ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.03.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Первая – по точкам 1,
я – по точкам 2,3,4,5.
Показаны области определения аргументов я построения интерполирующей кривой.
Точки, по которым вычисле- ны коэффициенты для пер- вой кубической параболы
Область аргументов для вычисления интерполи- рующей функции: по урав- нению
второй
параболы
Область аргументов для вычисления интерполи- рующей функции: по уравнению
первой
па- раболы
Точки, по которым вычисле- ны коэффициенты для второй кубической параболы
Рис. 2.44. Иллюстрация к шагам 4 и 5: построены две кубические параболы.
2,3,4. Втора дл
Рис. 2.45. Иллюстрация к шагу 5: два агмента интерполирующей функции. росто отбросить первую и последнюю фр
Первый – участок кубической параболы, коэффициенты которой рассчитаны по точкам 1,2,3,4. Второй – участок кубической параболы, коэффициенты которой рассчитаны по точкам 2,3,4,5.
Первый и последний участки
(от первой до второй точки и от предпоследней, N–1-й, до последней, N-й точки) оказываются не охва- ченными интерполяционной функцией. Имеются разные варианты обхо- да этого недостатка. Первый – п
63
точки. Область интерполяции будет уже области, занятой точками, но ес- ли точек много, т несущественным. Второй – до- полнить первый и прямыми линиями, либо пара- болами. Можно также прорисовки первой и последней кубических парабол (первую использовать для интерполяции не только между точками 2 и 3, но также и между точками 1 и 2; последнюю – для интерполяции между точками N-2 и N-1, но и между точками N-1, N).
адачи интерполяции функции в среде Mathcad с
и
риц и векторов.
аты точек в форме файла Data.txt. Файл нужно ско- пи каталог студента, чтобы для чтения файла не нужно было указывать путь к нему. Структура файла (просмотрите ее средства- ми оболочки операционной системы): первый столбец – значения абсцисс точек, второй – значения ординат точек.
ПОЛУЧИТЬ
: гладкую кривую, оединяющую точки.
Р
Этап 1
. Чт
, вывод точек на
тап 2
. Расчет параметров кубических парабол для интерполирую- щей функции.
Этап 3
. Указание интервалов изменения абсциссы для каждой куби- ческой параболы.
Этап 4
. Построение интерполирующей кривой.
7.3.2.1. Выполнение этапа 1: «Чтение файла с диска, определение
числа точек, вывод точек на график».
а) Выбираем идентификатор массива (например, Points) и считываем файл с координатами точек в этот массив:
Points := READPRN(“Data.txt”). б) Определяем число точек (m) в массиве (по числу строк) с исполь- зованием функции rows( ): m := rows(Points)
Выводим значение m: в
м индек о это может оказаться последний участок либо продлить участки
7.3.2. Решение з
спользованием мат
ДАНО: координ ровать в текущий с
ешение
проводится поэтапно. ение файла с диска, определение числа точек гр афик
Э
m = 6
) Учитывая нумерацию элементов массива в Mathcad с нуля, вводи сы точек: k := 0 .. m-1 г) Для того чтобы избежать громоздких обозначений, вводим раз- дельные идентификаторы для абсцисс (x
k
) и ординат (y
k
) точек: x
Points
0
〈 〉
:=
y
Points
1
〈 〉
:=
64
адачи интерполяции функции в среде Mathcad с
и
риц и векторов.
аты точек в форме файла Data.txt. Файл нужно ско- пи каталог студента, чтобы для чтения файла не нужно было указывать путь к нему. Структура файла (просмотрите ее средства- ми оболочки операционной системы): первый столбец – значения абсцисс точек, второй – значения ординат точек.
ПОЛУЧИТЬ
: гладкую кривую, оединяющую точки.
Р
Этап 1
. Чт
, вывод точек на
тап 2
. Расчет параметров кубических парабол для интерполирую- щей функции.
Этап 3
. Указание интервалов изменения абсциссы для каждой куби- ческой параболы.
Этап 4
. Построение интерполирующей кривой.
7.3.2.1. Выполнение этапа 1: «Чтение файла с диска, определение
числа точек, вывод точек на график».
а) Выбираем идентификатор массива (например, Points) и считываем файл с координатами точек в этот массив:
Points := READPRN(“Data.txt”). б) Определяем число точек (m) в массиве (по числу строк) с исполь- зованием функции rows( ): m := rows(Points)
Выводим значение m: в
м индек о это может оказаться последний участок либо продлить участки
7.3.2. Решение з
спользованием мат
ДАНО: координ ровать в текущий с
ешение
проводится поэтапно. ение файла с диска, определение числа точек гр афик
Э
m = 6
) Учитывая нумерацию элементов массива в Mathcad с нуля, вводи сы точек: k := 0 .. m-1 г) Для того чтобы избежать громоздких обозначений, вводим раз- дельные идентификаторы для абсцисс (x
k
) и ординат (y
k
) точек: x
Points
0
〈 〉
:=
y
Points
1
〈 〉
:=
64
Для слота номера столбца используйте клавиши <Ctrl>+<6>. д) Выводим точки на график, чтобы наглядно представить себе их рас- положение. Используем шаблон графика (<Shift>+<2>) и указываем абсцис- сы и ординаты точек. Должно получиться так, как показано на рис. 2.46. интерполирующей функ- ции, ми x
k
, x
k+1
, x
k+2
, x
k+3
, k = 0,
1, …
точки й через них. болы на участке x
k
≤ x ≤ x
k+3
имеет
Исходя из того, что этому уравнению должны удовлетворять все точки
y
k
, y
k+1
, y
k+2
, y
k+3
, получим систему уравнений для оп парамет-
Для того чтобы показать точки, щелкните левой кнопкой мыши по области графика, выберите вкладку Trace (линии) и укажите тип (Type) Points (точки). Укажите для них толщину (Weight) 3 и одинаковый цвет (Color). Затем выберите вкладку XY-axes (оси), включите линии сетки (Grid lines), отключите автоматическое определение числа точек
(AutoGrid) и введите по 5 линий сетки на осях X и Y. Затем введите русский стиль осей
(Axes Style) – пересечение (Crossed).
х к
Рис. 2.46. Исходные данные для построения интерполяционной функции.
Этап 1 завершен.
7.3.2.2. Выполне
ров кубических па-
рабол для интерполирующей функции».
Пусть в окно, охватывающее очередные 4 точки для пос
ние этапа 2: «Расчет парамет
троения фрагмента попали точки y
k
, y
k+1
, y
, N–3, N – индекс последней
k+2
, y
k+3 с абсцисса
,
-1,
N
:= m
N
= 5.
По координатам этих точек нужно найти параметры k-й кубической пара- болы, проходяще
Уравнение пара вид:
3 3
,
2 2
,
1
,
0
,
x
a
x
a
x
a
a
y
k
k
k
k
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
ределения
65
ров
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3 3
3 3
,
2 3
2
,
3 1
,
0
,
2 3
2 3
,
2 2
2
,
2 1
,
0
,
1 1
3
,
1 2
,
1 1
,
0
,
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
x
a
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
Введем матричные обозначения для этой системы уравнений:
Тогда коэффициенты параболы найдутся так: где a
k
– вектор коэффициентов параболы:
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
,
1
,
0
,
k
k
k
k
a
a
a
Формула оляции значений функции на интервале x
k
≤ x ≤ x
k+3
име параболы:
⎪
⎧
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
3 2
3 3
,
2 2
,
1
,
0
,
k
k
k
k
k
k
k
k
y
x
a
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
x
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3 2
1 3
3 2
3 3
3 2
2 2
2 3
1 2
1 1
3 2
1 1
1 1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
y
y
y
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
k
k
k
B
A
a
⋅
=
−1
)
(
,
⎥
⎢
2
,
k
a
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢a
для интерп ет вид: f a k
x
,
( )
a k
T
x
⋅
, где
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
=
2
x
x
⎦
⎤
⎢
⎣
3 1
x
x
⎡
Оформим эти вычисления в Mathcad (рис. 2.47).
66
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3 3
3 3
,
2 3
2
,
3 1
,
0
,
2 3
2 3
,
2 2
2
,
2 1
,
0
,
1 1
3
,
1 2
,
1 1
,
0
,
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
x
a
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
Введем матричные обозначения для этой системы уравнений:
Тогда коэффициенты параболы найдутся так: где a
k
– вектор коэффициентов параболы:
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
,
1
,
0
,
k
k
k
k
a
a
a
Формула оляции значений функции на интервале x
k
≤ x ≤ x
k+3
име параболы:
⎪
⎧
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
3 2
3 3
,
2 2
,
1
,
0
,
k
k
k
k
k
k
k
k
y
x
a
a
x
a
a
y
x
a
x
a
x
a
a
x
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3 2
1 3
3 2
3 3
3 2
2 2
2 3
1 2
1 1
3 2
1 1
1 1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
y
y
y
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
k
k
k
B
A
a
⋅
=
−1
)
(
,
⎥
⎢
2
,
k
a
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢a
для интерп ет вид: f a k
x
,
( )
a k
T
x
⋅
, где
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
=
2
x
x
⎦
⎤
⎢
⎣
3 1
x
x
⎡
Оформим эти вычисления в Mathcad (рис. 2.47).
66
Индексы элементов матриц А и В:
i
0 3
:=
j
0 3
:=
k
0 N
3
−
:=
Матрицы, в которые входят все матрицы коэффициентов для всех кубических парабол:
A
i k
+ j
,
x i k
+
( )
j
:=
B
i k
+
y i k
+
:=
Числовые значения, которые должны получиться:
A
1 1
1 1
1 1.25 2
3.333 4
6.5 1.563 4
11.109 16 42.25 1.953 8
37.026 64 274.625
⎛
1 5
25 125
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
B
0.707 0.951 0.866 0.588 0
0.809
−
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
ой параболы:
A
k 0
,
submatrix A k
, k 3
+
,
0
, 3
,
(
)
:=
B
k submatrix B k
, k 3
+
,
0
, 0
,
(
)
:=
Формула для расчета
Формула для интерполяции параметров параболы:
значений функции:
a k
A
k 0
,
( )
1
−
B
k
⋅
:=
f a z
,
(
)
a
T
z z
2
z
3
Вырезки матриц для каждой кубическ
1
⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝
⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
⋅
:=
Рис. 2.47. Формулы для расчета параметров кубической параболы.
Выполнение этапа 2 завершено.
7.3.2.3. Выполнение этапа 3: «Указание интервалов изменения абс-
циссы
указать вектор, эле- мент для каждой кубиче-
для каждой кубической параболы».
Удобно ами которого будут области определения абсцисс
67
ской параболы. Это не совсем обычный вектор: значения его элементов – не числа, а числовые последовательности. Если попытаться его ввести как обычно (XX
k
:= ), то Mathcad расшифрует это как команду вывода значе- ний. Для того чтобы «обмануть» Mathcad, делайте так: сначала наберите
XX
x k 1
+
x k 1
+
0.01
+
,
x k 2
+
:=
(не обращайте внимание на «красный» сигнал об ошибке), а затем под- ставьте индекс под идентификатором XX скобкой < [ > ). Должно полу- читься так:
XX
k x
k 1
+
x k 1
+
0.01
+
,
x k 2
+
:=
XX
2 2.01
,
3.333 3.333 3.343
,
4 4 4.01
,
5
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
Мы видим, что каждый элемент вектора XX показывает, на каком интервале должны рассчитываться значения по соответствующей куби- ческой параболе.
Как указывалось выше, для первого и последнего интервала нужно использовать дополнительные участки первой и последней кубической параболы. Соответствующие интервалы изменения аргументов:
Xstart x
0
x
0 0.01
+
,
x
1
:=
Xfinish x
N 1
−
x
N 1
−
0.01
+
,
x
N
:=
Этап 3
завершен.
7.3.2.4. Выполнение этапа 4: «Построение интерполирующей
кривой»
.
Должно получиться так, как показано на рис. 2.48. Вы увидите гладкую кривую, соединяющую точки графика.
Выполнение этапа 4
завершено.
Решение задачи интерполирования значений функции
закончено.
Нужн енировки матрицы по примера соде е расчеты «уложились» в показан- ные о обратить внимание, что после соответствующей тр зволяют находить решение почти сразу: весь текст ржал только пояснения, а нужны а рис. 2.47. н
68
k
:= ), то Mathcad расшифрует это как команду вывода значе- ний. Для того чтобы «обмануть» Mathcad, делайте так: сначала наберите
XX
x k 1
+
x k 1
+
0.01
+
,
x k 2
+
:=
(не обращайте внимание на «красный» сигнал об ошибке), а затем под- ставьте индекс под идентификатором XX скобкой < [ > ). Должно полу- читься так:
XX
k x
k 1
+
x k 1
+
0.01
+
,
x k 2
+
:=
XX
2 2.01
,
3.333 3.333 3.343
,
4 4 4.01
,
5
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
=
Мы видим, что каждый элемент вектора XX показывает, на каком интервале должны рассчитываться значения по соответствующей куби- ческой параболе.
Как указывалось выше, для первого и последнего интервала нужно использовать дополнительные участки первой и последней кубической параболы. Соответствующие интервалы изменения аргументов:
Xstart x
0
x
0 0.01
+
,
x
1
:=
Xfinish x
N 1
−
x
N 1
−
0.01
+
,
x
N
:=
Этап 3
завершен.
7.3.2.4. Выполнение этапа 4: «Построение интерполирующей
кривой»
.
Должно получиться так, как показано на рис. 2.48. Вы увидите гладкую кривую, соединяющую точки графика.
Выполнение этапа 4
завершено.
Решение задачи интерполирования значений функции
закончено.
Нужн енировки матрицы по примера соде е расчеты «уложились» в показан- ные о обратить внимание, что после соответствующей тр зволяют находить решение почти сразу: весь текст ржал только пояснения, а нужны а рис. 2.47. н
68
Начальный участок (рассчитан по пара- метрам первой кубической параболы) x0
XX
0
:=
x1
XX
1
:=
x2
XX
2
:=
k
0 N
:=
Рис. 2.48. График интерполирующей функции.
Замечание
: В одной из монографий по теории матриц в качестве эпиграфа было запи- сано: «Матрицы экономят бумагу, но расходуют мозги». Монография устарела: после появ- ления Mathcad матрицы экономят не только бумагу, но и мозги.
6>2>
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
§8. Учебная задача
раллелограмма (табл. 2).
Ребр AB, AC, AD – смежные (т. е. выходят из одной вершины A).
Таблица 2
Вершина A: x
A
:=1
y
A
:=2
z
A
:=3
8.1.
Постановка задачи
ДАНО
: координаты вершин A, B, C, D па а
Таблица координат вершин:
Вершина B: x
B
:=2
y
B
B
:=1
z
B
:=2
Вершина C: x
C
:=3
y
C
:=3
z
C
:=1
Вершина D: x
D
:=3
y
D
:=3
z
D
:=8
ПОЛУЧИТЬ
:
. Координаты
1 2.
остальных вершин параллелограмма;
Построить чертеж параллелограмма.
3. Найти длину ребер AB, GH.
4. Найти угол между ребрами AB и AC, сделать проверку.
1 2.2 3.4 4.6 5.8 7
1 0.5 0.5 1
1.5
y k
f a
0
x0
,
(
)
0
Участок, рассчитанный по парам ам етр первой кубической параболы
Участок, рассчитанный по параметрам второй кубической параболы
Участок, рассчитанный по па- раметрам третьей кубической параболы f a
1
x1
,
(
)
0
f a
2
x2
,
(
)
0
f a
0
Xstart
,
(
)
0
f a
2
Xfinish
,
(
)
0
Концевой участок (рас- считан по параметрам последней кубической параболы) x
k x0
,
x1
,
x2
,
Xstart
,
Xfinish
,
69
5. Найти площадь грани, содержащей вершины A, B, C.
6. Найти объем параллелепипеда.
1 и 2.
Задания 1 и 2 выполняем парал- лельно, т. к. построение ождения коор- динат вершин (иначе не
Этапы решения
:
Этап 1
. Строим плоскость P
ABC
, проходящую через 3 вершины (A, B, C) параллелограмма. На этой плоскости разместится одна из граней параллело- грамма. Способ построения плоскости по координатам 3-х точек подробно описан в учебной задаче к части 1 (§3).
Показываем на этой плоскости точ- ки (вершины) (A, B, C) параллелограмма.
Получится так, как показано на рис.
2.49. скость P
D
, па- араллелограмма, про- тивоположная к находящейся на плоско- оказываем на плоскости точку D.
Получится так, как показано на рис.
Этап 3
шинами A, B, C (эта резки прямых аллел ма)
AB
, AC. Пров ок п от точки A к точ ро параллело- грамма). как показано на рис.
2.51
8.2.
Решение
8.2.1.
Пояснения к заданиям
целесообразно делать по ходу нах избежно запутаемся).
Рис. 2.49.
Этап 2
. Строим пло раллельную построенной на этапе 1 и проходящую через вершину D. На ней разместится грань п сти этапа 1.
П
2.50.
Рис. 2.50.
На плоскости P
ABC
с вер- п 1) проводим от-
(ребра пар ограм одим отрез рямой ке D (реб
Получится так,
Рис. 2.51.
70