOY. На плос ости должна быть видна линия пересечения поверхности сферы с плос остью. Плоскость должна рас- секать
¼
сферы по «экватору». ь н
к к
Рис. 9 24

Вариант № 10:
Постройте чертеж пересечения прямой, проходящей через 2 точки
(x0,y0,z0) и (x1,y1,z1) (координаты заданы в условиях учебной задачи), с плоскостью, параллельной коорди- натной плоскости XOY и проходящей на в ажите точк покажите 2 точки, через которые проходит прямая.
Должно получиться так, как по- казано на рис. 10 (точки (x0,y0,z0) и
1,y1,z1) не показаны). ысоте 2.5. На чертеже пок у пересечения. Для контроля пра- вильности расчета
(x
Рис. 10 25

ЧАСТЬ 2. МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ В MATHCAD
Введение. Общие сведения о
Mathcad содержит мощные сре торами, основанные на аксиомах а рации, основанные на алгебре матр женерной и программистской прак владеть свободно – так, как обычно
Перечень основных операций с
1. Ввод матрицы (вектора), ее столбцов или элементов, добавление и удаление столбцов и строк, выделение бло- ков единение матриц или векторов.
2. Определение размерностей матриц и векторов.
3. Вычисление определителя матрицы.
4. Чтение массивов данных из дисковой памяти в матрицу или век- тор.
5. Запись матрицы (вектора), содержащей результаты расчета, на диск.
6. Сортировка элементов вектора по убыванию или возрастанию, определение пересечений (т. е. одинаковых элементов) в двух векторах.
7. Транспонирование матриц.
8. Все операции матричной алгебры (умножение на скаляр, сложе- ние и умножение матриц, обращение матриц, возведение матрицы в сте- пень).
9. Вычисление скалярных произведений и квадратичных форм.
10. Вычисление собственных (характеристических) чисел и векто- ров.
11. Решение систем линейных уравнений с помощью матричной ал- гебры.
12. Выполнение одинаковых операций над всеми элементами мат- рицы (так называемая векторизация).
13. Символьные вычисления с матрицами и векторами.
Многие другие операции с матрицами понадобятся Вам при изуче- нии дисциплин учебного плана на старших курсах.
матричной алгебре в Mathcad
дства для работы с матрицами и век- лгебры матриц. Математические опе- иц, очень широко используются в ин- тике. Этими операциями Вы должны й алгеброй. матрицами и векторами: обращение к любому из из матрицы, со
26

Вид
sert – Matrix или
(это
<M> (можно набрать либо стро
, на экра
окна «Матрицы» (Insert matrix).
Рис. 2.1. Окно «Матрицы» и пояснения к нему.
Окно «Матрицы» (рис. 2.1) вызывается из меню In
быстрее и лучше) клавишами <Ctrl>+
чную m, либо прописную M, мнемоническая связь m – matrix).
§5. Осваиваем технику работы с матрицами и векторами
Будем изучать возможности матричной алгебры Mathcad на примерах.
5.1.
Ввод матрицы и вектора
Наберите идентификатор матрицы. Традиция представления матриц в научной литературе предписывает использовать в качестве идентифи- каторов матриц прописные литеры (хотя не будет ошибки и при исполь- зовании строчных). Затем наберите знак присваивания (<двоеточие>
не выведется :=), после чего вызовите окно «Матрицы»
(<Ctrl>+<M>). Экран будет выглядеть так, как показано на рис. 2.2:
Ри 2.2. Подготовка к вводу матрицы. Число строк и столбцов указано по умолчанию.
с.
Окошко ввода числа сто бцов
Кнопка вставки (Jnsert) и удаления (Delete) числа строк и/или столбцов ука- занного в окошках ввода рок
Закрыть но
Кнопка вывода шаб- лона матрицы, или столбцов на экран
Око вв числа ст ок результата изменения числа строк и/или шко ода л
Кнопка сброса
27

Мы видим, что имеется указание числа строк и столбцов (по умол- чанию 3). Исправьте их для ввода нашего примера. Число строк (rows) укажите равным 3, число столбцов (columns) – равным 4 и нажмите OK. Между окошками ввода лучше всего перемещаться клавишей <Tab> (мож- но и мышью). На экран выведется шаблон мат- рицы со слотами для ввода значений (рис. 2.3).
Пользуясь клавишей <Tab> для перемеще- ния между слотами, введите какие-либо числовые данные, затем щелкните левой кнопкой мыши где-либо вне шаблона (рис. 2.4).
Ввод матрицы с числовыми значениями за- вершен.
Аналогично вводятся частные случаи мат но указать число тор с числом элементов, равным 2, как функцию от значений этих элементов.
Набе строк
b и
b
2
. З
ввода показан на рис. 2.5.
A
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:=
- риц – векторы (для их ввода нуж столбцов = 1) и строки (для них нужно указать число строк = 1).
Освоим теперь операцию ввода матриц в форме функции значений их элементов. Сформируем, например, век рите B(b
1
,b
2
):= и затем вызовите окно «Матрицы». Введите число
(2) и столбцов (1), нажмите OK и в слоты введите параметры
1 десь 1 и 2 – НЕ индексы, а косметические обозначения (вводятся че- рез сметическую точку). Результат ко
B b1 b2
,
(
)
b1
b2
⎛⎜
⎜⎝
⎞⎟
⎟⎠
:=
B 7 0.6
−
,
(
)
7 0.6
−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
=
Рис. 2.5. Матрица как функция значений ее элементов. теперь Вы наберете идентификатор вектора и укажете в
Если скоб- ках числовые значения параметров, вектор получится с числовыми зна- чениями (см. рис. 2.5).
Ввод матрицы в форме функции значений ее элементов завершен.
5.2. Обращение к элементам матриц.
По умолчанию элементы матриц нумеруются в Mathcad начиная с
нулевого. При желании можно переопределить начальный индекс, но лучше этого не делать (из-за этого осложнится обращение ко многим встроенным функциям и работа с программами). После небольшой тре- ни
Рис. 2.3. Шаблон матрицы.
A
2 5
1 4
7 7
−
5 8
6.8 6
9 9.3
⎛
⎞
⎜
⎟
:=
⎜
⎟
⎝
⎠
Рис. 2.4. Матрица введена. ровки Вы привыкнете считать элементы с нуля (как американцы).
28

Пример: прочтем второй элемент третьей строки матрицы A. Для этого наберем, используя клавишу ввода индексов (открывающая квад- и увидим на экране результат (рис. 2.6). Для вы- ния вектора номер столбца указывать не нужно. ачение вектора B(3,7) из второй строки (результат ратная скобка [ ): A[2,1
вода какого-либо значе
Выведите, например, зн
– на рис. 2.6).
B b1 b2
,
(
)
b1
b2
⎛⎜
⎜⎝
⎞⎟
⎟⎠
:=
7 8
6.8 6
9 9.3 2
A
5 1
4 7
−
⎛
5
⎞
⎟
⎟
⎠
⎜
:=
⎜
⎝
B 7 0.6
−
,
(
)
7
⎛
0.6
−
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
A
2 1
,
7
−
=
=
B 7 0.6
−
,
(
)
1 0.6
−
=
Рис. 2.6. Вы
, напри- мер, когда вводим исходные данные из таблицы (из файла), а для обра- ботки этих данных удобно пользоваться столбцами матрицы как отдель- ными векторами.
Освоим эту операцию при решении задачи. файл е этот ы работы мости указывать длин- ный ущем каталоге. Рассмотрите из о вод элементов матриц на экран.
Изучение обращения к элементам матриц и векторов завершено.
Не забудьте записать результаты на диск!
5.3. Обращение к столбцу матрицы
Весьма полезной является операция формирования векторов из от-
дельных столбцов матрицы. С такой операцией мы встречаемся
ДАНО: имеется результатов наблюдения за процессом нагрева материала в печи, в котором указаны значения подачи топлива (первый столбец) и соответствующего ему значения температуры в печи (столбец 2).
Имя файла 4.txt, распложен в папке Mathcad преподавателя. Скопируйт файл в свою папку, в которую Вы записываете текущие результат с матрицами. Это избавит Вас от необходи путь к файлу 4.txt, размещенному не в тек болочки операционной системы структуру этого файла. Вы увидите 2 столбца символов, кодирующих результаты опыта (ASCII-коды, American
Standard Codes for Information Interchange, американские стандартные коды для обмена информацией между различными средами программирования и обработки данных, по-русски произносится «АСКИ-коды»).
29

ПОЛУЧИТЬ: в среде Mathcad представить на графике результаты наблюдений, записанные в файле 4.txt.
Последовательность действий для решения задачи:
ƒ
Этап 1. Ввести таблицу результатов наблюдений из файла 4.txt в матрицу в среде Mathcad.
Этап 2. Сформировать из полученной матрицы векторы, один из которых представляет собой запись результатов подачи топлива
(пер- вый столбец в файле, который после выполнения этапа 1 представлен в нулевом столбце матрицы), а второй – который после вы- полнения этапа 1 представле
ƒ
Этап 3. Рассч векторах (это число позволит оп элементов мас- сива, чтобы указать
ƒ
Этап 4. лементов мас- сива по результатам
ƒ
Этап 5. Вывести результат на график.
ыполнение
санных в ASCII- кода ы
(нап ю чтен о набирать ПРОПИС-
НЫ
ите идентификатор для знач знак присваивания, в обра
ƒ
значения температуры (второй столбец в файле, н в первом столбце матрицы
). итать число элементов в полученных ределить диапазон изменения индексов его на графиках).
Указать диапазон изменения индексов э выполнения этапа 3. ы
В
этапа 1«Ввод файла данных, запи х, в среду Mathcad». Наберите какой-либо идентификатор матриц е, и введите функци ример, X), в которую будете вводить данны я данных READPRN (имя функции нужн и
МИ)
X : = READPRN(“4.txt”)
Этап 1 завершен.
Выполнение Этапа 2 «Формирование векторов из матрицы X».
Выборка векторов создается с помощью клавиш <Ctrl>+<^> («шляпка» над цифрой 6 на левой части клавиатуры). Введ ний топлива (например, Fuel), затем наберите е
зовавшийся слот введите идентификатор матрицы (X) и нажмите
<Ctrl>+<^>. Образуется слот, в ко- торый нужно вписать номер столбца матрицы X (не забудьте – счет начи- нается с нуля!). Аналогично обра- зуйте вектор для значений темпера- туры (Temperature). Должно полу- читься так, как показано на рис. 2.7.
Этап 2 завершен.
Выполнение этапа 3«Расчет числа элементов в векторах». Это можно сделать, используя функцию rows( ), которая возвращает число
Рис. 2.7. Формирование векторов из матрицы.
X
READPRN "4.txt"
(
)
:=
Fuel
X
0
〈 〉
:=
Temperature
X
1
〈 〉
:=
30