— радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:


Теорема синусов:



R — радиус описанной окружности

 

 

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:



 где   – полупериметр треугольника, a   – его стороны.





Тогда  , а диаметр окружности равен 

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен  . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите  .



Решение:

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен  . Тогда гипотенуза равна  .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

---

Приравняв эти выражения, получим, что  . Поскольку  , получаем, что  .

Тогда  .

В ответ запишем  .

Ответ: ⁴.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике   сторона   равна   , а угол   равен  . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.



Решение:

По теореме синусов 

Тогда 

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике   угол А равен  , а угол В –  . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 

---

, если сторона   равна 10.



Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна  , найдем угол С.

По теореме синусов 

Значит, 

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.



По теореме синусов,



Получаем, что  . Угол   — тупой. Значит, он равен  .

Ответ: ¹⁵⁰.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны  , основание равно  . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.



Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.



, где   — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону 

---

 пополам. По теореме Пифагора найдем  .

Тогда  .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике   основание   равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.



Решение:

Высота  , проведенная к основанию  , является медианой. Значит,  .

 находится по теореме Пифагора из треугольника  :



Периметр треугольника   – это сумма длин сторон, т.е. 

Площадь треугольника 

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле 



Ответ: 

---

Задача 9, ОГЭ. Стороны   и   треугольника   равны 6 и   соответственно, угол  . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника  .



Решение:

Найдем длину стороны   по теореме косинусов, используя длины сторон  ,   и косинус угла В, противолежащего стороне  :

Теперь воспользуемся теоремой синусов:





Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника  , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности  , а длина радиуса вписанной окружности 

Мы знаем, что 

---

Смотрите также файлы

• Содержание Введение Сущность импортозамещения и его формирование в России Импортозамещение в России по отраслям экономики Перспективы реализации стратегии импортозамещения в России Заключение Список литературы Введение.rtf

• ПМ. 02 Организация архивной и справочноинформационной работы с документами организации.doc

• Ассортимент, приготовление и способы подачи дипсоусов для фондю.doc

• Жамаладин ымбат ыдырызы.doc

• Лекции по теме философия религии и морали. Единство и многообразие религиозного и морального опыта.doc