Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

Слід також зазначити, що матеріальну точку можна розглядати як частинний випадок абсолютно твердого тіла. Тому отримані результати для абсолютно твердого тіла, можна застосувати і для матеріальної точки, яка рухається по колу.

ТЕМА 2 ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

§ 6 Перший закон Ньютона. Інерціальні системи відліку [12]

1 Динамікою називають розділ механіки, в якому вивчають механічний рух тіл під дією прикладених до них сил (під дією інших тіл).

Закони динаміки були встановлені Ньютоном і носять його ім’я. Ці закони, як і інші принципи, що лежать в основі фізики, є узагальненням дослідних фактів.

Наприкінці XVI ст. дві дуже важливі задачі привели до проблеми вивчення руху тіл у зв’язку із їх взаємодією з іншими тілами. По-перше, з розвитком артилерії потрібно було знайти закони руху снарядів. По-друге, у зв’язку з виникненням геліоцентричної системи Коперника стало зрозуміло, що Земля не є центром Всесвіту, а є звичайною планетою, що обертається разом з іншими планетами навколо Сонця. Звідси випливав висновок, що планети (а значить й інші тіла) рухаються самі по собі, тому що зовсім було б неймовірним, щоб Землю й інші планети щось підштовхувало до руху протягом мільярдів років.

Для вірного розв’язання проблеми руху потрібно насамперед відволіктися від усяких зовнішніх впливів і сформулювати проблему так: що відбудеться з тілом, якщо воно перестане взаємодіяти з іншими тілами? Тут на допомогу повинен прийти уявний експеримент, ідея якого й була висунута Г. Галілеєм. Дійсно, у всякому реальному експерименті на Землі ми не можемо звільнити тіло від дії сили тяжіння й сили тертя. Однак можна поставити питання так: а що відбудеться, якщо ми ці сили, хоча б подумки, станемо поступово зменшувати?

Припустимо, що візок рухається по піску – тоді він швидко зупиниться. А от на горизонтальному льоду він буде рухатися значно довше, хоча й тут зрештою зупиниться. А якщо лід стане абсолютно гладким? Очевидно, візок не зупиниться, а буде сам по собі рухатися необмежено довго.

Ось така ідея уявного експерименту над тілом, що є вільним від усяких зовнішніх впливів, і дозволила Г. Галілею прийти до ідеї інерціального руху тіла. І хоча сам Г. Галілей і помилявся, вважаючи, що за інерцією тіло може не тільки рухатися рівномірно й прямолінійно, але й рівномірно рухатися по колу (останнє невірно!), його ідея дозволила І. Ньютону вірно сформулювати принцип інерції: якщо тіло не взаємодіє з навколишніми тілами, то швидкість його руху не змінюється ні за величиною, ні за напрямком, тобто воно рухається прямолінійно й рівномірно.

2 Вище запропоноване формулювання принципу інерції не може бути визнане абсолютно точним. Дійсно, там мова йде про рух тіла, але нічого не сказано про систему

18

відліку, у якій відбувається рух. Однак відомо, що говорити про форму траєкторії, а також про швидкість можна лише відносно деякої системи відліку. Так, наприклад, траєкторія, яка є прямолінійною в одній системі відліку, може виявитися криволінійною в іншій системі.

Тому необхідно змінити формулювання принципу інерції, вказавши на систему відліку, відносно якої даний рух розглядається. Перший закон Ньютона (принцип інерції)

точно формулюється так: існують системи відліку, відносно яких усі тіла, що не взаємодіють з іншими тілами, рухаються прямолінійно й рівномірно.

Системи відліку, в яких тіла, що не взаємодіють з іншими тілами, рухаються прямолінійно й рівномірно, називаються інерціальними системами.

§ 7 Інертність. Маса. Сила. Другий закон Ньютона [7]

1 Інертність – властивість тіл, яка проявляється у тому, що тіло зберігає свою швидкість постійною в інерціальній системі відліку, коли на це тіло інші тіла не діють або їх дія взаємно скомпенсована. Коли ж на тіло діють інші тіла, то властивість інертності проявляється у тому, що зміна його швидкості відбувається не миттєво, а поступово. При

точок, що складають замкнену систему, їхні швидкості з часом змінюються. Тобто тіла рухаються з прискоренням. Позначимо через a1 прискорення точки 1, через a2 –

прискорення точки 2. Як показує експеримент (приклад схеми одного з таких експериментів подано на рис. 7.1), ці прискорення мають протилежні напрямки й пов’язані між собою співвідношенням

характеру взаємодії між матеріальними точками 1 і 2. Наприклад, взаємодія може відбуватися шляхом зіткнення матеріальних точок між собою. Його можна здійснити,

дослідні факти, підтверджені незліченною кількістю експериментів. Коефіцієнти m1 і m2 можуть залежати тільки від властивостей самих матеріальних точок. Ці коефіцієнти m1 і m2

називаються масами або, більш точно, інертними масами матеріальних точок 1 і 2.

Таким чином, з визначення мас випливає, що відношення мас двох матеріальних точок дорівнює оберненому відношенню модулів прискорень цих точок у результаті

3 Щоб від відношення мас перейти до самих мас, потрібно домовитися масу деякого певного тіла вважати такою, що дорівнює одиниці. Таке тіло називається еталоном маси. У фізиці за одиницю маси прийнято кілограм. Кілограм є маса еталонної гирі зі сплаву іридію із платиною, що зберігається у Севрі (Франція) у Міжнародному бюро з мір та ваг,

Так можемо знайти масу будь-якого тіла.

4 Коли матеріальна точка не взаємодіє з іншими тілами, то відповідно до першого закону Ньютона швидкість цієї точки залишається сталою відносно інерціальної системи відліку. Якщо ж матеріальна точка не ізольована, то через взаємодію з навколишніми тілами її швидкість змінюється. Тому природно за міру інтенсивності взаємодії прийняти величину, яка пропорційна похідній від швидкості за часом, тобто прискоренню a = dυ/ dt . Одним із фундаментальних узагальнень класичної механіки є встановлення того факту, що добуток маси тіла на похідну швидкості визначається положенням розглянутої матеріальної точки відносно навколишніх її тіл, а іноді також і її відносною швидкістю. Тобто ma = mdυ / dt є функцією радіуса-вектора r і швидкості υ матеріальної точки й може залежати також від координат і швидкостей навколишніх матеріальних точок як від параметрів. Позначимо

тіла на похідну її швидкості за часом, називається силою. Сила є вектор, тому що вона визначає вектор прискорення.

Отже, сила, що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на прискорення, яке надається цією силою. Це положення називається другим законом Ньютона. Рівняння (7.4),

що виражає цей закон, називається рівнянням руху матеріальної точки.

5 Фактичний зміст другого закону Ньютона полягає у тому, що сила F залежить тільки від координат і швидкості матеріальної точки (не залежить від прискорення). Другий закон Ньютона й рівняння руху (7.4) отримують конкретний зміст тільки після того, як

r r

визначена функція F(r,u) .

При розгляді різних динамічних задач механіка ставить і розв’язує два питання: 1) за відомим рухом тіл обчислити сили, що діють на них; 2) за відомими силами визначити рух тіл. Задачі першого типу порівняно прості. Вони зводяться до обчислення прискорень матеріальних точок (диференціювання), з яких складається система. Задачі другого типу є набагато складнішими і є основними в механіці. Тут насамперед потрібно написати рівняння руху для кожної матеріальної точки, що входить у систему, на яку діють сили, що залежать від координат та швидкостей цих же матеріальних точок. У результаті отримаємо систему диференціальних рівнянь, розв’язок якої (при певних початкових умовах) дасть повну уяву про всі деталі руху. Таким чином, для розв’язання таких задач потрібно проінтегрувати диференціальні рівняння, а це значно складніше диференціювання.

6 Коли на тіло діють декілька сил, то під силою F у співвідношенні (7.4) розуміють

рівнодійну (результуючу) силу , тобто векторну суму усіх сил, що діють на тіло.

Силу в системі СІ вимірюють в ньютонах (Н) 1 Н =1 кг ×1м/с2

20

§ 8 Третій закон Ньютона. Приклади, що ілюструють третій закон Ньютона [4]

1 Розглянемо замкнену систему, що складається із двох матеріальних точок (див. також вище § 6). У результаті взаємодії ці матеріальні точки будуть рухатися з прискоренням. Позначимо через a1 прискорення точки 1, через a2 – прискорення точки 2. Як

показують експерименти ці прискорення мають протилежні напрямки й пов’язані між собою співвідношенням

де m1 і m2 маси відповідних тіл. Згідно другого закону Ньютона, сила, що діє на перше тіло,

яка математично виражає третій закон Ньютона: тіла діють один на одне з силами, які направлені вздовж однієї прямої, рівні за модулем та протилежні за напрямком.

2 Зазначимо, що сили, які виникають під час взаємодії двох тіл, завжди мають однакову природу. Так, наприклад, коли Земля притягує яблуко, що висить на гілці дерева силою тяжіння, то і яблуко притягує Землю теж силою тяжіння. Коли яблуко діє на гілку з силою пружності (вага тіла), то і гілка діє на яблуко з силою пружності (сила реакції опори).

Застосовуючи третій закон Ньютона, завжди потрібно пам’ятати, що однакові за модулем та протилежні за напрямком сили діють на різні тіла, і тому не можуть урівноважувати одна одну.

Закони Ньютона виконуються тільки в інерціальних системах відліку, вони перестають бути правильними для об’єктів дуже малих розмірів, які порівнянні з розмірами атомів, та коли рух відбувається зі швидкостями наближеними до швидкості світла.

§ 9 Одиниці вимірювань фізичних величин. Основні й похідні одиниці вимірювань. Розмірність [4,13]

1 Виміряти деяку фізичну величину означає знайти її відношення до подібної фізичної величини, яка взята за одиницю вимірювання.

Для кожної фізичної величини можна було б встановити одиницю довільно, незалежно від одиниць інших величин. Однак це привело б до появи у формулах, які пов’язують між собою різні величини, «незручних» числових коефіцієнтів (ми маємо незручності, наприклад, коли одні довжини вимірюються в метрах, а інші в дюймах). Тому довільно визначаються тільки одиниці невеликого числа величин (ці одиниці називають основними). Одиниці ж інших величин визначають за допомогою фізичних законів, що пов'язують ці величини з тими, одиниці яких обрані як основні (такі одиниці називають похідними). Наприклад, встановивши одиниці довжини й часу, за одиницю швидкості беруть таку швидкість, при якій частинка за одиницю часу проходить шлях, який дорівнює одиниці (відповідно до формули υ = s /t ). Встановивши одиниці маси й прискорення, одиницю сили визначають так, щоб одиниця сили надавала одиниці маси прискорення, яке дорівнює одиниці.

При такому визначенні одиниць формули набирають більш простого вигляду, а сукупність одиниць утворює певну систему. Існує кілька систем, що відрізняються вибором основних одиниць. Найбільш вживаною є Міжнародна система (СІ).

2 За основні у системі СІ прийняті сім одиниць: довжини – метр (м), маси – кілограм (кг), часу – секунда (с), сили електричного струму – ампер (А), термодинамічної температури – кельвін (К), сили світла – кандела (кд), кількості речовини – моль (моль).

У механіці ми будемо мати справу з одиницями довжини, маси й часу, а також з похідними від них одиницями.

21