Файл: Техническая эксплуатацияавтомобилейтеоретические и практические аспекты.pdf

Зная вероятность свободного состояния, можно найти все дру- гие вероятности, после чего можно найти величину средней оче- реди 7 как математическое ожидание (напомним, что -
=
+
+
+ • • • +
= 1— -
-
п
\ п
a"
a
Вынесем за скобку общий множитель и перепишем
_ _ а
п
п
— I +
п
а
т —
п
Анализируя коэффициенты и степени слагаемых в скобке, мож- но заметить, что это производные геометрической прогрессии. Взяв производную от формулы суммы геометрической прогрессии с учетом того, что — 1 и т
получим в окончательном виде
п
формулу средней очереди
Зная среднюю очередь, легко найти среднее время ожидания в очереди — время, которое требуется, чтобы «набежала» средняя очередь:
Рассмотрим применение выведенных формул на примерах.
Пример 1. Автозаправочная с двумя колонками (п = 2) обслу- живает поток автомобилей интенсивностью = 0,8
Среднее время заправки одного автомобиля — 2 мин
= 0,5
Требуется опреде- лить среднее время пребывания автомобиля на АЗС.
Оценим рассматриваемую СМО на предельное состояние сравнением интенсивностей потока заявок и потока обслуживании, ко- торый будет делиться на две колонки, их пропускная способность
2ц = 2 • 0,5 = 1 0,8, значит, очереди будут иметь конечную величину.
Относительная интенсивность потоков
1,6, вероятность свобод- ного состояния а
1,6 + 1,28 +
190
Вероятность, что на АЗС будут находиться 2 автомобиля =
Вероятность, что не будет очереди + + =
+
+ 0,142 =
= 0,431.
_
Средняя очередь
=
-
=
- 2,84
Среднее время ожидания в очереди =
=
мин.
Среднее время пребывания автомобиля на АЗС будет складываться из среднего времени обслуживания и ожидания, что составит 2 + 3,55 =
= 5,55 мин.
Пример 2. В крупном в течение рабочей смены (продолжитель- ность смены
= 7 ч) в среднем требуется устранение отказов 20 авто- мобилей. Среднее время ремонта автомобиля
=
ч. Простой одного автомобиля в ожидании ремонта обходится предприятию С = 375
а заработная плата одного ремонтного рабочего
= 75 руб./ч.
Требуется определить количество рабочих при котором общие зат- раты предприятия от простоя автомобилей в ожидании ремонта и на заработную плату рабочих были бы минимальны.
Р е ш е н и е . Если среднее число автомобилей, ожидающих ремонта,
обозначить 7 , то общие затраты будут выражены как
С +
Рассмотрим два варианта организации работы ремонтных рабочих:
индивидуальная работа — только один рабочий занимается ремонтом конкретного автомобиля; бригадная организация работ — все рабочие единой бригадой участвуют в работе.
Поскольку по принятому условию задачи автотранспортное предпри- ятие крупное (число автомобилей 500 и более), связь между потоком заявок на ремонт и потоком обслуживании практически не будет прояв- ляться. Так как все автомобили обязательно будут обслужены, можно считать очередь заявок в СМО не ограниченной.
В первом варианте будем иметь многоканальную СМО с интенсивно- стью потока обслуживании каналом
=
При интенсивности потока заявок X, равной отношению числа отказов в смену на продолжитель- ность смены, относительная интенсивность потоков будет равна а = — =
= 4.
Для определения вероятности свободного состояния системы вос- пользуемся формулой (10.1), а расчет числа автомобилей, простаиваю- щих в очереди, будем производить по формуле
Учитывая, что СМО
может успешно функционировать только в том случае, когда общая ин- тенсивность потока обслуживании больше интенсивности потока зая- вок, начнем расчет с числа п = 5. Результаты расчета сведены в табл.
Из табл. 10.1 следует, что для предприятия наименьшее значение об- щих затрат от простоя автомобилей в ожидании ремонта и расходов на заработную плату
= 592 достигается при числе рабочих п = 7.
191

Т а б л и ц а 10.1
Расчеты общих затрат предприятия
в зависимости от числа
ремонтных рабочих (многоканальная СМО)
Показатели
7
руб./ч
Число ремонтных рабочих п
5 0,013 2,218 1 207 6
0,579 667 7
0,180 592 8
0,0182 0,059 622
Проведем аналогичные расчеты для второго варианта работы ремонтных рабочих. Если все рабочие работают как единая бри- гада, то мы будем иметь дело с
СМО, для которой ин- тенсивность потока обслуживании будет равна =
Относительная интенсивность случайных потоков будет равна ос
=
20 1,4 _ 4
Рассматривая
СМО с неограниченной очередью, как частный случай многоканальной СМО,
те же приемы, кото- рые использовались при выводе формул и (10.2) можно получить выражения вероятности свободного состояния системы
1 -а и сред- ней очереди автомобилей, ожидающих ремонта:
_
= •
Результаты расчетов приведены в табл. 10.2.
Из табл. 10.2 следует, что для предприятия наименьшее значение щих затрат от простоя автомобилей в ожидании ремонта и расходов на заработную плату
= 516 достигается при количестве рабочих в бригаде
=
6.
10.2
Расчеты общих затрат предприятия
в зависимости от числа
ремонтных рабочих
СМО)
Показатели
Ро
руб./ч
Число ремонтных рабочих п
5 0.200 866 6
0,333 0,175 516 7
0,428 0,026 534 8
0,500 0,004 601 192
Таким образом, при бригадной форме организации труда ремонтных рабочих требуется на одного рабочего меньше, чем при индивидуальной форме организации труда, а общие затраты предприятия от простоя ав- томобилей и на заработную плату при бригадной форме организации труда составляют 87 % от оптимальных затрат, достигаемых при индиви- дуальной форме организации труда рабочих.
В реальных условиях на рассматриваемую математическую мо- дель будут накладываться дополнительные условия (например, если в зоне ремонта находится только один автомобиль, то вряд ли все рабочие бригады смогут одновременно участвовать в работе). Тем не менее, проведенные расчеты позволяют оценивать наиболее приемлемые решения по организации работ в зоне ТР автомоби- лей.
Для сравнения, если, не зная ТМО, произвести расчет числа рабочих по методу средних, то число рабочих должно быть следу- ющим. При средней трудоемкости ремонта одного автомобиля ч
один рабочий за смену (7 ч) может отремонтировать 5 автомоби- лей, а если в смену поступает 20 автомобилей, то число рабочих должно быть п = 4. Очевидно, при таком числе рабочих будут воз- никать большие очереди автомобилей, ожидающих ремонта, что приведет к большим издержкам предприятия (для лучшего пони- мания сути решаемой задачи можно попытаться представить себе,
что было бы, если число пожарных назначалось только исходя из среднего времени тушения пожара).
10.4.4. Замкнутые СМО
В практике эксплуатации автомобилей часто встречаются СМО,
в которых обслуживание оказывает непосредственное влияние на поток заявок. Например, в не очень крупном имеется N ав- томобилей, которые ремонтируются п ремонтными рабочими. По- требность в ремонте у каждого автомобиля возникает в случайные моменты времени с интенсивностью производительность (про- пускная способность) одного рабочего пусть будет
Труд рабочих может быть организован по-разному. Если каж- дый рабочий работает индивидуально, то мы будем иметь дело с многоканальной СМО (число каналов п равно числу рабочих).
Если рабочие работают в единой бригаде, то можно считать, что
СМО одноканальная, а интенсивность потока обслуживании
Когда все автомобили исправны и работают, то суммарный поток отказов (заявок на ремонт) будет равен если один авто- мобиль откажет, то в работоспособном состоянии останется мень- шее число автомобилей и поток заявок станет равным (N -
Граф одноканальной замкнутой СМО показан на рис. 10.6.
193

И Ц ц
Ц
Рис. 10.6.
замкнутая
Выразим вероятности состояний с помощью уравнений Эр-
+
= 0, отсюда
=
Ц
+
0,
_
= N(N -\)(N
Используя условие + + + ••• + PN = найдем
Непосредственный счет знаменателя по этой формуле невоз- можен, поскольку факториал нарастает очень быстро, а величина при
1, быстро уменьшается. Выражение можно преобразо- вать, поочередно вынося за скобки общие множители:
=
1
(10.3)
Среднее число неисправных автомобилей можно найти как математическое ожидание
=
Для определения среднего числа автомобилей в очереди будем рассуждать следующим образом. Общее число неисправных авто- мобилей w складывается из числа автомобилей в очереди и
числа автомобилей, находящихся в ремонте z . Если бригада ре- монтных рабочих небольшая по численности, им работать вместе удобнее,
когда они заняты, то ремонтируют один автомобиль.
Отсюда среднее число ремонтируемых автомобилей найдем как математическое ожидание
194
Величина средней очереди в этом случае =
Среднее время ожидания в очереди можно найти делением значения средней очереди на среднюю интенсивность потока от- казов X = (N -
тогда
7
Пример. В АТП планируется приобрести 50 автомобилей с газобал- лонной системой питания и принять на работу специалиста по обслужи- ванию таких систем. Оценить показатели функционирования СМО, если известно, что необходимость обслуживания системы возникает, в сред- нем, через 4500 км, средний суточный пробег автомобилей составляет
150 км, среднее время на обслуживание (ремонт) системы — 0,5 ч, про- должительность рабочей смены 7 ч.
Зная наработку на отказ и суточный пробег, можно най- ти, через сколько дней системы будут отказывать (4500/150 = 30) и, с учетом продолжительности рабочей смены, найти интенсивность потока отказов
Интенсивность потока обслуживании со- ставит ц = 2
относительная интенсивность потоков
0,0025.
По выведенной формуле (10.3) определим вероятность свободного состояния
= 0,875, а затем найдем значения других вероятностей:
=
= 0,109, =
= 0,0134, = 0,0016,
= 0,00018 и т.д.
Зная вероятности, находим среднее число неисправных автомобилей
w =
+ 0,0268 + 0,0048 +
+ 0,00001
Средняя очередь автомобилей, ожидающих ремонта системы питания:
=
-0,125 = 0,025.
Среднее время ожидания в очереди
0,025
= 0,1 ч.
Таким образом, мы оценили основные показатели функцио- нирования СМО, зная которые можно определять оптимальное число каналов (рабочих) из условия минимума потерь от просто- ев автомобилей и затрат на заработную плату рабочим.
10.4.5. Многофазные СМО
В практике ТЭА широко используется поточное (многофазное)
ТО, когда автомобиль последовательно передается с поста на пост.
Поскольку время ТО в каждой фазе является величиной слу- чайной, прохождение автомобиля, или заявки (требования), че- рез всю систему ТО будет носить вероятностный характер.
195

Рис. 10 7 Двухфазная СМО с отказами
Рассмотрим простейший вариант многофазной СМО на при- мере линии для мойки автомобилей, включающей посты для под- капотной и наружной мойки. Интенсивность потоков обслужива- нии на первом посту —
на втором посту —
Характерной особенностью рассматриваемой СМО является то, что очередь не разрешается, т.е. если первый пост занят, то вновь поступившая заявка уходит не обслуженной
Граф состояний и переходов (рис. 10.7) построен на основе следующих рассуждений. Из состояния когда обе фазы сво- бодны, СМО за счет потока заявок с интенсивностью может быть переведена в состояние в СМО поступит заявка, и в первой фазе начнется обслуживание. С интенсивностью заявка может быть переведена в состояние
После этого в СМО с ин- тенсивностью может поступить вторая заявка на освободившее- ся место в первой фазе (состояние
Обслужив первую заявку во второй фазе с интенсивностью
СМО прейдет в состояние
Если новая (вторая) заявка не поступит в СМО, когда она находится в состоянии то СМО с интенсивностью перей- дет в состояние
Из состояния когда обе фазы заняты и работают, возмо- жен переход еще в одно состояние
, когда в первой фазе об- служивание закончено, а вторая еще занята,
это состояние вынужденного простоя первой фазы. Переход из в
будет происходить с интенсивностью а из с интенсивностью
—
в состояние как только вторая фаза освободится, она сра- зу же примет новую заявку из первой фазы.
Записывая для установившегося режима уравнения Эрланга и решая их, можно определить вероятности состояний. Практичес- кий интерес представляет пропускная способность СМО. Поскольку заявки принимаются на обслуживание только в двух случаях, ког- да обе фазы свободны и когда свободна первая фаза, а вторая фаза занята, то относительная пропускная способность
=
=
196
Абсолютная пропускная способность пропорциональна интен- сивности потока заявок А =
Интересно проанализировать, как сказывается на пропускную способность СМО соотношение производительностей ее фаз (по- стов) при условии
+
- const. Результаты расчетов по условно- му примеру приведены на рис. 10.8.
Из графика видно, что уменьшение интенсивности потока за- явок увеличивает относительную пропускную способность, по- скольку СМО становится менее загруженной (абсолютная про- пускная способность, естественно, становится меньше). Приме- чательно, что максимальная пропускная способность двухфазной
СМО с отказами может быть достигнута, когда интенсивность потока обслуживании в первой фазе выше интенсивности обслу- живания во второй фазе. Чем меньше поток заявок, тем больше должна быть разница в производительности постов.
Если СМО допускает неограниченную очередь, то максималь- ная пропускная способность достигается при
=
= ц. Макси- мальная интенсивность потока заявок, который может пропус- тить СМО, при двух фазах равна при трех фазах —
при четырех фазах —
[7, 22].
Из проведенного анализа следует, что по мере увеличения числа фаз пропускная способность СМО падает. Если в первой фазе оче- реди не ограничены, то пропускная способность всех фаз должна быть равной, а если имеются ограничения очереди, то первая фаза должна иметь большую пропускную способность, чем последую- щие фазы.
В практике ТЭА делалось немало попыток организовать ТО и Р
автомобилей по типу заводского конвейера, однако все они были нежизнеспособны. Это объясняется именно тем, что при ремонте разных автомобилей затрачивается различное (случайное) время,
мы имеем дело с СМО, которая характеризуется рассмотрен- ными здесь особенностями.
Рис. 10 8. Характер изменения пропускной способности двухфазной СМО
в зависимости от соотношения пропускных способностей фаз
197