Файл: 1 в треугольнике против угла в 150 лежит большая сторона.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.03.2024
Просмотров: 8
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1)В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. _____
2)В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°____
3)Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. _______
4)Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. __________
5)Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°._________
6)Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. __________
7)В равностороннем треугольнике все высоты равны. _______
8)Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. ___________
9)Существует треугольник с двумя тупыми углами.____________
10)В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°____________.
11)Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. ______________
12) По теореме косинусов можно определить вид треугольника.____________
13) В треугольнике KLN, KL=8,4 cм, LN=13,2 см, KN=7,5 см. Угол L треугольника наибольший.____
14. Стороны треугольника 10см, 12см, 7см. Угол, противолежащий стороне 7см тупой._______
1)В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. _____
2)В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°____
3)Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. _______
4)Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. __________
5)Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°._________
6)Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. __________
7)В равностороннем треугольнике все высоты равны. _______
8)Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. ___________
9)Существует треугольник с двумя тупыми углами.____________
10)В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°____________.
11)Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. ______________
12) По теореме косинусов можно определить вид треугольника.____________
13) В треугольнике KLN, KL=8,4 cм, LN=13,2 см, KN=7,5 см. Угол L треугольника наибольший.____
14. Стороны треугольника 10см, 12см, 7см. Угол, противолежащий стороне 7см тупой._______
1)В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. _____
2)В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°____
3)Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. _______
4)Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. __________
5)Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°._________
6)Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. __________
7)В равностороннем треугольнике все высоты равны. _______
8)Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. ___________
9)Существует треугольник с двумя тупыми углами.____________
10)В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°____________.
11)Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. ______________
12) По теореме косинусов можно определить вид треугольника.____________
13) В треугольнике KLN, KL=8,4 cм, LN=13,2 см, KN=7,5 см. Угол L треугольника наибольший.____
14. Стороны треугольника 10см, 12см, 7см. Угол, противолежащий стороне 7см тупой._______
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.
Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.
Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.
Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.
Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
Доказательство:
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.
Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.
Теорема 4.
Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.
Теорема 5. Радиус окружности
, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 
и 
и гипотенузой 
, вычисляется по формуле: 
Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Напомним определение правильного многоугольника:
Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.
Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.
Теорема 6.
Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен
А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
Докажем эту теорему.
У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.
Пусть в правильном треугольнике
стороны 
, точка О – центр вписанной и описанной окружностей, 
— медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда 
Получаем, что
Из треугольника АВН получаем, что длина стороны
Тогда
Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника —
Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник
Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.
Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.
Решение:
Длина стороны равностороннего треугольника
равна 
Радиусы
– вписанной и 
– описанной окружностей можно найти по формулам:
где — сторона треугольника.Значит,
Ответ:
Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.
Вот две полезные формулы для площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
,где
— полупериметр, — радиус окружности, вписанной в треугольник.Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части
:
где
— стороны треугольника,
